983

удовлетворяет уравнению (2.108) и граничным условиям (2.109) при любых ak и bk .

Отсюда следует, что для нахождения коэффициентов ak и bk необходимо разложить функции f x и F x в ряд Фурье по собственным

Допустим далее, что ряды (2.130) и (2.131) можно почленно дифференцировать по x . Тогда, принимая во внимание формулы (2.133), легко

71

Подставляя эти значения коэффициентов в ряд (2.129), получим искомое решение задачи о крутильных колебаниях однородного стержня.

Выше указывалось что уравнение (2.117)sin cos 0

не может иметь комплексных корней. От противного: пусть уравнение (2.117) имеет комплексный корень a ib . Этим корням будут соот-

Полученное противоречие доказывает утверждение.

Легко убедиться: если конец стержня x 0 свободен, а на конце x l прикреплен диск с моментом инерции K1, то

2.2.2. Дифференциальное уравнение поперечных колебаний мембраны

Будем рассматривать только поперечные колебания мембраны, при которых каждая ее точка движется перпендикулярно плоскости xOy параллельно оси u. Тогда смещение u точки (x,y) мембраны будет функцией от x,y и t.

72

Перейдем к выводу уравнения поперечных колебаний мембраны. С этой целью выделим произвольный участок мембраны, ограниченный в состоянии покоя кривой l. Когда мембрана будет выведена из положения равновесия этот участок перейдет в участок S поверхности мембраны, ограниченный пространственной кривой l , причем

S cos ,

где – угол между осью Ou и нормалью к S (рис.2.3).

Рис. 2.3

Если ограничиться исследованием малых колебаний, при которых можно пренебречь квадратом первых производных ux и uy , то из формулы

следует, что S в любой момент времени t т.е. изменением площади произвольно взятого участка мембраны можно пренебречь. Тогда можно считать, что при алых колебаниях мембраны, участок S будет находиться под действием первоначального натяжения Т.

Вычислим проекцию на ось 0u равнодействующей сил натяжения, приложенных к участку S. Для этого обозначим через ds элемент кривой l . Вектор натяжения на элемент ds , в силу отсутствия сопротивления изгибу, находится в касательной плоскости к поверхности мембраны и нормален к самому элементу ds . Косинус угла, образованного этим

вектором с осью 0u, равен, очевидно, nu , где n – направление внешней

73

нормали к контуру l . Отсюда вытекает, что проекция на ось 0u натяжения Т, рассчитанного на элемент ds контура l , равна произведению

T nu ds .

Интегрируя это произведение по всему контуру l , найдем следующее выражение равнодействующей сил натяжения вдоль этого контура:

T u ds . l n

Так как при малых колебаниях мембраны ds ds , то можно заменить путь интегрирования l на l . Тогда, применяя формулу Грина, получим:

Силы (2.134) и (2.135) в любой момент времени уравновешиваются силами инерции, действующими на участок S мембраны, сумма которых равна

p(x, y) 2u dxdy,

t2

где p x, y – поверхностная плотность мембраны. Таким образом, получим равенство

Это и есть дифференциальное уравнение поперечных колебаний мембраны.

74

В случае однородной мембраны p const , уравнение малых колебаний мембраны можно записать в виде

Уравнение (2.139) называется волновым уравнением на плоскости.

Одного уравнения движения (2.139), как известно, недостаточно для полного определения движения мембраны; нужно еще задать положение и скорость всех точек мембраны в начальный момент времени t 0:

и, кроме того, граничные условия. Например, когда на контуре мембрана закреплена, должно быть

Рассмотрим далее задачу о колебании круглой мембраны радиусом l ,

закреплённой по контуру. Эта задача приводится к решению волнового уравнения в полярных координатах:

быть однозначной периодической функцией от с периодом 2 и оста-

75

ваться ограниченным во всех точках мембраны, в том числе и в центре мембраны r 0.

Применяя метод Фурье, положим:

Подставляя v в уравнение (2.147) и разделяя переменные, получим

( ) r2R (r) rR (r) 2r2R(r) p2 . ( ) R(r)

Откуда, принимая во внимание (2.148), (2.149) и (2.150), приходим к двум краевым задачам:

1)

76

Нетрудно видеть, что нетривиальные периодические решения задачи (2.151)-(2.152) существуют лишь при условии, что p=n (n – целое число) и имеет вид

n ( ) An cosn Bn sinn , n =0,1,2,…

Вернёмся к уравнению (2.153). Его общее решение при p=n имеет вид

Rn (r) Dn Jn ( r) nYn ( r).

Из условия (2.154) следует, что n =0. Первое условие даст

Jn (l) 0.

Полагая l , для определения получим трансцендентное урав-

По ним определяются значения

И соответствующие решения задачи(2.153)-(2.154):

(n)r

Rmn (r) Jn m .

l

Возвращаясь к краевой задаче (2.147)…(2.149), получим, что собствен-

Из вышеизложенного следует, что можно составить бесчисленное множество частных решений уравнения (2.142), удовлетворяющих граничному условию (2.143) и имеющих вид:

77

Чтобы удовлетворить начальным условиям (2.144), составим ряд

78

Справедливо:

B0m , Bnm , Dnm – нужно только заменить в формулах (2.161), (2.162) и (2.163)

Таким образом, все коэффициенты в разложении (2.156) определены, решение задачи (2.142)…(2.144) можно представить в виде

ными Anm ,Bnm ,Cnm и Dnm .

Из выражения (2.164) видно, что общее колебание круглой мембраны складывается из бесчисленного множества собственных гармонических колебаний с частотой

где T0 – натяжение, а – поверхностная плотность мембраны. При n 0 и m 1 основной тон наименьшей частоты

Кроме того, формула (2.164) показывает, что для круглой мембраны стоячие волны различной частоты имеют узловые линии. Простейшие из линий определяются уравнениями:

79

Первое из этих уравнений определяет m 1 окружностей, концентрических с контуром мембраны и имеющих следующие уравнения:

Второе из уравнений (165) определяет n диаметров мембраны с

В случае радикальных колебаний круглой мембраны начальные функции зависят только от r :

Тогдаизформул(2.161), (2.162), (2.163) ииманалогичнымследует, что

и при n>0 коэффициенты Anm ,Bnm ,Cnm и Dnm равны нулю. Ряд (2.156) сводится к ряду

где m0 – положительные корни уравнения J0 0.

2.3.Уравнения эллиптического типа

2.3.1.Уравнения Лапласа и Пуассона

Куравнениям Лапласа и Пуассона приводят многочисленные задачи теории теплопроводности, электростатики, гидродинамики и т.д. Рассмотрим постановку некоторых задач для уравнения Лапласа.

1.Стационарное (установившееся) распределение температуры в одном теле. Пусть имеется однородное тело , ограниченное поверх-

80