971

Теорема 2 (Больцано-Коши).Обобщенная теорема о промежуточном значении.

Если y f x определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b]

ни было число с, лежащее между А и В, найдется такая точка С, что

f c C .

y

С

А

O а с b x

Рис. 2.6

Бернард Больцано (1781-1848).Чешский математик, философ и богослов. Автор труда «Учение о функциях», опубликованного в 1930г через 100 лет после написания.

Огюст Луи Коши (1789-1857).Французский математик. Работы в области анализа и математической физики.

Следствие. Если y f x определена и непрерывна на [a,b], то при-

нимаемые ею значения тек же заполняют сплошь некоторый промежуток. Теорема Вейерштрасса 1. Функция y f x непрерывная на отрезке

[a,b], ограничена на нем, т.е. f x M

Геометрически это означает, что дугу АВ можно заключить внутри по-

лосы y = – M, y = M.

Y

М

Рис. 2.7

51

Теорема Вейерштрасса 2. Непрерывная на отрезке функция принимает на нем свое наименьшее и наибольшее значение.

Теорема Вейерштрасса (объединенная). Функция y f x непрерывная на [a,b]:

1.ограничена на этом отрезке;

Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815-1897) немецкий математик, занимался математическим анализом, теорией аналитических функций, вариационным исчислением, дифференцированием, геометрией, линейной алгеброй.

Точкой экстремума называется точка, в которой функция принимает наименьшее или наибольшее значение по сравнению со значениями в других точках достаточно малой двухсторонней окрестности.

Говорят, что функция достигает в точке х0 max (min), для всех точек которой выполняется неравенство f x f x0 ( f x f x0 ).

Понятие экстремума носит локальный (местный) характер, т.е. значения функции в x0 сравнивается со значениями функции только в близлежащих точках и min может быть больше max.

mах

y

min

52

а т.к. f x0 существует и конечно, то f x0 0 .

Геометрически эта теорема означает, что касательная в точке экстремума параллельна оси Ox.

М

y

m

Рис. 2.9

Пьер Ферма (1601-1665) Французский математик, по профессии юрист. Большинство работ издано после смерти его сыном.

Теорема Ролля. Если y f x :

–непрерывна на [a,b];

–дифференцируема в каждой точке внутри отрезка;

–принимает равные значения на концах отрезка, то внутри отрезка

c 0 .найдется

постоянная величина.

2. Если функция изменяется, то, будучи непрерывной в замкнутом интервале, она принимает свое наибольшее и наименьшее значения, причем внутри отрезка есть точка x, где f (x) f (a) f (b) , то среди этих точек

найдется экстремальная точка x = c, в которой f c 0 по теореме Ферма.

Мишель Ролль (1652-1719)Французский математик.

Теорема Лагранжа. Если функция y f x непрерывна и дифференци-

руема во всех внутренних точках отрезка [a,b], то внутри отрезка найдется та-

каяточка , что f f b f a или f b f a b a f b a

Доказательство. Это равенство называется формулой Лагранжа. Или формулой конечных приращений. – это точка, в которой касательная параллельна

хорде, стягивающейконцыкривойнаотрезке M a, f a , N b, f b .

53

Гийом Франсуа Лопиталь (1661-1704) г. Французский математик, автор одного печатного учебника по математическому анализу «Анализ бесконечно малых».

Применение правила Лопиталя к раскрытию неопределенностей.

55

Пример 1. lim x3 1 x 1 ln x

Решение:

Подстановка предельного значения x 1 приводит к неопределенности

Решение:

Напомним, что lim arctg x , т.е. имеем неопределенность вида 0 . 2 0

x

Находим предел с помощью формулы (1):

Пример 3. lim x2 .

x ex

Решение. Здесь числитель и знаменатель одновременно стремятся к

бесконечности, т.е. имеем неопределенность вида . Кроме того,

56

раскрытию неопределенности вида 0 путем тождественного преобразования разности функций в произведение

Неопределенности вида 00 , 0 , 1 .

При отыскании предела функции f x x могут представиться случаи:

57

Вычисление предела функции в этих случаях сводится к раскрытию неопределенности вида 0 с помощью следующего преобразования: