2351

3.13.3.Приведение сил инерции

кглавному вектору и главному моменту

Главныйвекторсилинерцииотцентраприведениянезависит, т.е.

т.е. главный момент сил инерции зависит от вида движения тела и от точки приведения.

Поступательное движение. Приведем силы инерции к центру масс – точке С. Тогда главный момент сил инерции

так как rC 0 .

Уравнение(3.13.6) имееттотестественныйсмысл, чтоприпоступательном движениителонесовершаетвращениявокругцентрамасс.

Вращение тела, имеющего плоскость симметрии, вокруг неподвижной оси, перпендикулярной к этой плоскости (рис. 3.71). Главный вектор сил инерции

Итак, инерционные воздействия на данное тело сводятся к главному вектору сил инерции и главному моменту сил инерции:

191

Распределенные силы инерции масс стержня образуют треугольник (рис. 3.72). Поэтому равнодействующая сил инерции приложена на высоте

h 23 l cos .

Рис. 3.72. Применение принципа Даламбера к решению задачи о вращении тела

Уравнение равновесия стержня в виде суммы моментов всех сил относительно шарнира А:

M A 0;

Tl cos P 2l sin Pg 2l sin 2h 0.

Откуда

T3Pg l 2 sin P2 tg .

3.13.4.Общее уравнение динамики

СогласнопринципуДаламберадлялюбойточкимеханическойсистемы:

Рис. 3.73. Возможное перемещение движущейся точки

193

Умножая уравнение (3.13.24) скалярно на возможное перемещение точки sk и суммируя затем уравнения для всех точек системы, получаем

следующее уравнение возможных работ:

Учитывая, что для систем с идеальными связями сумма элементарных работ реакций AkR 0 , перепишем уравнение возможных работ в виде

Это уравнение называют общим уравнением динамики, так как оно позволяет решать очень большой круг задач. Это уравнение выражает прин-

цип Даламбера – Лагранжа: в любой момент движения системы с идеальными связями сумма элементарных работ активных сил и сил инерции точек системы на любом возможном перемещении системы равна нулю.

Пример . Механическая система, состоящая из груза 1, блока 2 и катка 3, приходит в движение под действием силы тяжести груза 1. Считая силы тяжести тел системы и коэффициент трения качения катка известными, определить ускорение груза 1.

Рис. 3.74. Возможное перемещение механизма из положения динамического равновесия

Дано: P1, P2 , P3, . Найти: а1.

194

Решение. Дадим системе возможное перемещение (груз 1 перемещается вниз, блок 2 поворачивается по часовой стрелке, каток 3 катится вправо). Составим общее уравнение динамики

P1 Ф1 s M2u 2 M3u 2 Ф3 3 N 3 0.

Силы инерции и моменты сил инерции:

Возможные перемещения системы связаны соотношениями

Подставив выражения для инерционных воздействий и возможные перемещения, выраженные через s1 , в общее уравнение динамики, получим:

Сокращая на s1 , найдем

3.14. Динамика движений твердого тела

3.14.1. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела

При поступательном движении твердого тела все его точки движутся одинаково, как и его центр масс. Поэтому дифференциальные уравнения движения центра масс тела являются дифференциальными уравнениями поступательного движения твердого тела.

195

Уравнение (3.14.7) называется дифференциальным уравнением вращения твердого тела вокруг оси Z.

Сопоставляя это уравнение с уравнением для поступательного движе-

ния тела (3.14.1), можно заключить: момент инерции является характеристикой инертности тела при вращательном движении.

0, const , т.е. вращение тела равномерное (по инерции).

Пример . Дано: натяжение ремней шкива (рис. 3.77) 40 Н и 20 Н. P 80 H, R 30 см, i 25 см. Найти уравнение движения шкива.

Решение.

Рис. 3.77. Вращение шкива

Дифференциальное уравнение вращательного движения шкива

Jz Mkze .

Момент внешних сил

Mkze (T1 T2 )R 6 Hм.

Момент инерции шкива

Jz miz2 Pg iz2 9,8180 0,252 0,51 кг м2.

197

Подставляя эти значения в дифференциальное уравнение вращения и

Постоянныеинтегрированиянайдемизначальныхусловий: приt=0

0 0, 0 0.

Подставляя в два последних уравнения, находим константы C1 C2 0. Следовательно, уравнение движения шкива имеет вид

5,88t2.

3.14.3.Физический маятник

Математический маятник – это точечная масса на невесомой нити. Он колеблется по гармоничному закону.

Физический маятник – это маятник с распределенной массой, т.е. тело, которое может совершать колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси под действием силы тяжести.

Пусть вес тела Р; а=ОС, J0 – момент инерции

тела относительно оси OZ. Дифференциальное уравнение вращательного движения, составленное относительно точки подвеса О, имеет вид

Подставив в дифференциальное уравнение, получим:

J0 Pasin .

Введем обозначение:

Pa k2. J0

Тогда уравнение движения примет вид

k2 sin 0 .

198

Ограничимся случаем малых колебаний. При 10 sin . Тогда

дифференциальное уравнение колебания маятника примет вид линейного однородногодифференциальногоуравнениявторогопорядка

k2 0 .

Его решение

С1 cos kt C2 sin kt .

Если 0 0 и маятник отпущен без начальной скорости, то 0 0 , и уравнение колебательных движений принимает вид

0 cos kt ,

т.е. вид уравнения гармонических колебаний с частотой k и периодом

T 2 / k 2 J0 / Pa.

Используя формулу для периода колебаний физического маятника, можно экспериментально определить момент инерции тела (рис. 3.79). При этом выполняется следующая последовательность вычислений:

3.14.4. Плоскопараллельное движение твердого тела

При плоскопараллельном движении тела его положение определяется координатами полюса XC, YC и углом поворота относительно полюса . В динамике за полюс принято брать центр масс тела. Тогда согласно теореме о движении центра масс и c учетом уравнения вращательного движения тела получим:

199

Рис. 3.80. Плоское движение тела

Три этих уравнения образуют систему дифференциальных уравнений плоскопараллельного движения твердого тела.

Пример . Диск катится по наклонной плоскости, имеющей коэффициент сцепления fсц (рис.3.81).

Определить ускорение центра масс и вычислить угол наклона плоскости к горизонту, при превышении которого начнется скольжение.

Решение.