2351

Дифференцируя выражение для момента количества движения по времени, получаем:

Тогда

k2 0 .

Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно Его решение

Asin k Bcos kt.

Выражение для скорости изменения угла поворота

Ak cos kt Bk sin kt.

Постоянные А и В определим из начальных условий: при t=0

Таким образом, закон движения маятника примет вид

k0 sin kt.

171

При этом частота колебаний определяется из уравнения k gl .

3.10. Работа силы и мощность

Эффект действия сил можно оценить с помощью работы сил. Работа постоянной силы F на прямолинейном перемещении точки ее приложения (рис. 3.48) равна скалярному произведению векторов силы и перемещения:

Рис. 3.48. Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении

A 0 . Размерность работы – Дж. [А] = Дж = 1 Н 1 м.

При вычислении работы переменных сил на криволинейных перемещениях (и в некоторых других случаях) пользуются понятием «элементарная работа». Пусть точка приложения переменной силы F перемещается по кривой M0M1. Разобьем траекторию на элементарные участки ds и вычислим работу силы F на элементарном участке как работу постоянной силы на прямолинейном перемещении:

Рис. 3.49. Работа силы на элементарном перемещении

172

Учитывая, что

получим:

Если вместо векторов силы и перемещения подставить их выражения через проекции

Изменение работы силы, отнесенное к единице времени, называется мощностью силы

Мощность силы равна скалярному произведению векторов силы и скорости ее точки приложения.

В проекциях

Работу часто измеряют в кВт ч, а мощность в кВт.

173

В данном случае поворот производится вокруг вертикальной оси z.

z

Рис. 3.50. Работа силы при повороте тела

Учитывая, что дифференциал дуги равен dr , преобразуем уравнение для элементарной работы к виду

174

Рис. 3.51. Работа силы тяжести

Следовательно,

Если материальная точка с действующей на нее силой тяжести опускается, работа силы тяжести имеет знак "+", если поднимается – знак "-" . Итак,

175

3.10.3. Работа силы упругости

Выражение для работы силы

Работа силы упругости отрицательна, когда деформация увеличивается, и положительна, когда деформация уменьшается.

3.11. Теорема об изменении кинетической энергии

3.11.1. Теорема об изменении кинетической энергии точки

Пусть точка массой т движется по траектории M0M1 под действием сил F1, F2 ,..., Fn (рис. 3.53). Установим связь между работой этих сил и измене-

нием кинетической энергии точки mv2 2 .

Рис. 3.53. Движение точки М под действием сил

176

Запишем основной закон динамики:

Проинтегрируемобечастиэтогоуравнениявсоответствующихпределах:

Интеграл в правой части представляет собой сумму работ действующих на точкусил. Такимобразом, послеинтегрированияполучим:

Уравнение (3.11.6) является математической записью следующей теоре-

мы: изменение кинетической энергии точки на некотором ее перемещении равноалгебраическойсуммеработвсехдействующихнаэтуточкусил.

Пример №1 . Груз, подвешенный на нити длиной 1 м отклоняют от вертикали на угол 0 и отпускают (рис.3.54). Найти скорость груза при угле наклона нити .

Решение.

177

Дано: l0 – длина недеформированной пружины, l0=6 см. При полностью открытом клапане l=4 см. Высота подъема клапана s=0,6 см. Жесткость пружиныс=0,1 кг/см=1 Н/см. ВесклапанаР=0,4 кг=4 Н.

Определить скорость клапана в момент его закрытия, пренебрегая силой тяжести.

Решение.

Рис. 3.55. Движение клапана

Согласно теоремы об изменении кинетической энергии точки

Ak Ayпp 2c lнач 2 lкон 2 .

Подставив эти данные в уравнение (**), получим:

Итак, v1 0,22 м/с.

178

3.11.2. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

1. Кинетическая энергия системы и твердого тела.

Кинетической энергией механической системы называется скалярная величина, равная сумме кинетических энергий всех точек системы:

j 1

Рассмотрим, как вычисляется кинетическая энергия при различных видах движения твердого тела.

а) Поступательное движение. Точка С – центр масс.

б) Кинетическая энергия тела при вращательном движении.

здесь hk – расстояние от оси вращения до точки

k.

в) Кинетическая энергия при плоском движении твердого тела (рис.3.56).

Tвр 12 J p 2 12 Jc Md 2 2

179

Здесь d=R=h. Итак,

2. Теорема об изменении кинетической энергии системы.

Разделим силы, действующие на точки системы, на внешние и внутренние. Для любой точки системы

где k=1,2,…,п.

Рис. 3.57. Движение точки под действием внешней и внутренней сил

Соотношение (3.11.14) является математической записью следующей теоремы: изменение кинетической энергии механической системы равно сумме работ всех действующих на нее внешних и внутренних сил.

Для твердого тела сумма работ всех внутренних сил равна нулю:

Следовательно, для твердого тела теорема об изменении кинетической энергии системы примет вид:

Пример . Тележка (рис. 3.58) под действием силы Q начинает двигаться вверх по наклонной плоскости. Q – движущая сила, P1 – вес тележки, P2 – вес колеса. Определить скорость тележки, когда она пройдет путь, равный 4 м.

180