983

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

________________________________________

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет

архитектуры и строительства» (ПГУАС)

И.А. Гарькина, А.М. Данилов

СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Рекомендовано УМО РАЕ по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,

обучающихся по направлению подготовки 08.04.01 – «Строительство»

Пенза 2014

1

УДК 51 (07)

ББК 74.58:22.1я73 Г20

Рецензенты: кафедра высшей и прикладной математики ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет» (зав. кафедрой – доктор физико-математических наук, профессор И.В. Бойков); доктор физико-математических наук, про-

фессор О.А. Голованов (Пензенский артиллерийский инженерный институт)

Гарькина И.А.

Г20 Специальные разделы высшей математики: учебное пособие / И.А. Гарькина, А.М. Данилов. – Пенза: ПГУАС, 2014. – 160 с.

ISBN 978-5-9282-1209-4

Содержит отдельные разделы математики важные для расширенного использования математических методов в профессиональной деятельности.

Пособие подготовлено на кафедре «Математика и математическое моделирование» и предназначено для студентов (квалификация выпускника – магистр) технических вузов, обучающихся по направлению 08.04.01 – «Строительство» с учетом требований Федерального государственного образовательного стандарта поколения «три плюс», а также может быть полезным специалистам и научным работникам, использующим в своей деятельности современные математические методы анализа, моделирования систем и процессов для поиска оптимальных решений и наилучшего способа их реализации.

© Пензенский государственный университет

ISBN 978-5-9282-1209-4 архитектуры и строительства, 2014 © Гарькина И.А., Данилов А.М. 2014

2

ВВЕДЕНИЕ

Дисциплина «М1.Б.3.Специальные разделы высшей математики» входит в базовую часть федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению подготовки 08.04.01 «Строительство» (уровень магистратуры).

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование ком-

петенций:

–способность использовать углубленные знания правовых и этических норм при оценке последствий своей профессиональной деятельности, при разработке и осуществлении социально значимых проектов (ОПК-7);

–способность и готовность ориентироваться в постановке задачи, применять знания о современных методах исследования, анализировать, синтезировать и критически резюмировать информацию (ОПК-10);

–способность разрабатывать физические и математические (компьютерные) модели явлений и объектов, относящихся к профилю деятельности

(ПК-7).

Цель преподавания дисциплины: обучение современным математическим методам анализа, моделирования процессов и систем для поиска оптимальных решений и наилучшего способа их реализации.

Задачи дисциплины курса состоят в ориентировании студентов на расширенное использование математических методов в профессиональной деятельности.

Врезультате изучения дисциплины магистрант должен:

знать: современные проблемы науки и техники, формы и методы научного познания в применении к профессиональной деятельности;

уметь: формулировать физико-математическую постановку задачи исследований, выбирать и реализовывать методы ведения научных исследований; анализировать и обобщать результаты исследований, доводить их до практической реализации;

владеть: математическим аппаратом для разработки математических моделей процессов и явлений и решения практических задач профессиональной деятельности.

Дисциплина «Специальные разделы высшей математики» опирается на общий курс математики для бакалавров; является одной из основных для изучения дисциплин «Методология научных исследований», «Методы решения научно-технических задач в строительстве», «Философские проблемы науки и техники».

4

1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ИМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

1.1.Системы случайных величин

Впрактических задачах часто результат опыта описывается не одной случайной величиной, а системой случайных величин. Случайные ве-

личины X1, X2, , Xn , входящие в систему, могут быть как дискретными,

так и непрерывными.

Пример 1 . Станок-автомат штампует стальные плитки. Если контролируемыми размерами являются длина X и ширина Y , то имеем двумерную случайную величину (X ,Y ); если же контролируется и тол-

щина Z , то имеем трехмерную величину X ,Y , Z .

Двумерную случайную величину (X ,Y ) геометрически можно ис-

толковать как случайную точку или случайный вектор на плоскости XOY . Исчерпывающей характеристикой системы случайных величин является ее закон распределения. Как и для отдельных случайных величин могут быть различные формы задания системы случайных величин (функция распределения, плотность распределения, таблица вероятностей

отдельных значений случайного вектора и т.д.).

Если рассматривается двумерная дискретная случайная величина (X ,Y ) , то ее двумерное распределение можно представить в виде таблицы

(матрицы) распределения:

n m

pi j 1. Таблица может содержать бесконечное множество строк и

i 1 j 1

столбцов.

5

Найти законы распределения составляющих X и Y .

Решение. Сложив вероятности по столбцам, получим вероятности возможных значений X , то есть:

P X xi pi ;

P X 2 0,3 0,15 0,05 0,05 0,55;

P X 3 0,15 0,10 0,05 0 0,3;

P X 4 0,05 0,05 0,05 0 0,15;

0,55 0,3 0,15 1.

Сложив вероятности по строкам, получим вероятности возможных значений Y :

P Y y j p j ;

P Y 2 0,3 0,15 0,05 0,50;

P Y 3 0,15 0,10 0,05 0,30 ;

P Y 4 0,05 0,05 0,05 0,15;

P Y 5 0,05 0 0 0,05;

0,50 0,30 0,15 0,05 1.

Законы распределения X и Y имеют вид:

6

левее и ниже этой точки. Правая и верхняя границы области в квадрант не включаются (рис. 1.1).

Y

(x, y)

X

(X, Y)

Рис. 1.1

В случае дискретной двумерной случайной величины ее функция

распределения определяется по формуле

F x, y pi j ,

i j

где суммирование вероятностей распространяется на все i , для которых xi x , и все j , для которых y j y .

7

Укажем основные свойства функции распределения.

1. Функция распределения F x, y есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

0 F x, y 1 (следует из определения F x, y как вероятности).

Действительно, пусть x2 x1 . Тогда, используя аксиому сложения вероятностей для несовместных событий, получим:

F x2, y P X x2,Y y P X x1,Y y + P x1 X x2,Y y P X x1,Y y = F x1, y .

системы превращается в функцию распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:

Y , не меняется. Аналогично получили бы F , y F2 y .

4. Если оба аргумента равны , то функция распределения равна единице:

F , 1

(совместное осуществление достоверных событий X и Y

есть событие достоверное).

5. Если хотя бы один из аргументов равен , то функция распределения равна нулю:

F x, F , y F , 0

8

невозможными событиями).

6.Вероятность попадания значений двумерной случайной величины

X ,Y в прямоугольник ABCD (рис. 1.2) можно найти с помощью ее

функции распределения F x, y по формуле

Эта формула получается из двух формул для вероятности попадания значений X ,Y в вертикальную или горизонтальную полуполосу.

Вероятность того, что значения величины X ,Y попадут в полуполосу a X b,Y y (рис.1.3) выражается формулой

9

Таким образом, вероятность попадания двумерной случайной величины в полуполосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов.

Двумерная случайная величина X ,Y называется непрерывной, если ее

функция распределения F x, y – непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из аргументов, у которой существует вторая

смешанная производная 2F x, y .

Обе составляющие X и Y представляют собой непрерывные случайные величины.

Вводя в рассмотрение плотность распределения непрерывной случайной величины X , ее определяли как предел отношения вероятности попадания на малый участок к длине этого участка при ее неограниченном уменьшении. Аналогично плотность распределения системы двух случайных величин X ,Y определяется как предел отношения вероят-

ности попадания случайной точки X ,Y в малый прямоугольник D к

площади этого прямоугольника, когда оба его размера стремятся к нулю.

Найдем предел отношения вероятности попадания случайной точки

X ,Y в элементарный прямоугольник

x X x x; y Y y y

к площади этого прямоугольника x y , когда x и y 0. Полагая a x, c y , b x x, d y y , получим:

P x X x x, y Y y y

F x x, y y F x, y y F x x, y F x, y .

Тогда, если F x, y не только непрерывна, но и дифференцируема, получим:

lim P x X x x, y Y y yx 0 x y

y 0

10