2351

Впроекцияхнакоординатныеосиуравнение(3.8.7) будетиметьвид

Следствие: если сумма проекций внешних сил на какую-либо ось во все время движения равна нулю и в начальный момент времени центр масс системы находится по отношению к этой координате в покое, то данная

Пример . Механическая система состоит из двух грузов 1 и 2, соединенных между собой нерастяжимой нитью, и призмы 3, лежащей на гладкой поверхности (рис.3.32). Система находится в покое. Определить смещение призмы 3, если система грузов 1-2 переместилась так, что груз 1 поднялся по вертикали на высоту h.

Рис. 3.32. При движении этой системы центр масс остается в покое

161

Решение. Пусть d – смещение призмы. Здесь вательно, xc const.

До перемещения координата центра масс

xc(1) m1 x1 m2 x2 m3 x3 .

Горизонтальное перемещение груза 1: b h tg30 .

Горизонтальное перемещение груза 2:

e (h / cos30 )cos30 h .

После перемещения координату центра масс можно записать в виде

xc(2) m1 x1 h tg30 d m2 (x2 h d) m3 (x3 d) . m1 m2 m3

Так как xc(1) xc(2) , то, приравнивая выражения для координат центра масс в первом и втором положениях системы, получаем:

Сокращая подобные члены, придем к уравнению h tg30 h 3d 0,

откуда

d h tg30 h . 3

3.8.2. Момент инерции механической системы

Моментом инерции тела относительно данной оси называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси:

Радиусом инерции называется расстояниеот оси до той точки, где надо сосредоточить всю массу системы, чтобы момент инерции этой системы был равенмоментуинерцииэтойточки. Пустьi – радиусинерциисистемы. Тогда

Для сложных тел (рис. 3.35) при подсчете момента инерции суммирование заменим интегрированием:

3.8.3.Момент инерции относительно параллельных осей. (Теорема Штейнера)

Теорема: момент инерции системы относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

Доказательство . Пусть ось z (рис.3.36) проходит через центр масс тела, а ось z' – некоторая параллельная ось, отстоящая от оси z на расстоянии d.

163

3.8.5. Вычисление моментов инерции некоторых однородных тел

1. Тонкий однородный стержень длиной l, массой M= Al. Здесь– плотность материала стержня.

Масса части тела определяется выражением mk= Vk. Масса элементарного участка стержня (рис.3.39) dm= Adx. Момент инерции стержня относительно оси z составляет:

Рис. 3.39. К определению момента инерции стержня

2. Тонкое кольцо радиусом R. Момент инерции кольца относительно оси сz, перпендикулярной плоскости кольца (рис. 3.40):

Jcz mk R2 mk R2 MR2 .

Рис. 3.40. К определению момента инерции кольца 3. Круглая однородная пластина или ци-

линдррадиусомR имассойМ(рис. 3.41). Площадь элементарного кольца 2 rdr ,

масса кольца dm1 2 rdr .

R R

Joz r2 2 rdr 2 r3dr

166

4. Однородныйкруглыйцилиндр(рис. 3.42).

Рис. 3.45. Момент инерции шара относительно оси z

167

3.9. Теоремы об изменении количества движения и момента количества движения

3.9.1. Импульс силы

Пусть F – постоянная по направлению и модулю сила. Тогда за времяt2 t1 импульс этой силы

Импульс силы характеризует передачу материальной точке движения со стороны действующей на нее силы за данный промежуток времени.

Для переменной силы элементарный импульс

где t элементарная часть промежутка времени t2 t1 .

Полный импульс силы вычислим, суммируя элементарные импульсы:

t2

s lim F t Fdt. (3.9.3)

t 0

t1

Определим проекции импульса силы на координатные оси:

3.9.2. Теорема об изменении количества движения материальной точки

Количество движения материальной точки записывается в виде mv . Основной закон динамики

Это уравнение является математической записью следующей теоремы:

изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов действующих на точку сил.

168

В проекциях на координатные оси уравнение (3.9.8) примет вид

Пример . Тело весом G =280 Н движется поступательно вверх по негладкой наклонной плоскости (рис. 3.46) под действием силы Р, которая наклонена к плоскости под

углом 30 . Коэффициент трения тела о плоскость fтр=0,5. Чему равен модуль силы Р, если через 10 с, тело получило скорость v=2 м/с?

Решение. Согласно теореме об изменении количества движения материальной точки

sx Fx t P cos30 G sin 45 F t.

Из уравнения равновесия относительно оси y определим реакцию плоскости N :

Fky 0,

NG cos 45 P sin 30 0, N G cos 45 Psin 30 .

Сила трения

F Nfтр G cos 45 Psin 30 fтр.

Начальная и конечная скорости движения тела в проекции на ось х со-

169

3.9.3. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки

Момент силы относительно некоторого центра О

Момент количества движения материальной точки относительно того же центра

Возьмем производную по времени от момента количества движения:

Уравнение (3.9.13) является математической записью следующей тео-

ремы: производная по времени от момента количества движения точки относительно некоторого центра равна геометрической сумме моментов действующих на нее сил относительно этого же центра.

В проекциях на координатные оси:

Пример . Найти закон колебательного движения маятника, если ему, находящемуся в положении покоя, сообщили начальную скорость 0 . Ось z

вращения маятника проходит через точку О перпендикулярно плоскости чертежа (рис. 3.47).

Решение. Момент количества движения маятни-

ка

LZ mvl ml l ml2 ml2 d .

Рис. 3.47. Движение dt маятника

170