2351

Решение. Освобождаем арку от внешних связей.

Рис. 1.44. Вся конструкция с отброшенными внешними связями

Здесь 4 неизвестные силы и 3 уравнения равновесия.

Рассмотрим равновесие какой-либо одной полуарки. Отбрасываем мысленно шарниры А и С вместе с другой полуаркой.

Рис. 1.45. Конструкция, разделенная на два твердых тела

Для каждого твердого тела, находящегося под действием произвольной плоской системы сил можно составить 3 уравнения равновесия. Для двух

полуарок – 6 уравнений. Здесь 6 неизвестных реакций, т.е. задача опреде-

ления реакций статически определима.

Составим уравнения равновесия. При этом используем, например, всю конструкцию и левую часть арки.

32

Для всей системы:

1)Fkx 0, X A P1 X B 0;

2)Fky 0, YA YB P2 0;

3)M B 0, P2 d P1 a YA (b c d) 0.

Для левой части:

4)MС 0, P2 a X A 2a YAb 0;

5)Fkx 0, X A P1 XC 0;

6)Y 0, YA YC 0.

Решение удобно начать с третьего уравнения, так как оно содержит одно неизвестное YA:

YA (P2 d P1 a) / (b c d).

Далее из второго уравнения получаем:

YB YA P2 ;

из четвертого:

X A (YA b P2 a) / (2a) ;

из пятого:

XC X A P1 ;

из шестого:

YC YA ;

и, наконец, из первого:

X B X A P1.

1.8. Алгоритмизация расчета ферм методом вырезания узлов

1.8.1. Традиционный ручной расчет

Расчет ферм методом вырезания узлов сводится к последовательному рассмотрению условий равновесия сил, сходящихся в каждом из узлов фермы.

Рассмотрим в качестве примера ферму, изображенную на рис. 1.46.

33

Для определения 13 неизвестных внутренних усилий необходимо составить 13 уравнений равновесия. Для плоской системы сходящихся сил уравнения равновесия записываются в виде суммы проекций сил на любые две непараллельные оси:

Fkx 0;

Fky 0.

Будем последовательно отделять от фермы один узел за другим, рассматривая условия их равновесия. Начинаем с узла 1, где сходятся два стержня, так как из двух уравнений равновесия можно определить только два неизвестных усилия.

Узел 1 :

Узел 3 :

5.Fkx 0; S6 S cos 45 S2 cos30 0;

6.Fky 0; S2 sin 30 S3 F3 y S5 sin 45 0.

S4 5,837 кH.

Из 5-го уравнения:

S6 6,74 0,866 1,938 0,707 7,207 кH.

Узел 4 и т.д.

35

Четырнадцатое, пятнадцатое и шестнадцатое уравнения, составляемые для узлов 7 и 8, служат для проверки результатов.

Окончательные результаты сводятся в табл. 1.2.

Таблица 1 . 2

Усилия в стержнях 7–13 целесообразно проверить самостоятельно. Недостаток МВУ – погрешность при вычислении какой-нибудь силы

отражается на значениях последующих определяемых сил.

Для определения усилий в стержнях можно не находить предварительно реакции опор, а составить и решить систему из 16 уравнений (по два для 8 узлов ), в которых неизвестными будут 13 усилий в стержнях и 3 опорные реакции.

1.8.2. Алгоритмизация расчета для ЭВМ

Составленные уравнения равновесия могут быть записаны в матричной форме:

есть квадратная матрица размерностью 13 13, (m m) , составленная из коэффициентов перед внутренними усилиями;

S – вектор внутренних усилий размерностью т,

36

Для того чтобы ЭВМ могла сформировать уравнения равновесия узлов фермы, следует ввести в нее необходимые данные. Рассмотрим некоторый узел l.

Уравнение равновесия для этого узла имеет вид:

Рис. 1.50. Узел фермы

Fkx 0;

Sl k cos180 Sl j cos(180 ) Sl i cos Flx 0.

Fky 0;

Sl j sin(180 ) Sl i sin Fly 0.

Т.е. длясоставленияуравненийпроекцийдолжныбытьизвестны:

1)проекции действующих на узел l внешних сил;

2)узлы, с которыми узел l соединен стержнями;

3)узлы наклона стержней к осям.

Кроме того, должно быть известно общее количество стержней и узлов. Эту информацию можно дать следующим образом: пронумеруем все узлы фермы в последовательности, соответствующей порядку расчета методом вырезания узлов. Составим матрицу связей С, в которой показывается, какие узлы связаны между собой. Например, для фермы, представленной на рис. 1.51: n 6, m 9 .

Размерностьэтойматрицы2 m. Сформируемвектор-столбецнагрузок

D F1x F1y x2 y2 0 0... T .

Компоненты этого вектора – проекции внешних сил на оси. Размерность его равна т.

37

Алгоритм расчета может быть построен по следующей схеме:

начало

l 1

Определение углов наклона стержней l- го узла

Составление уравнений равновесия l-го узла. Определение неизвестных усилий.

l= l+1

Рис. 1.52. Блок-схема расчета фермы методом вырезания узлов

1.9.Cтатически определимые

истатически неопределимые задачи

Статически определимыми называются задачи, которые можно решать методами статики твердого тела, т.е. задачи, в которых число неизвестных не превышает числа уравнений равновесия сил.

Статически неопределимыми называют задачи с числом неизвестных, превышающим число уравнений равновесия сил, т.е. задачи, которые нельзя решать методом статики твердого тела. Для решения нужно учитывать деформацию тела под нагрузкой.

Для плоской произвольной системы сил можно для тела составить три уравнения равновесия. Следовательно, в этом случае задача статически разрешима при числе неизвестных сил не более трех.

Для системы сходящихся сил можно составить два уравнения равновесия. Значит, решение возможно при числе неизвестных не более двух.

Если рассматривается система п тел, загруженная силами, произвольно расположенными на плоскости, то общее число уравнений статики 3п.

39

Рис. 1.53. Статическиопределимая(а) истатическинеопределимая(б) балки

Рис. 1.54. Статически определимая (а) и статически неопределимая (б) подвески

Рис. 1.55. Статически определимая (а) и статически неопределимая (б) рамы

1.10. Устойчивость при опрокидывании

Для тела, нежестко закрепленного наложенными на него связями, возникает важный вопрос об устойчивости равновесия.

Рычагом называется твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения и находящееся под действием сил, лежащих в плоскости, перпендикулярной этой оси. Такой рычаг изображен на рис. 1.56. Через опорную точку О проходит ось вращения. На рычаг действуют силы P1, ..., Pn.

40