956

Пример 4.

Построить область допустимых решений системы неравенств.

X1 1 X2 X3 , что следует из 1-го неравенства и X1 X2 X3 1, что следует из 2-го. Объединяя, получим неравенство

X 2 X3 1 X1 1 X2 X3 .

Очевидно, что:

X 2 X3 1 1 X2 X3

X 2 X3 1.

Комбинируя подобным образом 1-е и 3-е неравенство, имеем

X1 1 X 2 X3,

X1 X2 X3 1,

X 2 X3 1 X1 1 X2 X3,

X 2 X3 1 1 X 2 X3,

X3 1.

Комбинация 2-го и 4-го дает следующий результат:

X1 X2 X3 1,

X1 1 X 2 X3,

X 2 X3 1 X1 1 X 2 X3, , X 2 X3 1 1 X2 X3,

X3 1.

Из 3-го и 4-го:

X1 X 2 X3 1, X1 1 X 2 X3,

X2 X3 1 X1 1 X2 X3, ,X2 X3 1 1 X 2 X3,

X 2 X3 1.

12

X1 X2 X3 X 4 5,X1 X2 X3 3X 4 7,

X1, X 2 , X3, X 4 0.

Вданной системе 4 переменные. Поэтому, очевидно, речь может идти

опостроении области допустимых значений свободных переменных, определяющих допустимые решения системы.

Запишем систему в векторном виде:

A1X1 A2 X2 An Xn A0 ,

13

Прежде всего, приведем систему к единичному базису. Удобнее это делать методом Жордана-Гаусса и оформлять в виде таблицы.

14

Область, изображенная на рис. 1.8 является не только областью допустимых решений переменных X2 , X3 , но и областью допустимых решений

исходной системы уравнений.

Рис. 1.8

Пример 6.

В данной системе 6 переменных. Приведем систему к единичному базису.

15

Поменяем местами 1-й и 2- й столбцы таблицы

16

Считая значения базисных переменных X1, X2, X3, X4 неотрицательными, придем к системе неравенств

Область допустимых решений этой системы неравенств, построенная в плоскости X5ОX6 (рис. 1.9), служит одновременно областью допустимых решений свободных переменных X5 и X6 исходной системы уравнений.

Пример 7.

Решить графически задачу линейного программирования или убедиться в ее неразрешимости. Найти максимум целевой функции Z = 4X1 + 2X2 при условиях

2X1 3X2 18,

X1 3X 2 9,

2X1 X 2 10,

X1, X 2 0.

Итак, в начале необходимо построить область решений данной системы неравенств. Затем построим прямую, соответствующую некоторому

17

Если перемещать прямую l параллельно самой себе в направлении век-

тора с, то значение целевой функции при этом будет возрастать. Очевидно, что наибольшее значение она примет, когда прямая будет находиться в выделенной точке c координатами (6,2). Если далее перемещать опорную прямую, то значение целевой функции возрастает, но на прямой не будет точек, принадлежащих области решений системы неравенств (см.

рис.1.10).

max Z= Z(6, 2)= 28. max Z = Z(6, 2) = 28.

Если в этой задаче изменить коэффициенты целевой функции и рассмотреть Z = 2X1 + 3X2 , то решение изменится (рис. 1.11)

18

19

Пример 9.

Решить графически задачу линейного программирования, заданную в канонической форме.

Z X1 2X6 max

Поменяем местами 1-й и 5-й столбцы с тем расчетом, чтобы переменные X1, X6 входящие в целевую функцию, стали свободными переменными системы ограничений.

20