969
.pdf2)законы микромира отличаются от законов макромира;
3)построена на однозначных причинно-следственных связях;
4)наблюдается господство континуальных представлений о материи.
21. В механической картине мира принято, что .
1)в инерциальных системах отсчёта, движущихся с большими скоростями, темп времени замедляется;
2)пространственные размеры тел в покоящихся и движущихся системах отсчёта остаются одинаковыми;
3)линейный размер тел, движущихся с большими скоростями, уменьшается;
4)с возрастанием скорости движения тела его масса увеличивается.
22.Найдите утверждение, справедливость которого стала понятной при переходе от механической картины мира к электромагнитной.
1) Существуют качественно различающиеся формы движения материи. 2) Любое движение сводится к перемещению тел и частиц.
3) Зная причину, можно точно и однозначно рассчитать ее следствия. 4) Движущее тело действует на движимое, а встречного противодейст-
вия нет.
23.Справедливо в механической картине мира, но не справедливо
вэлектромагнитной:
1)существуют качественно различающиеся формой движения материи;
2)любое движение сводится к перемещению тел и частиц;
3)движущее тело действует на движимое, а встречного противодействия нет;
4)зная причину, можно точно и однозначно рассчитать ее следствие.
24.Укажите положение, свойственное механической картине мира, но отвергнутое в современной научной картине мира.
1)Движущее тело действует на движимое, а встречного противодействия нет.
2)Единственнаяформаматериивещество, имеющеедискретноестроение.
3)Вселенная в целом и eё подсистемы являются результатом длительной эволюции.
4)ВбольшихмасштабахвеществовоВселеннойраспределеноравномерно.
25.В современной научной картине мира, как и в механической, считается, что.
1)случайность и неопределенность фундаментальные элементы мироздания;
61
2)материальные тела движутся под воздействием нематериальных виртуальных частиц;
3)в больших масштабах вещество во Вселенной распределено равномерно;
4)взаимодействия между материальными объектами передаются мгновенно.
26. Переносчиком взаимодействий между материальными объек-
тами служит ...
1)физический вакуум;
2)физическое поле;
3)фотон;
4)эфир.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Механическая картина мира признает только один вид движения – механическое движение, представляющее собой изменение положения тела в пространстве с течением времени. В процессе механического движения рассматриваемое тело изменяет свое положение в пространстве относительно другого тела (или других тел), условно принятого за неподвижное и называемого телом отсчета. Для определения положения тел в пространстве с телом отсчета жестко связывается прямоугольная (декартова) система координат, снабженная часами (система отсчета).
Положение движущейся материальной точки (или тела) в данный момент времени в декартовой системе координат можно задать двумя способами:
1)тремя скалярными координатами x , y , z .
2)радиусом-вектором r , проведённым из начала координат в дан-
ную точку. Единичные векторы i , j
и k , направленные вдоль соответствующих осей x, y, z , образуют ор-
тонормированный базис (рис.4).
Радиус-вектор r можно представить через скалярные координаты точки следующим образом:
r xi yj zk
Модуль радиус-вектора r : r x2 y2 z2
Рис.4
62
При перемещении материальной точки её радиус-вектор r изменяется со временем (рис.5):
r r t , |
(1) |
(1) – векторное кинематическое уравнение движения. Координаты точки тоже изменяются со временем:
x x t |
|
y y t , |
(2) |
zz t
(2)– скалярные кинематические уравнения движения
Линия, которую описывает в пространстве движущаяся материальная точка, называется траекторией.
Длина участка траектории, пройденного материальной точкой за некоторый промежуток времени t называется путём (S).
Вектор, проведённый из начального положения материальной точки в
её положение в данный момент времени называется перемещением r :
r r2 r1.
Быстрота |
изменения положения |
|
||
материальной |
точки |
в пространстве |
|
|
характеризуется вектором |
мгновен- |
|
||
|
|
|
|
|
ной скорости . |
|
|
|
|
Модуль вектора мгновенной ско- |
|
|||
рости равен первой производной от |
|
|||
пути по времени: |
|
|
|
|
|
dS , |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
Быстрота |
изменения |
вектора |
|
|
мгновенной скорости при прямоли- |
|
|||
нейном движении |
характеризуется |
|
||
вектором ускорения a . |
|
|
||
|
Рис.5 |
|||
Модуль вектора ускорения равен первой производной от скорости по времени:
a ddt .
Пример 1. Движение двух тел описывается уравнениями
x 0,75t3 |
2,25t2 |
t , |
x 0,25t3 |
3t2 |
1,5t Определить величины скоро- |
1 |
|
|
2 |
|
|
63
стей этих тел и момент времени, когда ускорения их будут одинаковы, а также значение ускорения в этот момент времени.
|
Дано: |
|
|
|
Решение |
|||
x1 0,75t3 2,25t2 t |
Определим момент времени, когда ускорения |
|||||||
x |
0,25t3 3t2 1,5t |
обоих тел одинаковы. Для этого получим выра- |
||||||
2 |
|
жения для ускорений, продифференцировав по |
||||||
|
|
времени уравнения движений тел: |
||||||
1 |
?, 2 ? , t ?, |
|||||||
a ? |
a1 |
d |
|
|
d |
2 x |
4,5 4,5t, |
|
1 |
|
1 |
||||||
|
|
|
dt |
|
|
dt2 |
|
|
|
|
a |
d |
2 |
|
d 2 x |
6 1,5t. |
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
2 |
dt |
|
|
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Согласно условию |
задачи, в некоторый момент времени t ускорения |
||||||
тел одинаковы |
a1 a2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,5 4,5t 6 1,5t . |
|
(1) |
||||
Решая уравнение (1) относительно t получаем t 0,5 с.
Значения скоростей тел в этот момент времени:
1 dxdt1 2,25t2 4,5t 1
1 2,25 0,52 4,5 0,5 1 3,81м/с.
2 dxdt2 0,75t2 6t 1,52 0,75 0,52 6 0,5 1,5 4,69 м/с.
Ускорения тел в этот момент времени:
|
|
|
|
|
a |
a |
2 |
a 6 1,5t 6,75м/с2. |
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4,69 м/с; t 0,5 с ; a 6,75 м/с2. |
|
|
|
|
|
|
Ответ: 3,81м/с; |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Пример 2. Радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону |
|||||||||
3 |
3t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
t i |
|
j |
(м), где, i и |
j орты осей x и y. Определите для момента |
|||||
времени t = 1 c:
а) модуль скорости частицы;
б) модуль ускорения частицы.
64
Дано: |
|
|
|
Решение |
|
|
||
|
3 |
3t |
2 |
Вектор скорости определяем как первую производ- |
||||
r |
t i |
|
j |
|||||
t 1с. |
|
|
|
ную радиус-вектора по времени. |
2 |
|
|
|
|
|
|
dr |
|
||||
? |
|
|
|
|
||||
|
|
|
= dt 3t |
i |
6tj . |
(1) |
||
a ? |
|
|
|
|||||
В то же время вектор скорости, как и любой вектор можно представить через его компоненты (проекции вектора скорости на оси координат)
|
|
zk . |
(2) |
xi y j |
|||
Сравниваяэтовыражениеспредыдущим, получим:
x 3t2 ; |
y 6t ; |
z 0 . |
|
|
|
|
Модуль скорости определяется через компоненты: |
|
|||||
|
x2 |
y2 z2 |
3t2 2 6t 2 |
|
3 12 2 6 1 2 |
6,7 м/с. |
Ускорение частицы равно производной от вектора скорости
a d 6t 6 , dt
где компоненты ax 6t , ay 6 . Модуль ускорения
a ax2 |
ay2 az2 |
6 t 2 62 |
6 1 2 62 = 8,48 м/c2 ≈ 8,5 м/c2. |
|||
|
|
|
Ответ: 1) = 6,7 м/c; 2) a 8,5 м/c2. |
|||
Пример 3. Точка движется в плоскости xy |
из положения с координа- |
|||||
тами x1 y1 |
0 со скоростью ai bxj ( a и b постоянные, i и j |
|||||
орты осей x и y ) |
|
|
|
y x ; 2) форму траек- |
||
Определите: 1) уравнение траектории точки |
||||||
тории. |
|
|
|
|
|
|
Дано |
|
|
|
Решение |
||
|
|
|
||||
x1 y1 0 |
|
Компоненты скорости x |
a , y bx . |
|||
ai bxj |
|
Так как x dx |
, a y dy |
( x и y – компоненты |
||
y x ? |
|
|||||
|
|
dt |
|
dt |
|
|
|
|
радиус-вектора) то |
dx a ; |
dy |
|
|
|
|
|
|
bx. |
||
|
|
|
|
dt |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
65
Из последних выражений, исключая время, получаем, что dxa bxdy ,
или
dy ba xdx .
Интегрируя это уравнение, получим
x |
|
|
y bxdx bx2 . |
||
0 |
a |
2a |
|
|
|
Траектория движения точки является параболой.
Ответ: 1) y 2ba x2 ; 2) парабола.
Пример 4. Определите модуль силы, действующей на тело массой 0,5 кг при его движении в плоскости XOY по законам: x Asin t , y Acos t ,
где A = 0,1 м, = 4 рад/с. |
|
|
|
|
||
Дано |
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|||||
x Asin t |
По второму закону Ньютона |
|||||
y Acos t |
|
|
|
|
F ma , |
|
m 0,5 кг |
2 |
2 |
ускорение тела. |
|||
A 0,1м |
где a ax |
ay |
||||
ax проекция вектора ускорения на ось ОХ |
||||||
4 рад/с |
||||||
|
|
|
d x |
d 2 x A 2 sin t , |
||
F ? |
|
|
ax |
|||
|
|
|
||||
|
|
|
|
dt dt2 |
||
ay проекция |
вектора ускорения на ось ОY |
|||||
ay d y d 22y A 2 cos t . dt dt
Следовательно,
a |
A2 4 sin2 t A2 4 cos2 t A 2 |
sin2 t cos2 t . |
Учитывая, что sin2 t cos2 t 1, получаем a A 2 . Поэтому модуль силы, действующей на тело
F mA 2
F 0,5 кг 0,1 м 16 рад2 /с2 8 Н.
Ответ: F 8 Н.
66
Пример 5. Частица массой 0,5 кг движется прямолинейно из состояния покоя под действием силы F Fm sin t ( Fm 2 Н ). Определите путь,
который пройдет частица к концу второй секунды после начала движения.
Дано
m 0,5 кг
t1 2 c
F Fm sin t
Fm 2 Н
0 0
S ?
Учитывая, что
получаем
тогда
Решение По второму закону Ньютона:
F m ddt ,
откуда
d mF dt Fmm sin tdt ,
υ |
t F |
|
|
υ |
|
F |
|
t |
||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
тогда υ0 d 0 |
m sin tdt |
|
|
υ0 |
|
m |
cos t |
|
|
|
|
|
|
||||||||
m |
|
|
|
m |
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 mFm (1 cos t) .
0 0 ,
mFm (1 cos t) .
dSdt dS dt ,
0S dS 0t1 dt
|
t1 |
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
t1 |
||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
||
S 0 |
|
(1 |
cos t)dt |
|
0 dt |
||||||||||
m |
m |
||||||||||||||
|
F |
|
|
t1 |
|
sin t |
|
t1 |
|
S |
F |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
m |
t |
|
|
|
|
|
|
m |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
m |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
S |
2 Н |
|
2 с |
sin 2 |
2,55 м. |
||
|
|
|
|
||||
0,5 кг 3,14 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
0t1 cos tdtt1 sin t1 .
Ответ: S 2,55 м.
67
Задачи для самостоятельного решения
Средний уровень
1. Заданы уравнения движения точки: x At , y Bt2 , где A 3 м/c,
B 1 м/c2. Определите расстояние точки от начала координат в момент времени t 2 с.
а) 7,2 м |
б) 10 м |
в) 5 м |
г) 6,9 м |
2. Задан |
радиус-вектор точки: |
r Ati Bt2 j Ck , |
где A 1м/с, |
B 2 м/с2, С 3м. Определите модуль скорости в момент времени t 2 с.
а) 5,3 м/с |
б) 10,7 м/с |
в) 1,5 м/с |
г) 8,1 м/с |
3. Заданы |
уравнения движения |
точки: x At, |
y At 1 Bt , где |
A 3 м/c, |
B 1/12c-1. Найдите модуль вектора скорости в момент времени |
|||
t 2 с. |
|
|
|
|
а) 5 м/с |
б) 10 м/с |
в) 15 м/с |
г) 8 м/с |
|
4. Уравнение прямолинейного движения точки имеет вид: s At Bt2 , где A 2 м/с, B 2 м/с2. Найдите скорость тела в момент времени t 2 с.
а) 5 м/с б) 10 м/с в) 15 м/с г) 8 м/с
5. Точка движется вдоль прямой, совпадающей с осью OX. Ее коорди-
ната изменяется по закону: x At Bt3 , где A 27 м/с, B 1м/с3. Определите среднюю скорость точки за промежуток времени от t1 1c до t2 3c.
а) 15 м/с |
б) 10 м/с |
в) 14 м/с |
г) 7 м/с |
6. Движение тела массой 2 кг описывается уравнением S A Bt Ct2 , где A 2 м; B 3 м/с, С 3 м/с2. Определите импульс тела в момент времени t 2 с.
а) 46 кгм/с |
б) 48 кгм/с |
в) 86 кгм/с |
г) 26 кгм/с |
7. Под действием некоторой силы тело массой m 3 кг совершает пря-
молинейное движение, описываемое уравнением x 2t3 3t2 5t 4 . Чему равна действующая на тело сила в момент времени t 5 с?
а) 162 Н |
б) 555 Н |
в) 300 Н |
г) 270 Н |
8. Найтизакондвижениятеламассой1 кгподдействиемпостояннойсилы10 Н, есливначальныймоментвременителопокоилосьвначалекоординат.
а) S 5t2 |
б) S 10t |
в) S t2 |
г) S 5t |
68
9. Движение тела задано уравнением S 6t3 3t 2 . Найти массу тела, если в конце второй секунды на него действует сила 72 Н.
а) 1 кг |
б) 5 кг |
в) 3 кг |
г) 6 кг |
Достаточный уровень
1. Материальная точка совершает прямолинейное движение, по закону:
S t4 2t2 5 . Определите мгновенную скорость и ускорение точки в конце второй секунды от начала движения, а также путь, пройденный ею за это
время.
Ответ: = 40 м/с, а 52 м/с2, S 24 м.
2. Движение точки по прямой описывается уравнением
S 2t3 10t2 8. Найдите скорость и ускорение точки в момент t = 4с. Ответ: 16 м/с, а 28 м/с2.
3. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением S A Bt Ct2 Dt3 (C = 0,1 м/с2 ; D = 0,03 м/с3 ). Определите через ка-
кое время после начала движения ускорение тела будет равно 2 м/с2 . Ответ: t 10 c.
4. Кинематические уравнения движения двух материальных точек име-
ют |
вид |
x |
At B t2 C t3 |
и |
x A t B t2 |
C |
t3 , |
где |
B 4м/c2 ; |
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
1 |
|
C 3м/c3 |
; |
B 2м/c2 ; |
C |
2 |
1м/c3 . Определите момент времени, для ко- |
|||||||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
торого ускорения этих точек будут равны. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ответ: t 0,5 c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. Кинематические уравнения движения двух материальных точек име- |
||||||||||||||||||||
ют вид x A B t C t2 |
и |
|
x |
A |
B t C |
t2 , |
где B B , |
C 2 м/с2 , |
||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
1 |
2 |
1 |
C2 1 м/с2 . Определите: 1) момент времени, когда скорости этих точек бу- |
||||||||||||||||||||
дут равны; 2) ускорения точек в этот момент времени. |
|
|
|
|||||||||||||||||
Ответ: 1) t 0; 2) |
a 4 м/с2 , a |
2 |
2 м/с2 . |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по зако- |
||||||||||||||||||||
|
3 |
Bt |
2 |
|
|
|
|
3 |
; B 3 |
м/с |
2 |
). Определите для момента време- |
||||||||
ну r |
At i |
|
j ( A 1 м/с |
|
|
|||||||||||||||
ни t 1c после начала движения: 1) модуль скорости точки; 2) модуль ускорения.
Ответ: 1) = 6,7 м/с, 2) a1 8,48 м/с2 .
69
7. Ускорение частицы, движущейся прямолинейно, в зависимости от времени меняется согласно закону, выраженному уравнением a t 0,3t2 ,
м/с2. Найдите скорость частицы и пройденный ею путь S в течение 3 с при условии, чтовмоментвремени t 0 скоростьчастицыравняласьнулю.
Ответ: 2,7 м/с, S 2,02 м.
|
|
|
8. Заданы уравнения движения точки: x 2t , м, |
y 2t 1 3t , м, |
z 0 . |
||||||||||||
Определите: 1) уравнение траектории; 2) модули скорости |
|
и ускорения |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
а |
|
точки в момент времени t 3 с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Ответ: 1) y x 1,5x |
2 |
; 2) |
|
|
|
34 м/с, |
|
a |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 м/с . |
|
|
|
|
||||
9. Задано уравнение движения частицы вдоль оси Х : x 4t 0,05t2 , м.
Определите: 1) время движения t частицы до полной остановки; 2) коор-
динату x и ускорение а частицы в этот момент времени.
Ответ: 1) t 40 с; 2) x 80 м, a 0,1 м/с2.
10. Определить модуль равнодействующих сил, действующих на материальную точку массой 3 кг в момент времени t 6с, если она движется
вдоль оси OX согласно уравнению x At2 , где A 0,04 м/с2. Ответ: F 4,32 Н.
11. Тело массой 2 кг движется под действием силы F вдоль оси Х согласно закону, выраженному уравнением x 10sin 2t , где x измеряется в метрах, t – в секундах. Найдите наибольшее значение этой силы.
Ответ: Fmax 80 Н.
12. Тело массой m движется под действием постоянной силы F . Найти закон движения, если в момент времени t 0 тело имело скорость 0 ,
совпадающую по направлению с силой.
Ответ: x 0t Ft2 . 2m
13. На тело массой m 2 кг действует сила, пропорциональная времени F kt , где k 3 кг·м/с3. Найдите путь S , пройденный телом за время t 4 с при условии, что в момент времени t0 0 тело имело начальную
скорость 0 2 м/с. Ответ: S 24 м.
70