Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

971

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.06.2024

Размер:

1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>


б)	lim			5 x	3 x	.	Подставляя	x 1, придем к неопределенности
				1 x
	x 1
вида		0		Умножим			числитель и	знаменатель дроби на сумму
		0	.

5 x

3 x с таким расчетом, чтобы избавиться от иррациональности в

числителе и устранить неопределенность. Поскольку

5 x 3 x

5 x 3 x 5 x 3 x 2 2x 2 1 x , то

lim

5 x

3 x

lim

5 x

3 x

5 x

3 x

x 1

1 x

x 1

1 x 5 x 3 x

2 1 x

lim

1 .

1 x

5 x 3 x

x 1

5 x

3 x

Сравнение бесконечно малых. Отметим, что предел отношения бесконечно малых не изменится при замене их (или одной из них) эквивалентными бесконечно малыми. Это позволяет упростить решение многих задач теории пределов.

Пример 4. Найти пределы: а) lim

arcsin(x 2)

;

б) lim ln(1 sin x)

;

xsin 2x

x 2

x 0

tgx

в) lim

x 0 (arctg5x)2

Решение.

x 2

arcsin(x 2)

а) lim

lim

x 2

x 2 x

б) lim

ln(1 sin x)

= lim

sin x

tgx

x 0

xsin 2x

x 2x

в) lim

lim

(arctg5x)

(5x)

x )

x 0

Существенно упрощает решение задач использование двух важных со-

отношений теории пределов, называемых первым ( lim sin x 1) и вторым

x 0 x

1		1 )x e ) замечательными пределами
( lim(1 x) x	lim(1	1 )x e ) замечательными пределами
x 0	x	x

Пример 5. Найти пределы: a) lim sin 4x

sin

2 x

; б)

lim

Решение.

x 0

а) lim

sin 4x

lim

4sin 4x

lim4

lim

sin 4x

1 4.

x 0

2 x

x 2

sin

3 sin

б) lim

lim

x 0

x 2

sin

lim

x 0

Неопределенность вида

Пример 6. Найти пределы: а)

lim 1

; б) lim 1 3x x

;

x 0

в) lim 1

2 x

Решение. а)

lim

;

lim 1

1 lim

б) lim 1 3x x

3x 3x

e3;

x 0

в) lim

1 e m , где k, p, m R.

x 3 x

2x 1 3x

Пример 7. Найти пределы: а) lim

; в)

lim

;

1 x

x x

x 0

г) lim 1

Решение. Воспользуемся рабочей формулой

lim ( f ( x) 1) g ( x)

lim f (x) g ( x) 1 ex a

x a

x 3

7 x

xlim

1 x

lim

а) lim

x 4

ex x 4

;

x 4

2 x 1

2x 1

6 x

б) lim

xlim

1 3x

lim

;

2x 1

e 2 x 1

ex 2x 1 e

1 x

4 x(1 x)

x 0

1 x

lim 1 4 x 1

lim

x 0

г)

lim 1 4x

Следует заметить, что неопределённости вида

1 ,0 ,00 , 0 ,

сводятся различными приёмами к неопределённости вида 0

или

, рас-

крытие которых мы уже рассматривали в ряде простых случаев.

Пример 8. Вычислить: а)

lim

x ln(1 x)

ln x .

; б)

x 2

x 0

а) lim

х=2,

при

подстановке

получаем

x 2

неопределённость вида

( ). Преобразуем

х 2

исходное выражение:

lim

= lim

х 2 4

lim

x 2

lim

x 2 x 2

x 2

б)

lim

x ln(1 x) ln x

, при

x 0 ,

ln 1 x 0 ,

ln x

и мы

x 0

имеем дело с неопределённостью вида (0 ).

Преобразуем:

lim x

ln(1 x) ln x = lim

xln 1 x limln 1

x 0

(напомним,

что

lim F ( f (x)) F(lim f (x)) ,

если

f (x)

(и

F( f (x)) ) непре-

x a

рывны в окрестности точки а) = ln lim

ln e 1.

x 0

Задания

1. Вычислить пределы:							2 x
а) lim	tgx		sin 3x			3x 2
	x	; б) lim		; в)	lim	3x 1		; г)
			x 2 2
x 0		x 0			x

2.Найти пределы последовательностей:
		n2 2n			1	1	1	...	1
а)	lim		; б)	lim							;	в)	lim
					2	4	8		2	n
	n n n			n									n

lim e 3x 1.

x x

2n 3

n 1

3. Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалентными вычислить следующие пределы:

а) lim	sin 2x	; б) lim	x2	.
			5sin x)
x 0 e3x e2x		x 0 ln(1

1.11. Непрерывность функции

Функция f (x) называется непрерывной в точке a , если:

1) эта функция определена в некоторой окрестности точки a ;

2) существует lim f (x) ;

x a

3) этот предел равен значению функции в точке a , т.е. lim f (x) ,

x a

Обозначая x a x (приращение аргумента) и f (x) f (a) y , (при-

ращение функции), условие непрерывности можно записать так:

lim y 0 , т.е. функция f (x) непрерывна в точке a тогда и только тогда,

x 0

тогда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т.п.), то она называется непрерывной в этой области.

Функция f называется непрерывной в точке a справа, если выполняет-

ся условие		lim f (x) f (a) (когда x	стремится к	a	справа, оставаясь
больше a ).		x a 0
больше a ).				f	непрерывна слева
Если	lim f (x) f (a) , то говорят,		что функция	f	непрерывна слева
	x a 0
(когда x стремится к a слева, оставаясь меньше a ).
Если	f	непрерывна в точке a слева и справа, то она непрерывна в этой

точке.

Функция f имеет разрыв в точке a , если она определена в сколь угод-

но близких точках к a , но в самой точке а нарушается хотя бы одно из условий непрерывности функции.

Конечным разрывом или разрывом первого рода называется разрыв функции f в точке a , если существуют конечные односторонние пределы

f (a 0) и f (a 0) .

Скачком функции f в точке a называется разность его односторонних

пределов lim f (x) lim f (x) , если они различны.

x a x a

Если f (a 0) = f (a 0) , то точка a называется точкой устранимого

разрыва.

Все другие случаи разрыва функции называются разрывами 2-го рода.

Если хотя бы один из указанных односторонних пределов окажется бесконечным, то разрыв функции называется бесконечным.

Пример 1.

Исследовать функцию на непрерывность; непрерывность справа и слева и установить характер точек разрыва, где

	x	2	25			у
		2		, при х 5			5
							5
		x 5
f (x)		x 5
			1	, при х 5
			1	, при х 5				х
					-5	0		х
Решение.				x 5 можно сократить	на x 5 .
Решение.			При	x 5 можно сократить	на x 5 .	Следовательно,
f (x) x 5	при x 5 . Легко видеть, что lim				f (x) lim 10 . Значит, при
				x 5	x 5

x 5 функция будет разрывной, так как предел функции не равен значению функции в этой точке.

Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию

	1	, при х 1
f (x) e	x 1	, при х 1
	x 1
		, при х 1
0		, при х 1

Решение. Найдем односторонние пределы в точке x 1, т.е.


	1
lim f (x) lim e			x 1	0,
x 1	x 1
	1
lim f (x) lim e		x 1		.
x 1	x 1
В точке x 1 функция f (x)	имеет разрыв 2 рода. Так как предел слева

в точке x 1 равен значению функции в этой точке, то функция непрерывна слева в точке x 1. При остальных значениях x функция непрерывна (по теореме непрерывности суперпозиции функций).

Пример 3. Доказать непрерывность функции f (x) sin 2x . Решение. Пусть x0 – произвольное значение на числовой прямой. Найдем f (x0 ) sin 2x0 и составим разность

sin 2x sin 2x0 2cos(x x0 ) sin(x x0 ) .

Оценим полученное выражение в правой части по абсолютной величи-

не

cos(x x0 ) 1, sin(x x0 ) x x0 .

Итак, отмечаем, что

lim sin x sin x0 0.

x x0

Задания

1. Показать, что при х 4 функция y arctg x 1 4 имеет разрыв.

2.	Найти точки разрыва функции y		1			.
2.	Найти точки разрыва функции y	(x 1)(x 5)				.
3.	Каков характер разрыва функции y		1		в точке x 1.
3.	Каков характер разрыва функции y		1		в точке x 1.
			1
		1 e		x
4. Исследовать на непрерывность функции
	а) y cos(3x 2) ;	б)	y		x2 1 .

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

2.1. Задачи, приводящие к понятию производной

Задача о скорости движения. Рассмотрим понятие мгновенной скорости прямолинейного движения точки.

Пусть вдоль некоторой прямой движется точка, причем неравномерно, с переменной скоростью по закону S S(t) , где S – пройденный путь;

t – время (рис. 2.1). Так как скорость переменная, то отношение пройденного пути к истекшему времени определяет среднюю скорость, т.е. за про-

межуток t средняя скорость ср St . Мгновенная же скорость движения

в момент t получается как предел средней скорости в процессе безграничного уменьшения промежутка времени t

lim

f (t t) f (t)

(2.1)

мгн

t 0

ср

t 0

S (t0)

S (t0 + t)

t0 +

Рис. 2.1

Задача о касательной. Пусть функция у = f(х) определена на проме-

жутке Х. Возьмем точку х0

Х и дадим значению х0

приращение х 0

(рис. 2.2), тогда функция получит приращение у f (х0 х) f (х0 ) .

М(х;у)

у0+ у

у0

М0(х;у)

у=f(х)

х0+ х

х0

Рис. 2.2

Видно, что yx tg , т.е. это отношение равно угловому коэффициен-

ту секущей М0М. Если x 0 , то секущая, поворачиваясь вокруг точки М0, в пределе переходит в касательную. Таким образом, под касательной к кривой y f (x) в точке М0 (х0; у0) следует понимать предельное положе-

ние секущей М0 М при приближении точки М к точке М0, т.е. при х 0 (рис. 2.2).

Уравнение касательной к кривой у f (х) в точке х0 , проходящей через точку М0 имеет вид:

у y0 k(x x0 ) ,

где угловой коэффициент касательной

k lim	y	lim	f (x0 x) f (x0 )	tg .	(2.2)
	x		x
x 0		x 0

2.2. Определение производной

Выражения (2.1), (2.2) в рассмотренных примерах с математической точки зрения имеют одинаковую структуру и характеризуют скорость изменения функции. Таким образом, производной функции у f (х) называ-

ется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменнойпристремлениипоследнегокнулю(еслиэтотпределсуществует):

у lim	y	lim	f (x0 x) f (x0 )	.
	x
x 0		x 0	x

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Производная функции имеет несколько обозначений. Обозначения dydx

и dfdx(x) , были введены Лейбницем, а обозначения со штрихами у и f (х) –

Лагранжем. Сам термин «производная» также введен Лагранжем на рубеже XVIII и XIX веков и не зависимо от него Арбогастом. Термин «дифференциал» введен Лейбницем по предложению его ученика И. Бернулли.

Существуют и другие обозначения. Например, в механике и в теории колебаний, когда независимой переменной является время, И. Ньютон применял обозначение у («игрек с точкой»).

Геометрический смысл производной. Производная f (x0 ) есть угловой

коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y f (x) в точке х0 (см. рис. 2.2):

tg f (x0 ) .

Механический смысл производной. Производная пути по времени S (t0 )

есть скорость точки в момент t0 (см. рис. 2.1): (t0 ) S (t0 ) .

2.3.Зависимость между непрерывностью функции

идифференцируемостью

Терема. Если у = f(x) дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Т.к.

lim y f / (x0 ),

x 0 x

то на основании теоремы о связи бесконечно малых с пределами функций

y f / (x0 ) ,x

где α – бесконечно малая величина, или

y f / (x0 ) x x.

При ∆х→0 ∆у→0 и, следовательно, функция y=f(x) в точке x0 является непрерывной.

2.4.Правило вычисления производной

1.Дать аргументу x приращение x 0 .

2.Вычислить приращение функции у f (х х) f (х) .

3.Составить приращение функции к приращению аргумента yx .

4.Вычислить предел этого отношения (если этот предел существует) при ∆х→0, т.е.

у lim y .

x 0 x

Пример 1. Исходя из определения производной, найти производную

функции а) y

x ;

б) y tg x .

Решение. а) y

x . Зададим приращение x , такое, что x x 0 .

Тогда

x x

x .

Поэтому

x x

Переходим к пределу при x 0 :

y (x) lim

lim

x x

lim

;

x x

x 0

x 0 x(

т.е. ( x)

б) y tg x . Находим

y tg(x x) tgx sin(x x)

sin x

sin(x x)cos x sin xcos(x x)

cos(x x)

cos x

cos(x x) cos x

sin(x x x)

sin x

cos(x x) cos x

Откуда

sin x

cos(x x) cos x

и, следовательно

sin x

lim

x) cos x

cos2

x 0

x 0 cos(x

Итак, (tg x)

cos2 x

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.06.2024993.41 Кб0967.pdf
#
17.06.2024993.9 Кб0968.pdf
#
17.06.2024999.51 Кб1969.pdf
#
16.06.2024187.07 Кб097.pdf
#
17.06.2024999.72 Кб0970.pdf
#
17.06.20241 Mб0971.pdf
#
17.06.20241 Mб0972.pdf
#
17.06.20241 Mб0973.pdf
#
17.06.20241.01 Mб0974.pdf
#
17.06.20241.01 Mб3975.pdf
#
17.06.20241.01 Mб0976.pdf