2351

совпадении частоты собственных и вынужденных колебаний.

Влияние сопротивления на вынужденные колебания выражается в сдвиге фазы колебаний по отношению к фазе возмущающей силы и в уменьшении амплитуды вынужденных колебаний по мере увеличения со-

152

противления. Вынужденные колебания при наличии сопротивления не затухают.

При сопротивлении движению решение дифференциального уравнения уравнения можно представить в виде

AD sin( pt ).

Здесь первое слагаемое – затухающие свободные колебания, происходящие вследствие начального отклонения системы от положения равновесия.

Второе слагаемое – затухающие колебания, возникающие от возмущающей силы.

Третье слагаемое – вынужденные колебания с частотой возмущающей силы.

При t e nt 0 и с течением времени можно учитывать лишь установившиеся вынужденные колебания:

x AD sin( pt ).

Пример . Вынужденные колебания материальной точки.

Груз отклоняют вправо на 2 см от положения равновесия и отпускают. Одновременно основание пружины начинает колебаться по закону

153

4sin10t (см) . Найти уравнение движения и построить график колеба-

тельного движения точки при p 10 1с; 0; с 1000 Н/м; т 5 кг.

а

б

Рис. 3.26. Кинематическое возбуждение колебаний

Возьмем начало координат в положении равновесия груза, т.е. при недеформированной пружине. Для промежуточного положения движущейся точки можно записать:

mx F.

F c l c(x ). mx cx c .x mc x mc .

Введем обозначения:

Тогда дифференциальное уравнение примет вид:

x k2 x hsin pt .

Этодифференциальноеуравнениевынужденныхколебаний. Егорешение:

154

2 / p 0,628 .

График движения изображен на рис. 3.27.

Рис. 3.27. График вынужденных колебаний

155

3.6. Относительное движение материальной точки

Во многих задачах динамики рассматривается движение материальной точки по отношению к системе отсчета, движущейся относительно инерциальной системы. Дифференциальные уравнения движения материальной точки относительно неинерциальных систем отсчета получают на основе теоремы Кориолиса:

Рис. 3.28. Движение точки по отношению к двум системам отсчета

Напомним, что относительное движение – это движение точки по отношению к подвижной системе отсчета. Переносное движение – движение точки вместе с подвижной системой координат по отношению к неподвижной системе координат. Абсолютное движение – движение точки по отношению к неподвижной системе отсчета. Ускорение Кориолиса вычисляется по формуле

156

Подставляя вместо а выражение (3.6.1) и выполняя элементарные перестановки, получаем:

Дифференциальное уравнение относительного движения груза

Отсюда находим:

mx mq 6m,

x 16 (м/с2 ),

157

x8t2.

3.7.Механическая система

3.7.1.Механическая система. Силы внешние и внутренние

Механической системой называют мысленно выделенную совокупность материальных точек, каким-либо образом взаимодействующих между собой.

Все силы, действующие на точки механической системы, можно разделить на внешние и внутренние.

Внешними называются силы, действующие на точки системы со стороны материальных точек, не входящих в состав данной системы.

Внутренними силами называют силы взаимодействия между материальными точками данной механической системы.

Внешние силы обозначим Fke , а внутренние – Fki .

Одни и те же силы могут быть как внешними, так и внутренними, в зависимости от того, какая механическая система рассматривается.

Движение точек механической системы зависит и от внешних, и от внутренних сил. Например, быстрота вращения вала двигателя зависит от величины внешнего момента и от внутренних сил сопротивления в подшипниках в системе вал – опоры.

Рис. 3.30. Внешние и внутренние силы системы вал – опоры

Однако внутренние силы любой системы обладают одной особенностью: так как, по третьему закону Ньютона, каждому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие, то каждой внутренней силе соответствует другая внутренняя сила, равная ей по модулю и противоположно направленная. Поэтому главный вектор всех внутренних сил

158

Аналогичным образом равен нулю главный момент всех внутренних

сил

Хотя уравнения (3.7.1) и (3.7.3) имеют вид уравнений равновесия, внутренние силы на самом деле не уравновешиваются, так как приложены к разным точкам или телам системы и могут вызывать взаимные перемещения этих тел.

3.8. Геометрия масс механической системы

3.8.1. Центр масс механической системы

Движение механической системы кроме действующих на нее сил зависит от ее суммарной массы и от распределения масс внутри системы.

Масса системы равна сумме масс всех точек или тел, образующих систему

Положение каждой точки MK с массой mK определяется в пространстве радиусом-вектором rK (рис. 3.31) или координатами xK, yK, zK.

Рис. 3.31. Центр масс механической системы

159

Центром масс системы называется точка, радиус-вектор которой rC определяется по формуле

C m

Или в координатной форме:

Центр тяжести тела или системы тел одновременно является и центром масс этой системы:

Дифференциальные уравнения движения точек системы, имеющие вид

Второе слагаемое в правой части уравнения (3.8.4) есть сумма внутренних сил системы. Для любой механической системы сумма внутренних сил равна нулю:

Левую часть уравнения (3.8.4) преобразуем следующим образом:

Уравнение (3.8.5) выражает теорему о движении центра масс механи-

ческой системы: центр масс механической системы движется как материальная точка, на которую действуют все внешние силы системы.

160