2351

Скорость и ускорение точки вычислим с помощью следующих соотношений:

v ddts 8 t cм/с, v 8 см/с.

2.2.7.Частные случаи движения точки

1.Ускоренное прямолинейное движение.

Рис. 2.17. Прямолинейное движение

Ускорение меняется только по величине; следовательно, a харак-

теризует изменение скорости по величине. 2. Равномерное криволинейное движение.

v1 v2 v const, a dvdt 0,

81

Скорость меняется только по направлению; следовательно, нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению.

Найдем закон равномерного криволинейного движения:

v dsdt const, ds v dt.

Интегрируя

s vt, v st . 3. Равномерное прямолинейное движение.

Рис. 2.19. Равномерное прямолинейное движение

an 0, так как ; a 0, так как dvdt 0 . Следовательно, a=0.

Единственным движением, в котором ускорение может равняться все время нулю, является равномерное прямолинейное движение.

4. Равнопеременное криволинейное движение точки.

Это такое движение, при котором касательное ускорение a все время остается постоянной величиной a const .

Пусть при t 0 s s0 , v v0 , тогда

a dvdt ,

где знак плюс относится к ускоренному движению, а знак минус – к замедленному.

82

Разделяя переменные и интегрируя

v t

dv a dt ,

v0 0

получим:

vv0 a t,

vv0 a t, dsdt v0 a t.

Разделяя переменные и интегрируя

получим:

s s0 v0t a2t2 .

Пример . Автомобиль движется равнозамедленно по закруглению радиусом 1 км. В начале участка длиной 560 м его скорость v=36 км/ч и ускорение а0=0,125 м/с2. Определить скорость и ускорение в конце пути.

Рис. 2.20. Скорость и ускорение автомобиля в начале и конце пути

Дано:

s 560 м, R 1000 м, v0 10 м/с, a0 0,125 м/с2.

Найти: v1 и a1

83

Решение:

Из первого уравнения системы находим t:

Больший корень превышает момент остановки, поэтому берем меньший корень

84

2.3. Движения твердого тела

Различают пять видов движения твердого тела:

1.Поступательное.

2.Вращательное.

3.Плоское, или плоскопараллельное.

4.Сферическое.

5.Общий случай движения.

Поступательное и вращательное движения называют простейшими движениями твердого тела. Но именно из этих движений, как мы увидим, складываются все остальные виды движений твердого тела.

2.3.1. Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая проведенная в теле прямая перемещается параллельно самой себе. Например: движение любой прямой (CD) спарника АВ

( О1А О2 В,О1А О2 В).

Рис. 2.21. Пример поступательного движения тела

Свойства поступательного движения твердого тела определяются следующей теоремой.

Теорема. При поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Доказательство:

Рис. 2.22. Иллюстрация поступательного движения тела

85

Соединим две точки тела прямой АВ. Возьмем начало отсчета в некоторой точке О. Тогда

Положение точки В всегда можно найти из положения т. А, сместив-

шись по направлению AB на величину AB. Так как AB – вектор, постоянный по величине и направлению, то траектории точек А и В будут одинаковыми кривыми.

т.е. ускорения всех точек тела в каждый момент времени равны. Теорема доказана.

Из теоремы следует, что для изучения поступательного движения твердого тела достаточно знать, как движется одна его точка, т.е. кинематика поступательного движения тела сводится к кинематике точки.

2.3.2. Вращательное движение твердого тела. Угловые кинематические характеристики тела

Вращательнымназываетсятакоедвижениетвердоготела, прикоторомвсе его точки описывают окружности в плоскостях, перпендикулярных некоторой прямой. Этапрямаяназываетсяосьювращениятела.

86

Для определения положения тела (рис. 2.23) проведем через ось вращения две плоскости – неподвижную плоскость I и связанную с телом плоскость II. Тогда положение тела будет

вращательного движения тела должны отражать быстроту изменения угла поворота и показывать, происходит ли это изменение равномерно или нет. Для этого вводятся понятия угловой скорости и углового ускорения.

Переходя к пределу, получаем угловую скорость тела в данный момент времени t:

Угловая скорость тела равна первой производной от угла поворота по времени. Если ddt 0 , угол увеличивается, и вращение происходит против часовой стрелки.

Размерность угловой скорости [ ] радвремя 1c , так как радиан – величина безразмерная.

87

Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости тела с течением времени. Если за промежуток времени t t1 t угловая ско-

рость изменилась на величину 1 , то среднее угловое ускорение

2.3.3. Скорость и ускорение точки тела при вращательном движении

88

Определим ускорение точки:

a dvdt R ddt R .

an v2 R2 2 R 2.R

2.3.4.Частные случаи вращения

1.Вращение с постоянной угловой скоростью const; 0.

Это уравнение связывает и n.

2. Равнопеременное вращение, const.

ddt ; d dt.

89

Здесь знак «плюс» соответствует ускоренному вращению, а знак «минус» – замедленному.

Интегрируя, получаем:

Уравнение (2.3.17) представляет собой закон равнопеременного вращения.

Пример. Вал за 20 с при равноускоренном вращении сделал 100 оборотов. Найти угловую скорость вращения в конце этого промежутка времени.

Решение. Используем уравнение равнопеременного движения при

0 0, 0 0.

t2 ; 2

2 100.

Сопоставляя эти два выражения для угла поворота, находим:

2.4. Векторные выражения для скоростей и ускорений точек при вращательном движении тела

2.4.1. Векторы угловой скорости и углового ускорения

Угловую скорость тела и угловое ускорение тела можно представить в виде векторов и .

Вектор угловой скорости должен характеризовать:

1)ось вращения;

2)направление вращения;

3)быстроту вращения.

Условимся откладывать вектор угловой скорости вращения тела от любой точки оси вращения по этой оси, направляя его в ту сторону, откуда вращение нам будет представляться против хода часовой стрелки.

90