2388

Контрольные вопросы

1.Какие задачи называются позиционными?

2.Перечислить и дать характеристику основным группам позиционных

задач.

3.Перечислить операции алгоритма, который позволяет определить точку пересечения прямой с плоскостью.

4.Как видоизменяется этот алгоритм в случае, когда прямая или плоскость занимает проецирующее положение?

5.Перечислить операции алгоритма, который позволяет определить точку пересечения прямой с поверхностью.

6.Как видоизменяется этот алгоритм в случае, когда прямая или поверхность занимает проецирующее положение?

7.Как определяются точки, принадлежащие линии пересечения двух плоскостей?

8.Если одна из заданных плоскостей занимает проецирующее положение, то как это отражается на решении задачи?

9.Как изображается линия пересечения плоскостей в случае, когда обе эти плоскости проходят через один и тот же центр проецирования?

10.Что представляет собой линия пересечения двух многогранников?

11.Как выглядит линия пересечения многогранника и кривой поверхности второго порядка?

12.По какой линии пересекаются две кривые поверхности второго порядка?

13.Как распадается общая линия двух кривых поверхностей второго порядка?

14.Какие существуют критерии в выборе положения вспомогательных секущих плоскостей, которые упрощают решение задачи?

15.Перечислить условия, благодаря которым упрощается построение линии пересечения поверхностей.

141

5. ПОСТРОЕНИЕ АКСОНОМЕТРИИ ПО ЭПЮРУ МОНЖА

5.1. Общие положения

Слово «аксонометрия» – греческое, состоит из двух слов: «axon»– ось, «metreo»– измеряю, в переводе означает «измерение по осям». Аксонометрическое изображение должно отвечать двум основным требованиям:

1)быть наглядным, то есть таким, каким воспринимает объект глаз человека (или близким к этому);

2)сохранить всю геометрическую информацию об исходном объекте, чтобы по нему можно было изготовить изображенный объект.

Эти свойства аксонометрии позволяют ее использовать в строительной практике при изображении различных объектов строительства или их деталей.

Поскольку основная геометрическая информация об объекте строительства доставляется через эпюр Монжа, который не обладает указанной наглядностью, то достаточно часто возникает необходимость осуществить переход от изображения объекта на эпюре Монжа к его аксонометрии. Для этого разработан специальный прием, основанный на использовании координатной системы. Прямоугольная система координат, которая состоит из трех пучков плоскостей, параллельных координатным плоскостям. Это позволяет поставить в соответствие каждой точке три конкретные координаты. Затем эта система координат моделируется в аксонометрических проекциях. Но тут необходимо иметь ответы на следующие вопросы:

1. Под каким углом изобразятся координатные оси в аксонометрии? 2. Как исказятся величины единичных отрезков координатных осей? Поиск ответа на эти вопросы позволил выявить причины, которые влияют на взаимное положение изображений координатных осей и коэффициентов искажения единичных отрезков. Такими причинами оказались:

1)расположение системы координат по отношению к проекционному аппарату аксонометрии;

2)угол наклона картины π2 к картине π1;

3)направление, в который удален центр проецирования S2 по отношению к картине π2.

Обобщая полученные результаты, немецкий геометром К. Польке (К. Pohlke) в 1860 впервые была сформулирована (без доказательства) ос-

новная теорема аксонометрии: три произвольных отрезка, выходящих из одной точки на плоскости проекций, можно принять за изображение координатного трёхосника с одинаковыми масштабными отрезками на его осях. Элементарное доказательство этой теоремы было дано другим немецким математиком Г. Шварцем в 1864 году. С тех пор эта теорема называется теоремой Польке — Шварца формулируется так: всякий невырож-

142

дающийся полный четырёхугольник можно рассматривать как параллельную проекцию тетраэдра наперёд заданной формы. Следовательно,

аксонометрий существует бесконечное множество. На практике же пользуются ограниченным числом аксонометрий, которое зафиксирована ГОСТ 2.317-69.

Практика использования аксонометрических проекций выделила следующие основания для классификации:

1) направление проецирования координатной системы из центра S2 на картину π2. Если проецирование из центра S2 на картину π2 происходит под углом 90 , то аксонометрия называется прямоугольной (ортогональной), если же этот угол не равен 90 , то аксонометрия называется косоугольной;

что при прямоугольном проециро-

вании ось z, будет содержать центр проецирования S1 и ее первая проекция будет вырождаться в точку. Для работы такая аксонометрия окажется не

143

пригодной. На рис. 196 символами u, v, w помечены соответственно коэффициенты искажения по осям x, y, z.

На изображения, выполняемых в аксонометрических проекциях, существует ГОСТ 2.317-69, который предусматривает следующие виды аксонометрии: прямоугольная изометрия, прямоугольная диметрия, косоугольная фронтальная изометрия, косоугольная фронтальная диметрия, косоугольная горизонтальная изометрия. Отсутствует косоугольная горизонтальная диметрия. Причина такого отсутствия состоит в том, что по ГОСТ 2.317-69 все диметрические проекции имеют коэффициент искажения по оси y: v = 0,5. Но если использовать косоугольную горизонтальную диметрию, то все, что принадлежит координатной плоскости xy должно изображаться без искажения. Следовательно, коэффициенты искажения по осям x и y должны быть равны, а отличаться должен только коэффициент по оси z. ГОСТ 2.317-69 такое соотношение коэффициентов искажения не предусматривает. Поэтому косоугольная горизонтальная диметрия обычно не рассматривается.

5.2.Изображение координатной системы

встандартных аксонометриях

Прямоугольная (ортогональная) изометрия. В прямоугольной изо-

метрической проекции аксонометрические оси образуют между собой углы в 120°, ось z направлена вертикально. Коэффициенты искажения по всем осям имеют числовое значение 0,82. Как правило, для упрощения построений изометрической проекции коэффициент искажения принимают равным по всем осям единице. В результате изометрическое изображение увеличивается в 1,22 раза (рис. 197).

Рис. 197. Расположение осей и коэффициенты искажения в прямоугольной изометрии

144

Косоугольная фронтальная изометрия. Ось z направлена вертикально,

угол между осью x и z равен 90°, ось y с углом наклона к горизонтальной прямой 45°, или 30°, или 60° (рис. 198, а, б, в). Коэффициенты по искажения осям x, y и z равны единице. Плоские фигуры, параллельные картине π2, проецируются без искажений.

Рис. 198. Расположение осей и коэффициенты искажения в косоугольной фронтальной изометрии

Косоугольная горизонтальная изометрия. Ось z направлена верти-

кально, угол между осью x и y равен 90°. Ось y с углом наклона к горизонтальной прямой 45°, или 30°, или 60° (рис.199, а, б, в). Коэффициенты по искажения осям x, y и z равны единице. Плоские фигуры, параллельные картине π1, проецируются без искажений.

Рис. 199. Расположение осей и коэффициенты искажения в косоугольной горизонтальной изометрии

145

Прямоугольная диметрия, характерна тем, что ось z направлена вертикально. Угол между осью x и горизонтальной прямой составляет 7°10'. Ось y и горизонтальная прямая составляют угол 41°25' (рис. 200). Коэффициенты искажения осям х и z равны 0,94 по оси у – 0,47. Как правило, коэффициенты искажения по оси у округляют до 0,5, по осям x и z — до 1.

Рис. 200. Расположение осей и коэффициенты искажения в прямоугольной диметрии

Косоугольная фронтальная диметрия. Положение аксонометриче-

ских осей приведено на рис. 201. Угол наклона оси у к горизонтальной линии равен 45°. Между осями х и z – 90˚. Коэффициент искажения по оси у равен 0,5, по осям х и z – 1.

Рис. 201. Расположение осей и коэффициенты искажения в косоугольной фронтальной диметрии

5.3. Изображение окружности в стандартных аксонометриях

Прямоугольная изометрия. Окружности, лежащие в координатных плоскостях, или плоскостях параллельных им плоскостям проекций, изображаются равными эллипсами. Большие оси эллипсов равны 1,22, а малые 0,71 диаметра исходной окружности (рис. 202). Малые оси этих эллипсов параллельны отсутствующим координатным осям. Если эллипс принадле-

146

жит плоскости х у, малая ось параллельна оси z. Когда эллипс располагает-

ся в плоскости z у, малая ось параллельна оси х. Если же эллипс принадле-

жит плоскости z х, малая ось параллельна оси у.

Рис. 202. Изображение окружности в прямоугольной изометрии

Косоугольная фронтальная изометрия. Окружности, лежащие в плос-

костях, параллельных картине π2 (координатная плоскость x z), проецируются без искажения. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных двум другим координатным плоскостям – в эллипсы (203). Их малые оси оказываются биссектрисами тупых углов между координатными осями xy и yz. Большие оси ориентированы к каждой паре осей (x, y и y, z) под углами 22˚30'. Коэффициент искажения малой оси равен 0,54 диаметра исходной окружности. Величина большой оси этих эллипсов равен 1,3 диаметра исходной окружности.

Рис. 203. Изображение окружности в косоугольной фронтальной изометрии

147

Косоугольная горизонтальная изометрия. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных картине π1 (координатная плоскость xy), проецируются без искажения. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных двум другим координатным плоскостям – в эллипсы (204). Их малые оси оказываются биссектрисами тупых углов между координатными осями xz и yz, которые образуют соответственно углы 150˚ и 120˚. Большие оси ориентированы к каждой паре осей ( x, z и y, z) соответственно под углами 15 и 30 . Коэффициент искажения малой оси эллипса, который изображает окружность координатной плоскости xz равен 0,37 диаметра исходной окружности. Коэффициент искажения большой оси этого эллипса равен 1,37. Если эллипс изображает окружность в координатной плоскости yz, то его малая ось искажает коэффициент 0,71, а большую – 1,22.

Рис. 204. Изображение окружности в косоугольной горизонтальной изометрии

Прямоугольная диметрия. Окружности, лежащие в координатных плоскостях, или плоскостях параллельных им изображаются эллипсами. Малые оси этих эллипсов параллельны отсутствующим координатным осям. Окружности, лежащие в координатных плоскостях х у, и z у изображаются эллипсами, одинаковой величины. Величина малой оси 0,35 диаметра исходной окружности, большая ось – 1,06 диаметра этой окружности. Такую же величину имеет большая ось третьего эллипса, который располагается в координатной плоскости х z. Но малая ось этого эллипса равна 0,95 диаметра окружности (рис. 205).

148

5.4. Выбор аксонометрической проекции

Вид аксонометрической проекции определяется сложностью и особенностью формы изображаемого предмета, необходимостью обеспечить наилучшую наглядность и выразительность изображения, достаточную видимость всех элементов.

Нецелесообразно изображать в прямоугольной изометрии предметы, имеющие форму куба, правильной четырёхугольной призмы или пирамиды, так как некоторые их грани могут вырождаться в одну линию, что ухудшает восприятие изображения. Для изображения таких объектов целесообразно использовать диметрии (прямоугольную или косоугольную).

Прямоугольная диметрия позволяет получить наиболее удачные наглядные изображения предметов.

Втех случаях, когда необходимо сохранить натуральные размеры объектов, имеющих сложное криволинейное очертание (окружности, сопряжения, лекальные кривые и т.п.). Это могут быть детали различных механизмов, сложные архитектурные сооружения, застройки жилых кварталов, планировки площадей, комплекс промышленных сооружений и т.п. Их

располагают в плоскостях, которые параллельны картинам π1 или π2 и изображаютсоответственновгоризонтальнойилифронтальнойаксонометрии.

Следует учитывать, что при изображении деталей, имеющих поверхно-

сти тел вращения (цилиндра, конуса, шара, тора), используют только пря-

моугольные аксонометрические проекции, в которых они наиболее наглядны.

Предмет всегда изображают в привычном положении. На изображении должно быть видно наибольшее число составных частей предмета, выявляющих его форму в целом. Отдельные части предмета не должны полностью загораживать другие его части.

5.5.Способы построения аксонометрических проекций

Впрактике выработано несколько способов, в которых алгоритмизировано построение аксонометрических проекций объектов. В каждом конкретном случае выбирают наиболее целесообразный способ, учитывая форму предмета и количество геометрической информации, которую необходимо показать. К наиболее распространенным относят следующие:

1)сначала строят первую проекцию основания объекта, а затем путём «наращивания» элементов достраивают изображение всего объекта;

2)объект мысленно вписывают в поверхность какого-либо простого геометрического тела. Затем отсекают лишнее;

3)этот способ применяют, когда предмет образован сочетанием тел вращения. Строят изображения координатных осей в аксонометрии. На них намечают проекции центров окружностей, по которым одна поверх-

150