движение атома |
движение вакансии |
Скорость диффузии пропорциональна концентрации |
вакансий, которая сильно зависит от температуры.
Механизм характерен и для процесса самодиффузии, и для примесных атомов замещения в узлах решетки.
E
междоузлия
узел решетки
Высокая скорость диффузии
Данный механизм характерен для примесных атомов внедрения, которые при растворении располагаются в междоузлиях решетки.
Комбинированные механизмы (диссоциативный и эстафет-
ный) имеют место в том случае, если атомы растворенного вещества занимают как узлы, так и междоузлия твердого растворителя.
При диссоциативном механизме атомы примеси покидают узлы и перемещаются лишь по междоузлиям.
При эстафетном механизме междоузельный атом примеси вытесняет из соседнего узла собственный атом решетки, который в свою очередь замещает примесный атом в ближайшем соседнем узле, вытесняя его в междоузлие и т. д.
Скорость перемешивания веществ в твердом состоянии определяется вероятностью w перехода частицы за единицу времени из одного равновесного положения в другое.
= 1 w - время оседлой жизни атома
Постоянная 0 по порядку величины близка к периоду колебаний атома около положения равновесия 0 10 −13 сек.
с повышением энергии активации и с понижением температуры возрастает среднее время жизни атома в потенциальном минимуме
каждый атом в среднем через время перескакивает в соседний потенциальный
минимум, смещаясь в пространстве на постоянную решетки а. Это позволяет
ввести понятие средней скорости перемещения атомов в кристалле
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ = |
|
|
|
τ, |
λ |
— средние время и длина свободного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пробега молекулы между двумя столкновениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из кинетической теории газов следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
D = |
|
|
υ |
|
= |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ v = a/t |
|
|
|
|
|
|
= 0 exp (Е / kT ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
E |
2 |
= |
|
D |
|
exp |
− |
D = υ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kT |
- коэффициент пропорциональности принимает различные значения для
разных типов кристаллической решетки ( = 1 / 6, 1 / 12 и 1 / 24 для простой,
гранецентрированной и объемноцентрированной кубической решетки, соответственно).
численные значения D0 и E для самодиффузии кремния, а также для гетеродиффузии фосфора Р (донор) и бора В (акцептор) в кремнии:
|
|
(Si) |
|
|
|
|
(P - Si) |
|
|
|
(B - Si) |
D |
0 |
= 1,8 103 |
см2/сек |
|
D |
0 |
= 10,5 см2/сек |
|
D |
0 |
= 5,1 см2/сек |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E = 4,78 эВ |
|
|
|
E = 3,69 эВ |
|
|
E = 3,70 эВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3 Законы Фика. Начальные и граничные условия в задачах диффузии
Скорость убыли частиц внутри объема V
задается поверхностным интегралом
|
|
|
|
|
− Jn dS |
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
= |
|
c( r,t )dV = − Jn dS |
|
|
t |
t |
1 |
|
|
V |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по теореме Остроградского-Гаусса
|
|
|
c |
|
|
|
|
с |
+ div J = 0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
t |
+ divJ dV = 0 |
|
V - произволен |
|
|
2 |
|
|
t |
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
J(r,t) = −D grad с(r,t) |
|
|
|
с(r,t) |
= D |
2 |
c(r,t) |
|
|
|
2с div grad c |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1-ый закон Фика
2-ой закон Фика
1-й закон Фика устанавливает пропорциональность диффузионного потока частиц градиенту их концентрации
2-й закон Фика описывает изменение концен-трации, обусловленное диффузией.
2-ой закон Фика - дифференциальное уравнение в частных производных. Для
его решения необходимо задать одно начальное условие (при t = 0) и два граничных условия (в случае одномерной пространственной задачи).
Граничные условия
отражающая граница реализуется при
отсутствии нормальной компоненты
потока частиц через границу S
J n (t) n J(t) |
S |
= − D c(r,t) |
= 0 |
|
d n |
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
связывающая граница не требует отсутствия нормальной компоненты потока на границе S и реализуется путем зада-ния поверхностной концентрации частиц (в частном случае постоянной или = 0
cs(t ) = c( r,t )
S = const
В технологии электронных приборов, по виду начальных условий можно выделить следующие два типа задач:
задачи на удаление вещества из твердого тела
(обезгаживание деталей вакуумных приборов и геттерирование или испарение
примесей из полупроводников)
c (r, t)
t =0 = c0 (r)
при этом:
c( r,t ) c0( r )
задачи на введение вещества в твердое тело
(легирование полупроводников примесями и поглощение газов материалами)
c (r,t) |
|
t=0 |
= c |
0 |
(r) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при этом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c (r,t) c |
|
(r) |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
5.4 Диффузионные задачи на удаление вещества из твердого тела
|
|
|
|
|
|
|
|
с(x,t) |
= D |
2 с(x,t) |
|
|
|
|
|
c(x, 0) |
|
|
|
t |
|
x 2 |
1 |
|
|
c(x, t) |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c (x, t) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p = 0 |
|
p = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p = 0 |
|
|
|
|
p = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
при |
x 0 |
и x l , |
|
|
|
l |
|
|
|
|
с(x, t) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
t = 0 |
= |
|
|
|
|
0 |
l |
x |
|
0 |
l |
x |
с0 |
при |
0 x l . |
|
|
|
|
а |
|
|
|
l |
б |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
молекулярное растворение ( з-н Генри ) |
|
|
|
m = |
1 |
атомарное растворение ( з-н Сиверста ) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
р = 0 |
|
cs (t) с ( x, t) |
x = 0 = с ( x, t) |
|
x = l = 0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
