Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1306 вузов, 5174 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

2351

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
17.06.2024
Размер:
7.52 Mб
Скачать
☆

Из второго уравнения имеем

mxC F .

2

сц

 

Подставив Fсц в первое уравнение, получим: 3mxC 2mg sin ;

 

 

 

x

2 g sin ;

 

 

 

C

3

 

 

 

 

 

 

 

F

1 Psin .

 

 

 

сц

3

 

Т.е.

центр масс диска движется равноускоренно с ускорением

a

x

 

2 g sin .

 

c

с

 

3

 

Угол наклона, при котором еще не начнется скольжение, определим из следующего условия:

Fсц fсц N .

Тогда

13 P sin fсц P cos ,

откуда определяем угол наклона плоскости:

tg 3 fсц, или arctg3 fсц.

3.15. Определение динамических реакций подшипников

при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z под действием приложенных к нему внешних активных сил Fke .

Пусть в данный момент тело имеет угловую скорость и угловое ускорение . Приложим к каждой точке тела силу инерции Фk , Фk и Фnk . Запишем уравнения равновесия для определения реакций подшипников:

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

F

RA RB Ф

0,

 

 

 

 

 

 

 

(3.15.1)

 

 

 

 

e

 

 

 

 

RA M

RB

 

 

 

 

 

M

M

M

 

Ф 0.

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

A

 

 

A

 

 

 

 

A

 

 

201

Для тела в пространстве имеем шесть уравнений равновесия в проекциях:

 

Fkxe X A X B Фkх 0,

 

 

Fkeу YA YB Фky 0,

 

 

 

 

 

 

Fkех ZA 0,

 

 

 

 

 

 

Mkxe YB h MkФх 0,

(3.15.2)

 

 

 

 

Mkye X B h MkyФ 0,

 

 

 

 

 

 

Mkze MkzФ 0.

 

 

 

 

 

 

Силы инерции действуют в плоскостях,

 

перпендикулярныхосивращениятела.

 

 

Вычислим составляющие сил инерции

Рис. 3.82. Динамические реакции

точек и их проекции:

 

 

подшипников

n

2

 

Фk

mk rk

;

 

Ф

m r .

 

 

 

 

k

k k

 

(3.15.3)

n

n

 

 

 

 

n

 

 

 

2

 

 

 

x

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фkx Фk

cos Фk

,^i mk rk

 

 

 

k

 

mk xk ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rk

 

 

 

n

n

 

 

 

 

n

 

 

2

 

 

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Фky Фk

cos Фk

,^ j mk rk

 

 

k

mk yk

 

;

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

(3.15.4)

Фkx Фk cos

 

 

 

 

 

 

 

mk rk

 

yk

 

 

 

 

 

 

 

k

,^

 

 

 

mk yk ;

 

 

 

Ф

i

 

 

 

rk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фky Фk cos

 

 

 

 

 

 

 

mk rk

xk

 

 

 

 

 

 

 

k ,^

 

mk xk .

 

 

 

Ф

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

202

Фkx mk xk 2 mk yk 2 mk xk mk yk 2mxC myC ;

Фky 2myC mxC ;

 

 

MkxФ MkxФn MkxФ Фnky Zk Фkу Zk

 

 

mk yk zk 2 mk xk zk J yz 2 Jxz ;

 

 

MkyФ Фnkx Zk Фkу Zk mk xk zk 2 mk yk zk

 

 

Jzx 2 J yz ;

 

 

Ф

 

Mkz Joz .

 

(3.15.5)

 

Рис. 3.83. Силы инерции в проекциях на декартовы оси

Тогда уравнения динамического равновесия тела можно переписать в виде:

Fkxe X A X B mxC 2 myC 0;

 

Fkeу YA YB myC 2 mxC 0;

 

 

 

 

Fkzz ZA 0;

 

 

 

(3.15.6)

Mkxe

YB h J yz 2 Jxz 0;

 

 

 

Mkye

X B h Jxz 2 J yz 0;

 

 

 

 

Mkze

Jz 0.

 

 

 

 

203

В последнее уравнение реакции не входят. Пять реакций xA, yA, z1, xB и yB определяются из первых пяти уравнений.

Условия, при которых динамические реакции равны статическим:

mxC 2 myC 0, mуC 2 Jxz 0, Jxz 2 J уz 0.

Эти уравнения удовлетворяются при

XC 0,

YC 0, J yz 0,

Jxz 0,

т.е. если ось вращения – главная центральная ось инерции тела.

(3.15.7)

(3.15.8)

3.16.Теория удара

3.16.1.Явление удара и основное уравнение

Под действием обычных сил скорости материальных точек изменяются непрерывно.

Явление, при котором скорости точек тела за ничтожно малый промежуток времени изменяются на конечную величину, называется ударом.

Например, удар мяча о стенку, столкновение автомобилей, действие взрывной волны на здание и т.д.

Значительное изменение скорости тела или точки за ничтожно малый промежуток времени происходит потому, что модули сил, которые развиваются при ударе, весьма велики, вследствие чего импульсы этих сил являются конечными величинами. Такие силы называются мгновенными или

ударными.

Пусть на точку действует сила F , и в некоторый момент времени t1 начинает действовать ударная сила Fуд , которая действует (секунд), где –

время удара ( – мало). Определим изменение количества движения точки за время :

mv2 mv1 s sуд .

(3.16.1)

Здесь s – малая величина (импульс силы F ), и ею можно пренебречь.

204

Тогда

mv2 mv1 sуд .

(3.16.2)

 

 

 

 

 

 

удср

(3.16.3)

sуд F

удdt F

0

 

 

 

 

 

Если ударных импульсов несколько, то уравнение (3.16.2) можно переписать в виде

m(v2 v1) sуд .

(3.16.4)

Это и есть основное уравнение удара. Оно играет в теории удара такую же роль, как основной закон динамики ma F при изучении движений материальной точки под действием неударных сил.

Изменение скорости в момент удара

v

v

 

sуд

.

(3.16.5)

 

2

1

 

m

 

 

 

 

 

Рис. 3.84. Изменение траектории при ударе

В положении В под действием ударной силы происходит резкое изменение траектории – АВD. Перемещением тела за время удара можно пренебречь. Дальнейшее движение происходит под действием силы F .

Итак:

1)действием неударных сил за время удара можно пренебречь;

2)перемещение vcp – малая величина, и ею можно пренебречь;

3)результат действия ударной силы на материальную точку выражается в конечномизмененииеескорости[см. уравнение(3.16.5)].

3.16.2. Общие теоремы теории удара

Теорема об изменении количества движения системы при ударе.

Так как импульсами обычных сил пренебрегаем, то

m v

 

 

m v

s (е)

s (i)

,

(3.16.6)

 

К 2(К)

К 1( К)

К( уд)

К( уд)

 

 

205

где индексы е относятся к импульсам внешних сил, а индексы i – к импульсам внутренних сил.

Суммируя уравнения (3.16.6) для всех точек системы, получаем:

к2 к1 sK(e) ,

(3.16.7)

т.е. изменение количества движения системы при ударе равно сумме всех внешних ударных импульсов, действующих на систему.

В проекциях на координатные оси:

к

2 х

к

s(e) .

(3.16.8)

 

1х

Kх

 

Теорема об изменении кинетического момента механической системы при ударе.

m v

 

 

m v

 

s (е)

s (i)

.

(3.16.9)

 

 

К 2(К)

 

 

К 1( К)

 

К( уд)

К( уд)

 

 

Умножая слева на rK (O) и суммируя, получаем:

 

 

 

 

 

O(2)

 

 

O(1)

 

 

0 sKe ( уд) ,

 

(3.16.10)

L

L

M

 

т.е. изменение кинетического момента механической системы относительно любого центра при ударе равно геометрической сумме моментов импульсов всехвнешнихударныхимпульсовотносительнотогожецентра.

В проекциях

Lx(2) Lx(1) M x sKe ( уд)

(3.16.11)

3.16.3. Коэффициент восстановления при ударе

Рассмотрим прямой удар шара массой т о массивную поверхность. Различают две фазы этого удара:

1. Шар деформируется до тех пор, пока скорость его не станет равной нулю. Время 1. Кинетическая энергия 12 mv2 переходит в потенциальную

энергию деформации и частично расходуется на нагревание.

2. Под действием сил упругости шар частично восстанавливает свою первоначальную форму. Время 2.

Из-за остаточных деформаций и нагревания шара первоначальная кинетическая энергия полностью не восстанавливается; поэтому шар отделяет-

ся от поверхности со скоростью и , имея кинетическую энергию 12 mи2 .

 

и

 

 

 

v

 

.

(3.16.12)

 

 

 

 

206

Рис. 3.85. Определение коэффициента восстановления при ударе

Отношение модуля скорости в конце удара к модулю скорости в начале удара называется коэффициентом восстановления при ударе:

k u .

(3.16.13)

v

 

Приближенно считают, что коэффициент восстановления зависит от материала, хотя очевидно, что коэффициент зависит и от формы соударяющихся тел, и от соотношения их масс.

Коэффициент восстановления k определяют из простого опыта:

v

2gh ,

 

u

 

h

 

1

 

k

 

u

 

 

v

2 .

2gh ;

 

 

h1

 

2

 

 

 

 

 

Для стекла k 15 / 16 , для слоновой кости k 8 / 9 , для дерева k 1 / 2 . При неупругом ударе u 0, k 0.

3.16.4. Прямой и косой удар тела о неподвижную поверхность

1 . Прямой удар .

K1 mv , K2 mu.

Уравнение проекции на нормаль:

mun mvn sn. vn v.

un u. sn s.

m(u v) s. u kv.

s m(k 1)v . 207

Ударный импульс тем больше, чем больше коэффициент восстановления. 2 . Косой удар .

Угол падения – . Угол отражения – .

Рис. 3.86. Косой удар

m(u v ) s .

Пусть тело ударяется о гладкую поверхность. В этом случае реакция поверхности направлена по нормали.

s 0, m(u v ) 0,

u v ,

u sin vsin .

При абсолютно упругом ударе угол падения равен углу отражения:

.

Если удар неупругий, то

u v, sin sin ,

;

т.е. угол отражения больше угла падения.

208

3.16.5. Прямой центральный удар двух тел

Нормаль к поверхности проходит через центры масс шаров. Скорости шаров перед ударом v1 и v2 , после

удара – и1 и и2 , v1 v2 .

ske( x) 0,

K2x K1x 0.

Следовательно,

m1v1x m1v2 x

x

Рис. 3.87. Прямой центральный удар

m1u1x m1u2 x.

В этом уравнении две неизвестные величины. Второе уравнение даст коэффициент восстановления:

k

 

u1x u2 x

 

 

u1x u2 x

,

(u

u

2 x

)

 

 

 

 

v1x v2 x

 

 

v1x v2 x

1x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u1x u2 x k v1x v2 x .

Ударный импульс, действующий на соударяющиеся тела, найдем, составив уравнения для одного из тел:

m1(u1x v1x ) s1x

s1x s2 x .

а) Абсолютно неупругий удар ( k 0).

 

u

u

2 x

 

m1v1x m2v2 x

,

 

 

 

 

 

 

 

1x

 

 

 

m1 m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

2 x

s

 

 

 

m1m2

(v

v

).

 

 

 

 

 

1x

 

 

 

 

1x

 

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 m2

 

 

 

б) Абсолютно упругий удар (k 1) .

s2 x s1x 2m1m2 (v1x v2 x ) .

m1 m2

Т.е. при абсолютно упругом ударе ударный импульс вдвое больше, чем при абсолютно неупругом.

Контрольные вопросы

1.В чем смысл основного закона динамики?

2.В чем смысл первой и второй задач динамики?

3.Что может вызвать затруднение при решении второй задачи динамики в случае действия на точку переменных сил?

4.В чем заключается процесс колебаний материальной точки?

5.Какая сила обусловливает свободные колебания точки?

209

6.Какой вид имеют дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки и его решение в амплитудном виде?

7.От каких факторов зависят частота, период, амплитуда и начальная фаза свободных колебаний материальной точки?

8.Каков вид графиков свободных колебаний, затухающих колебаний и апериодического движения материальной точки?

9.Какие силы вызывают вынужденные колебания материальной точ-

ки?

10.Какой вид имеют дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение?

11.С какой частотой происходят установившиеся вынужденные колебания материальной точки?

12.При каких условиях возможен резонанс?

13.Что называют коэффициентом динамичности?

14.Как сказывается сопротивление движению на колебательном про-

цессе?

15.Что называется механической системой?

16.Каким свойством обладают внутренние силы механической систе-

мы?

17.Какопределяетсяположениецентрамассмеханическойсистемы?

18.В чем суть теоремы о движении центра масс?

19.Что называется моментом инерции механической системы относительно оси вращения?

20.Как вычисляется момент инерции твердого тела относительно параллельной оси?

21.Как вычисляется работа постоянной силы на прямолинейном перемещении ее точки приложения?

22.Как вычисляется элементарная работа силы?

23.Как вычисляется работа переменной силы на криволинейном перемещении ее точки приложения?

24.Как вычисляется работа силы тяжести?

25.Как вычисляется работа силы упругости?

26.Как вычисляется работа силы при повороте тела?

27.Что называется импульсом силы?

28.Что называется количеством движения материальной точки?

29.Что называется моментом количества движения материальной точки относительно центра и относительно оси?

30.Что называется кинетической энергией материальной точки?

31.Сформулируйте теорему об изменении количества движения материальной точки.

32.Сформулируйте теорему об изменении момента количества движения материальной точки.

210

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности