971

2.5.Свойства производной

1.Производная постоянной равна нулю, т.е.

Следствие. Формула справедлива для любого конечного числа дифференцируемых функций.

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произ-

ведение первого сомножителя на производную второго, т.е. (uυ)/ =u/ υ+υ/ u,

y u , (u ) (u u)( ) (u ) u u u ,

(u)/ u/ /u /u .

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(cu)/ c/u cu/ 0 cu/ c/u ,

(cu)/ cu/ .

31

Т.к. в силу непрерывности функции 0 при ∆х→0, получим:

Следствие. Производная от дроби с постоянным числителем

6. Производная сложной функции. Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной x, т.е.:

приращение независимой переменной х, равное x 0. Тогда u получит приращение ∆u, а y получит приращение ∆y.

По условию

lim y у/ .

По определению предела, при ∆u≠0 получим

y y/ ,u u

где α→0 при ∆u→0. Тогда

y yu/ u u .

Разделим все члены равенства на x :

32

По условию

Тогда, переходя к пределу при ∆x→0, получим:

7. Производная обратной функции. Производная от переменной y как функции от x равна обратной величине производной от переменной x как функции от у:

yx/ x1/ .

y

Пусть y=f(x) – дифференцируемая функция на некотором промежутке X. Если переменную y рассматривать как аргумент, а переменную x как функцию, то новая функция х=φ(у) является обратной к данной и непрерывной на промежутке Y.

Т.к.

8. Производная неявной функции.

Если задана неявная функция в виде F(x,y)=0, то для нахождения производной yx/ нужно найти производные от левой и правой частей заданного соотношения, имея при этом в виду, что y есть функция x, обращающая

это соотношение в тождество. Затем из полученного соотношения выразить ух/.

Пример 2. Найти производную функции y2+3х2+2ху+5=0.

Решение. Для нахождения производной yx/ найдем производную от ле-

вой и правой частей заданного соотношения, имея при этом в виду, что y есть функция, зависящая от x:

2уу/+6х+2у+2ху/=0, y/(2y+2x) = – 6x – 2y,

y/ 3x y .

x x y

33

9. Производная сложной функции:

dydx dUdy dUdx ;

2.6.Производные основных элементарных функций

2.6.1.Дифференцирование тригонометрических функций

34

2.6.2. Дифференцирование логарифмической функции

y loga x .

y loga x x loga x

yln u , ln u u1 u .

2.6.3Дифференцирование степенной функции с любым показателем

y u . ln y ln u ;

(ln y)/ ( ln u)/ ; 1y y u1 u ;

y y u1 u u 1 u ; (u )/ u 1 u .

2.6.4. Дифференцирование показательной функции

y au . ln y u ln a ;

(ln y)/ (u ln a)/ ;

;

y y u ln a au u ln a ;au au u ln a .

35

2.6.5. Дифференцирование показательно-степенной функции

y uv . ln y v ln u ;

1y y v ln u v u1 u ; y uv v ln u v uv 1 u ; (uv )/ uv ln u v v uv 1 u .

2.6.6. Дифференцирование обратных тригонометрических функций

1. y arcsin x x sin y ;

36

2.6.7.Гиперболические функции

ипроизводные гиперболических функций

37

2.6.8. Формулы дифференцирования основных элементарных функций

38

Пример 3. Найти производную функции y x3 arctg x .

Решение.