977

Рассмотрим некоторую точку X 0 из области определения функции и

Совокупность точек X X 0 D , где τ – некоторый одномерный параметр, образует прямую, если , и луч, если 0 .

Градиентом функции x1 , x2 , , xn называют вектор частных производных

Обозначение градиента: grad (x) или (x), где – оператор набла. Вектор X , противоположный вектору градиента, называется ан-

тиградиентом функции.

Точка, в которой градиент функции f x(k ) 0 , называется стационар-

ной.

На рис. 1 изображены линии уровня функции y и вектор градиента в точке M0 (перпендикулярен линии уровня, проходящей через эту точку). Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности M0, то есть частоту линий уровня. Модуль градиента равен наибольшей производной по направлению в данной точке.

Рис. 1. Линии уровня и градиент функции

11

1.3. Теоремы о функции, имеющей производную по заданному направлению

Пусть D d1 , d2 , , dn – некоторое заданное направление. Величина,

показывающая мгновенную скорость изменения функции Φ вдоль направ-

ления D, называется производной от функции Φ в направлении D:

D T X 0 D .

Доказательство.

D lim X 0 D X 0 .

0

где cos( i ) – направляющие косинусы единичного вектора D. Подставив выражения (5) и (6) в формулу (4), получим:

n cos( i )

D lim i 1 xi T D .

0

Теорема 2.

Если T X 0 D 0 , то существует такая величина σ, чтоX 0 D X 0 для любого 0, .

12

Доказательство.

Первое неравенство в условии теоремы означает, что производная от функции Φ по направлению D положительна.

lim X 0 D X 0 0 .

0

Так как 0 , то, для того чтобы предел отношения был положительным, необходимо, чтобы числитель был не меньше нуля для всех τ, достаточно близких к нулю, что доказывает утверждение теоремы.

Теорема 3.

Градиент X 0 показывает направление наискорейшего возрастания функции Φ в точке X 0 .

Доказательство.

Рассмотрим все направления D d1 , d2 , , dn , в которых наблюдается возрастание функции, т.е.

T X 0 D 0 .

Так как T (X 0 ) D T (X 0 ) D cos ( T , D) , то свое наибольшее значение эта величина примет при cos( T , D) 1, т.е. когда угол( T , D) 0 и, следовательно, направление D совпадает с направлением

градиента.

Так как величина производной по направлению показывает скорость возрастания функции в данном направлении, то отсюда следует утверждение теоремы.

Теорема 4.

В точке максимума X* функции (X) градиент равен нулю:

X * 0 .

Доказательство.

Предположим, что X * 0 . Зададим направление D X * .

X * D X * X * X * 2 0 .

Следовательно, направление D X * есть направление, в котором возможно возрастание функции (X) в сравнении со значением функции в точке X * , что невозможно, так как X * – точка максимума. Значит, предположение о том, что X * 0 , неверно.

13

Методические рекомендации к теме 1

Знать основные понятия и теоремы, иметь представление о системах классификации задач математического программирования. Самостоятельно проработать материал «Математическая модель, этапы моделирования, вычислительный эксперимент» [15].

Уметь отвечать на вопросы и выполнять задания по теме.

Контрольные вопросы и задания

1.Какие задачи решают и где применяются методы оптимизации?

2.На какие этапы можно разделить процесс принятия решений в исследовании операций?

3.Что такое информационное моделирование?

4.Сформулируйте в общем виде задачу математического программирования.

5.По каким признакам классифицируются задачи математического программирования?

6.Что в задаче математического программирования называют допустимым решением, а что – оптимальным решением?

7.Приведите пример задачи дробно-линейного программирования.

8.Какая функция называется целевой?

9.Чем задача безусловной оптимизации отличается от задачи условной оптимизации?

10.Можнолизадачупоискамаксимумафункциипреобразоватьвзадачу поиска минимума?

11.Приведите пример задачи математического программирования, не имеющей решения. Можно ли утверждать, что задача математического программирования имеет решение, если допустимое множество замкнуто и ограничено?

12.Как построить линии уровня целевой функции?

13.Что такое градиент функции?

14.Что показывает вектор градиента, антиградиента?

15.Как определить производную по направлению D?

16.Чему равен градиент функции в точке экстремума?

18. Какая точка называется стационарной?

14

2.ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

2.1.Общая постановка задачи

Рассмотрим множество векторов X Rn , X (x1 , x2 ,..., xn ) и функцию

n

f (x) c j x j , где cj – некоторые числовые коэффициенты. Функция

j 1

f x f x1 , x2 , , xn линейна относительно переменных x1 , x2 ,..., xn , то есть

представляет собой линейную форму.

Предположим, что на компоненты векторов X наложена система ограничений ввиделинейныхравенствинеравенств. СовокупностьвекторовX, удо-

влетворяющих этим ограничениям, составляет некоторое множество Rn .

Говорят, чтовпространстве Rn поставленазадачалинейногопрограммирования(ЗЛП), еслиопределеналинейнаяцелеваяфункция f (x), подлежащаямини-

мизации, атакжезаданасистемалинейныхограниченийнакомпонентывекторов X ввидеравенствинеравенств, определяющаянекоторуюобласть Rn :

Здесь I, K, L – заданные целочисленные множества индексов. Заметим, что решение такой задачи методом приравнивания к нулю

частных производных и решения соответствующей системы невозможно, так как все производные равны константам.

2.2. Каноническая форма представления ЗЛП

Задачи линейного программирования возникают в различных областях науки, техники, экономической теории, медицине, социологии и т.д. В зависимостиотцелейрешения, ЗЛПмогутбытьзаписанывтомилииномвиде, однако существуютстандартныеформыпредставлениязадачлинейногопрограммирования, длякоторыхразработаныметодыиалгоритмырешения.

В канонической форме ЗЛП все ограничения системы (8) (кроме неравенств, выражающих условие неотрицательности переменных) представлены в виде равенств и требуется найти максимум целевой функции.

15

Приведение задачи к стандартной или канонической форме легко осу-

2) Ограничения типа равенств и неравенств можно привести к необходимой форме, используя следующие приемы:

а) ограничение типа можно привести к ограничению путем умножения обеих частей неравенства на –1;

б) ограничениетипа= приводитсякдвумограничениямтипанеравенстви , если потребовать их одновременного выполнения. Например, равенство x1 x2 1 эквивалентно системе двух неравенств

x1 x2 1;x1 x2 1;

в) ограничение типа неравенства можно всегда привести к ограничению типа равенства путем добавления еще одной переменной xn 1 в левую часть

неравенства. Так, например, ограничение ai1 x1 ai 2 x2 ... ain xn bi

можно привести к ограничению типа равенства добавлением положитель-

ной переменной xn 1 : ai1 x1 ai 2 x2 ... ain xn xn 1 bi , xn 1 0 . При этом нужно помнить, что размерность задачи (число переменных хi) станет

на единицу больше, а неизвестная xn 1 войдет в качестве слагаемого в целевую функцию f(x) с коэффициентом cn 1 , равным нулю ( cn 1 0 );

г) если не задано ограничение вида xi 0 на некоторую переменную, а оно необходимо для канонической формы, то вместо одной переменной xi можно рассмотреть две переменные xi и xi , такие, что xi 0 и xi 0 , а

xi xi xi .

Используя перечисленные приемы, произвольную задачу линейного программирования можно привести к основной канонической форме: мак-

16

В матричной форме задача записывается следующим образом:

(C, X ) max;

A X T B; (10)

X 0.

Всякое решение системы (9) называется допустимым решением. Допустимое решение, при котором линейная функция f(x) принимает оптимальное(вданномслучаемаксимальное) значение, называетсяоптимальнымре-

шением, или оптимальным планом.

2.3. Формулировка некоторых типичных задач линейного программирования

2.3.1. Задача о раскрое

Пусть имеется n вариантов раскроя листа жести на заготовки m типов. Заготовок i-го типа требуется в количестве bi (i 1, .., m) . При j-м способе

раскроя j 1, , n получаются заготовки i-го вида в количестве aij , а отходы (по весу, по площади и др.) равны c j . Обозначим как x j количество листов, раскраиваемых по варианту j. Вектор X (x1 , x2 ,..., xn ) представляет

собой общий план раскроя. Тогда задача по отысканию оптимального плана раскроя может быть записана следующим образом.

Определить вектор X, минимизирующий функцию отходов

n

f (X ) c j x j приограничениях, направленныхнавыполнениепланавы-

j 1

пуска заготовок требуемых типов:

При постановке конкретной задачи обычно все исходные данные сводятся в таблицу.

17

2.3.2. Задача о планировании производства

Для n различных технологий предприятие может использовать m видов ресурсов – сырье, энергию, оборудование. Запас ресурсов ограничен величинами bi (i 1, ..., m) . Известно, что при применении технологии с номе-

ром j j 1, , n в единицу времени расходуется aij единиц ресурса, и производится c j единиц продукта.

Требуется определить интенсивность (продолжительность) использования каждой технологии, чтобы выпустить максимальное количество продукции, не допустив перерасхода ресурсов.

Пусть x j – время, затраченное на j-тую технологию.

Тогда справедлива следующая математическая формулировка рассматриваемой задачи:

2.3.3. Задача о рационе

Пусть имеется n видов продуктов, в которых содержатся m типов питательных веществ. Обозначим символами aij количество питательных ве-

ществ i-го типа (i 1, , m ) в j-м продукте ( j 1, , n ). Потребность орга-

низма в i-м питательном веществе на протяжении определенного времени задается величиной bi . Стоимость единицы j-го продукта равна cj .

Требуется определить количество каждого продукта в рационе так, чтобы суммарная стоимость рациона была минимальной.

Пусть x j – количество j-го продуктаврационе. Тогда cj x j – общаясто-

n

имость j-го продукта, c j x j – суммарная стоимость рациона.

j 1

Получаем следующую ЗЛП:

n

c j x j min,

j 1

18

2.3.4. Транспортная задача

Пусть имеется n строительных объектов, в которые поступают строительные материалы, хранимые на m складах. Известна стоимость cij пере-

возки материалов с i-го склада (i 1, , m ) на j-й строительный объект ( j 1, , n ), количество ai единиц строительных материалов на i-м складе изаказанныйобъем bj материаловдлядоставкинаj-йстроительныйобъект.

Требуется составить план перевозок строительных материалов со складов на объекты так, чтобы суммарная стоимость перевозок была минимальной.

Пусть xij – количество материалов, которое планируется перевезти с i-го склада на j-й объект. Тогда стоимость перевозки cij xij , а общая стоимость S всех перевозок будет равна

m n

S cij xij . i 1 j 1

Строительные объекты должны быть обеспечены материалами в точном соответствии с заказом. Поэтому планируемые объемы перевозок xij

должны удовлетворять условиям

Однако со склада нельзя вывезти строительных материалов больше, чем там имеется. Следовательно, должны быть выполнены условия

m

xij ai , i 1, 2, ,m.

i 1

Получаем следующую ЗЛП:

Отметим, что сформулированная ЗЛП может иметь решение только в том случае, если сумма заказов всех строительных объектов не превышает суммарного запаса строительных материалов на всех складах, т.е.

19

2.4. Свойства решений задач линейного программирования

1)Множество допустимых значений задач линейного программирования является либо пустым, либо выпуклым множеством.

2)Если множество допустимых значений не пусто и целевая функция ограничена сверху на этом множестве, то задача максимизации имеет решение.

3)ОптимальноерешениеЗЛПвсегданаходитсянаграницедопустимой области.

Примечание.

Множество в пространстве Rn называется выпуклым, если вместе с

двумя точками x1 x11 , x12 , , x1n , x2 x12 , x22 , , xn2 множество содержит и отрезок, их соединяющий (рис. 2).

Рис. 2. Примеры выпуклых (а) и невыпуклых (б) множеств

2.4.1. Опорные решения задач линейного программирования

Предположим, что ЗЛП приведена к канонической форме

(C, X ) max,

A1 x1 A2 x2 ... An xn B,

x j 0, j 1, ..., n.

20