Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2351

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.06.2024

Размер:

7.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2215 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Подставив в дифференциальное уравнение движения, получим:

ezt z2 2nz k2 0, z2 2nz k2 0.

(3.5.33)

Корни этого характеристического уравнения

z n	n2 k2 .	(3.5.34)
1,2

В зависимости от соотношения величин n2 и k2 возможны различные решения.

1) n k, k2 n2 0 – корни мнимые.

Введем обозначение:

k	k2 n2 .	(3.5.35)
1

Теперь корни характеристического уравнения можно переписать в виде

z	n ik ,	(3.5.36)
1	1	(3.5.36)
z2 n ik1.

Решение дифференциального уравнения движения в этом случае имеет

вид

x e nt ( Acos k t Bsin k t).		(3.5.37)
1	1

Заменив постоянные интегрирования А и В выражениями

A asin ,

(3.5.38) B acos ,

перейдем к амплитудной форме записи решения дифференциального уравнения:

x ae nt sin(k t ).

(3.5.39)

Это уравнение затухающих колебаний.

Так как

sin k t

1, значит,

ae nt

, и, следовательно, график за-

тухающих колебаний (рис. 3.18) заключен между двумя симметричными кривыми x ae nt и x ae nt .

Дифференцируя уравнение движения (3.5.39), получаем уравнение для скорости движения:

x nx ak e nt cos k t .		(3.5.40)
1	1

141

Рис. 3.18. График затухающих колебаний

Постоянные интегрирования а и определяем, подставляя в уравнения

(3.5.39) и(3.5.40) начальныеусловия: приt=0 x=x0, v=v0.

x0 asin ,

v0 nx0

Откуда

ak1 cos .

(3.5.41)

x0k1

(3.5.42)

v nx

sin x0 / a.

(3.5.43)

Частота затухающих колебаний определяется соотношением

n2 .

(3.5.44)

Период затухающих колебаний вычисляем по формуле

T .

(3.5.45)

Рассмотрим отношение амплитуд колебаний двух соседних отклонений – ai и ai+1 – в моменты времени ti и ti T2* :

ai 1 ae nti T2* n e T2* n.

ai ae nti

142

Величина e					T*	n	называется декрементом затуханий, а показатель сте-
					2	n
					2
		nT *
пени				– логарифмическим декрементом затухания. Коэффициент п
пени		2		– логарифмическим декрементом затухания. Коэффициент п
		2

n			имеет название коэффициент затухания.
n			имеет название коэффициент затухания.
	2m

Анализ графика (см. рис. 3.18) показывает, что сопротивление уменьшает амплитуду колебаний с течением времени.

2) n>k – большое сопротивление.

z n n2	k2 ,
1,2

или

z1,2 n k2 ,

где k2 n2 k2 0 .

Корни действительные и различные. В этом случае решение дифференциального уравнения приобретает вид

x Ae( n k2 )t Be( n k2 )t ,

или

x e nt ( Aek2t Be k2t ).

Проведя ниже ряд дополнительных преобразований

A	D1 D2		,	B D1 D2 ,
		2				2
x e nt D		ek2t e k2t			D	ek2t e k2t		,
x e nt D					D			,
	1	2			2	2
		2				2
x e nt D ch(k t) D sh(k							t) ,
		1	2		2	2
D1 Dsh ,				D2 Dсh ,

придем к уравнению вида

x De nt sh k1t .

Это уравнение показывает, что в данном случае движение не будет колебательным, так как гиперболический синус не является периодической функцией. Графики этого движения при различных начальных условиях показаны на рис. 3.19.

143

Рис. 3.19. Графики движения точки при большом сопротивлении движению

3) n k, k3 n2 k2 0.

z1 n, – корни равные. z2 n;

Решение дифференциального уравнения (3.5.31) будет в этом случае иметь вид

x e nt At B .

Это уравнение также описывает непериодическое движение. Пример . Груз отклонили (приподняли) вверх на 2 см (рис. 3.20) и затем

толкнули вверх со скоростью 1 м/с. Найти уравнение движения груза.

Рис. 3.20. Расчетная схема задачи

Дано: x0 0,02 м, v0 1 м/с, c 1000 Н/м, m 1 кг, 2. R v.

Найти: x f (t).

Решение. Использовав рис. 3.20, составим дифференциальное уравнение:

mx F R P . 144

Здесь F c( fст x) cfст cx. В положении равновесия вес					груза урав-
новешивается силой упругости			P Fcт cx. Перепишем		дифферен-
циальное уравнение
mx cfст				cx x P,
или
mx cx x.
Сделаем использованные выше преобразования:
x 2nx k2 x 0;
n				2 1;
n	m			2 1;
	m			2
k		c		31,62;
k		m		31,62;
		m
k n?			31,62 1.

Следовательно, дифференциальное уравнение – дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Его решение:

							x ae nt sin k t ,
										1
где	k k2	n2		31,6.
	1
	Постоянные интегрирования определяются по формулам:
	a	x	2	v		nx	2		4	100	1( 2) 2		3,796 3,8 см;
					0	0

		0				k1				31,6
						k1				31,6
						tg			2 31,6			0,62;
						tg		100		1 2		0,62;

sin xa0 3,7962 0,527;0,555 3,14 3,695 рад.

Таким образом, уравнение затухающих колебаний имеет вид x 3,8e t sin 31,6t 3,695 .

График этого уравнения изображен на рис. 3.21.

145

Рис. 3.21. График затухающих колебаний

T* 6,2831,6 0,199 c.

3.5.3. Вынужденные колебания материальной точки

Если на материальную точку действует кроме восстанавливающей силы еще одна периодическая сила, способная отклонять ее от положения покоя, то она будет совершать вынужденные колебания.

Эта периодическая сила называется возмущающей силой. Рассмотрим практически важный случай, когда возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:

Qx Q0 sin( pt ),

(3.5.46)

где Q0 – амплитудное значение возмущающей силы; p – частота изменения возмущающей силы;

pt+ – фаза изменения возмущающей силы;

– начальная фаза изменения возмущающей силы.

По такому закону изменяется, например, центробежная сила, возникающая в неоцентрованных частях электродвигателей (см. рис. 3.22).

	Qx Q0 sin t .	(3.5.47)
где	Q m 2 R ,	(3.5.48)
	0
	p .	(3.5.49)

Амплитуда возмущающей силы равна модулю центробежной силы инерции груза, а частота изменения возмущающей силы – угловой скорости вращения стержня. Здесь действуют переменные по величине и направлению периодическая сила Qx и восстанавливающая сила F.

146

Рис.3.22. Колебания балки под действием центробежной силы электродвигателя

Кроме силового возбуждения вынужденных колебаний может быть и кинематическое возбуждение, например в случае, когда задано гармоническое движение защемленного конца пружины:

sin pt .

(3.5.50)

Вэтом случае сила упругости будет состоять одновременно из восстанавливающей и возмущающей составляющих.

Вдальнейшем ограничимся рассмотрением случая силового возбуждения вынужденных колебаний.

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки под дейст-

вием восстанавливающей силы F и возмущающей силы Qx. Основное уравнение динамики в проекции на ось x будет иметь вид

mx F Qx ,

(3.5.51)

где восстанавливающая сила и проекция возмущающей силы могут быть представлены в виде

		F cx ,	(3.5.52)
Q Q0 sin pt .			(3.5.53)
Тогда дифференциальное уравнение примет вид
mx cx Q0 sin pt ,			(3.5.54)
или
x	c	x Q0 sin pt .	(3.5.55)
x	m	x Q0 sin pt .	(3.5.55)
	m	m
		147

sin pt .

Обозначив k2 c / m,	h Q / m , получим окончательно:
			0
x k2 x hsin pt .								(3.5.56)
Данное уравнение представляет собой неоднородное дифферен-
циальное уравнение второго порядка. Его решение ищем в виде
	x x1 x2 ,							(3.5.57)
где x1 – общее решение однородного уравнения
	x k2 x 0 ,							(3.5.58)
имеющее вид	x1 asin kt ;							(3.5.59)
	x1 asin kt ;							(3.5.59)
x2 – частное решение дифференциального уравнения (3.5.56). Будем
искать x2 в виде
x2 AD sin pt .								(3.5.60)
Определим постоянную				AD		подстановкой (3.5.60) в		уравне-
ние (3.5.56):
A p2 sin pt	k2 A sin					pt h sin pt .		(3.5.61)
D				D
Откуда						h
		A				h	,	(3.5.62)
		A					,	(3.5.62)
		D			k2 p2
					k2 p2
x				h		sin pt .		(3.5.63)
x						sin pt .		(3.5.63)
2		k2 p2
		k2 p2

Итак, решение уравнения (3.5.56) имеет вид

x asin kt 2 h 2 (3.5.64) k p

Это уравнение называется уравнением вынужденных колебаний.

При одновременном действии восстанавливающей и возмущающей сил материальная точка совершает сложное движение, представляющее собой

результат наложения собственных и вынужденных колебаний.
Амплитуда вынужденных колебаний
A	h	(3.5.65)

D	k2 p2

определяет динамическое отклонение под действием силы Q . От статического действия силы Q0 может возникнуть статическое отклонение

A	Q0	Q 0 m	h	.	(3.5.66)

ст	C	C m k2

148

Отношение динамической амплитуды к статическому отклонению называют коэффициентом динамичности :

(3.5.67)

ст

Изменение коэффициента динамичности в зависимости от соотношения частот p/k представлено на рис. 3.23.

При p=k = . Этот случай на-

зывается явлением резонанса.

Для определения постоянных ин-

тегрирования в уравнении вынужден-

ных колебаний

запишем выражение

для определения скорости точки:

v ak cos kt

cos

pt .

(3.5.68)

Рис. 3.23. Резонанс

k2 p2

При t=0

x=x0, v=v0.

asin

sin ;

ak cos

cos .

cos

sin

k2 p2

sin

cos

(3.5.69)

(3.5.70)

149

При =0 имеем:

					v						hp			2
	2				v						hp
a x						0									,
a x						0			k				k		,
0					k					2	p	2
					k					2		2

		x
		x
sin				0	,											(3.5.71)
sin				a	,											(3.5.71)
				a				hp
			v					hp
			v				2			2
				0		k	2	p		2
cos						k		p			.
cos						ak					.
						ak

3.5.4. Явление резонанса

При совпадении частоты собственных и вынужденных колебаний (p=k) возникает явление резонанса. Частое решение дифференциального уравнения:

x k2 x hsin pt

(3.5.72)

в форме (3.5.60) теряет смысл, так как AD= . Частное решение x2 должно быть линейно независимо от x1. Поэтому ищем это решение в виде:

x2 Bt cos kt .

(3.5.73)

Подставив (3.5.73) в (3.5.72), найдем В:

Bk sin kt Bk sin kt hsin kt ,

(3.5.74)

(3.5.75)

t cos(kt ) .

(3.5.76)

x asin kt

t cos kt ,

(3.5.77)

или

x asin kt

t sin kt

(3.5.78)

График вынужденных колебаний при резонансе приведен на рис. 3.24.

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2215 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.06.20247.45 Mб02347.pdf
#
17.06.20247.46 Mб02348.pdf
#
17.06.20247.47 Mб12349.pdf
#
17.06.2024243.26 Кб0235.pdf
#
17.06.20247.49 Mб02350.pdf
#
17.06.20247.52 Mб02351.pdf
#
17.06.20247.53 Mб02352.pdf
#
17.06.20247.56 Mб02353.pdf
#
17.06.20247.61 Mб02354.pdf
#
17.06.20247.64 Mб72355.pdf
#
17.06.20247.64 Mб02356.pdf