983

Общее решение этого уравнения имеет вид

где, очевидно,

Сn Tn 0 .

В соответствии с начальным условием (2.75), потребуем выполнения равенства

Таким образом, решением задач (2.42), (2.74)-(2.75) будет ряд (2.76), где Tn t определяются равенствами (2.81) и (2.82).

В частном случае, когда концы стержня поддерживаются при постоянных температурах, т.е.

1(t) u1 const, 2(t) u2 const,

уравнение (2.81) принимает следующий вид:

61

Окончательно получим

так что граничные условия (2.86) удовлетворяются сами собою. Предположим, что функция f x,t , рассматриваемая как функция от x, может

быть разложена в ряд Фурье:

Подставляя ряд (2.87) в уравнение (2.84) и принимая во внимание

(2.88), получим

62

Пользуясь начальным условием для u x,t

Решая обыкновенное дифференциальное уравнение (2.90) с нулевым начальным условием (2.91), найдем:

Подставив в ряд (2.77), получим решение задачи (2.84)-(2.86) в виде

2. Рассмотрим теперь тот случай, когда начальное и граничные условия неоднородные, т.е требуется найти решение уравнения

63

Очевидно, что сумма (2.97) является решением задачи (2.94)-(2.96).

2.2.Уравнения гиперболического типа

2.2.1.Дифференциальное уравнение крутильных колебаний цилиндрического стержня

Рассмотрим однородный круговой цилиндрический стержень длиной l . Допустим, что под влиянием какой-нибудь причины этот стержень совершает так называемые крутильные колебания, т.е. такие колебания, при которых его поперечные сечения остаются плоскими и поворачиваются без какого-либо искажения одно относительно другого, вращаясь вокруг оси стержня. В случае кругового цилиндрического стержня при кручении поперечные сечения не смещаются параллельно его оси. Будем рассматривать малые колебания.

Поместим начало координат в один из концов стержня, а ось ОХ направим по его оси.

Пусть mn и m1n1 – два поперечных сечения, расстояние между кото-

рыми равно x . Для того чтобы сечение mn повернулось относительно сечения m1n1, на угол , необходимо наличие приложенного к нему

некоторого момента М, носящего название закручивающего момента. Для вычисления этого момента поступим следующим образом.

Выделим из стержня бесконечно тонкий цилиндр с поперечным сечением(рис.2.1). Допустим, что под действием закручивающего момента, приложенного к этому сечению, конец А прямолинейной образующей АА1 , переместится на малое расстояние

64

Но r2d есть полярный момент инерции J сечения mn . Откуда искомый закручивающий момент

Выведем далее дифференциальное уравнение крутильных колебаний стержня.

С этой целью рассмотрим часть стержня, заключенного между двумя поперечными сечениями mn и m1n1 с абсциссами x и x dx . Закручи-

вающий момент в сечении с абсциссой x равен GJ x , момент в сечении с

mn m1n1относительно оси стержня. Получим

GJ 2 2 dx 2 2 Kdx ,x x

где через K обозначен момент инерции единицы длины стержня Откуда

Это и есть дифференциальное уравнений крутильных колебаний кругового цилиндрического стержня.

Рассмотрим далее практически важную задачу, а именно, изучим коле-

бания стержня с одним прикрепленным диском.

Займемся исследованием крутильных колебаний однородного стержня в том случае, когда один из его концов x 0 закреплен, а к другому концу x l прикреплен массивный диск с моментом инерции K1 относительно

оси стержня. Приравнивая момент силы инерции диска закручивающему моменту в сечении x l , получим следующее граничное условие на конце x l :

66

Таким образом, задача сводится к решению уравнения (2.108) при

По методу Фурье частные решения уравнения (2.108) будем искать в виде

Чтобы функция (2.111), отличная от тожественного нуля, удовлетворяла граничным условиям (2.109), очевидно, нужно потребовать выполнения условий

Определяющее собственные значения задачи (2.113), (2.114). Исследуем уравнение (2.115). Если положить

то уравнение (2.115) примет следующий вид

67

Для нахождения вещественных корней этого уравнения достаточно построить графики функций

y ctg, y p

и затем определить абсциссы точек пересечения этих кривых (рис.2.2).

y

y=ctgµ

Рис. 2.2

Из рисунка видно, что корень k уравнения (2.117) с увеличением ин-

декса k неорганично возрастает по абсолютной величине, причем разностьk (k 1) стремится к нулю. Отсюда следует, что при достаточно

большом k можно положить

Если по условиям задачи число p имеет малую величину, то при-

ближенное равенство (2.118) будет давать достаточно точный результат и при небольших значениях k . Если же величина не очень мала, то для вычисления корней

68

за первое приближение корня уравнения (2.122) и подставим его в правую часть того же уравнения; тогда, ограничиваясь лишь двумя первыми членами, получим второе приближение корня, а именно:

Для первого корня 1 1 уравнение (2.120) принимает вид: ctg 1 p1 .

Разлагая ctg 1 в ряд по формулам (2.121), получим:

69

подставить (2.116) в правую часть равенства (2.125) и ограничиться двумя членами.

Найденное таким путем второе приближение корня 1 подставим сно-

ва в правую часть равенства (2.125) и т.д. Повторяя этот процесс достаточное число раз. Можно вычислить корень 1 с большей степенью

точности.

Уравнение (2.117) не моет иметь число мнимых корней. Допустим обратное: положим iv , где v - вещественное число. Тогда будем иметь

ivsiniv pcosiv 0

или

vshv pchv 0,

что невозможно, так как слева оба слагаемых неотрицательны при любом вещественном v .

Ниже будет показано, что уравнение (2.117) не моет иметь также и комплексных корней.

Таким образом, уравнение (2.117) имеет только вещественные корни, причем они будут попарно одинаковыми по абсолютной величине и обратнымипознаку, такчтодостаточнорассматриватьтолькоположительныекорни. Обозначим через 1,2,3...., положительные корни уравнения (2.117). Тогда,

согласно (2.116), собственные значения будут

где ak и bk – произвольные постоянные.

70