2351

Разделяя переменные v и x, получим: vdv k2 xdx .

Проинтегрируем это уравнение:

12 v2 12 k2 x2 c1.

Постоянную интегрирования определим из начальных условий: при t = 0

x = a ,

значит,

c1 12 k2a2 ,

v k a2 x2 .

Учитывая, что v dx / dt , произведем вторичное интегрирование уравнения:

kt arccos ax c2.

При t = 0

x = a ,

значит,

c2 arccos1 0.

x a cos kt.

131

3.4.2. Сила, зависящая от скорости (Падение тела при учете силы сопротивления движению)

Примем силу сопротивления пропорциональной скорости движения:

R v.

Исходное дифференциальное уравнение движения имеет вид

mx Fkx.

Для нашей задачи это уравнение примет вид:

Введем обозначение:

U g kv.

Тогда

dU kdv, dv dUk .

Теперь уравнение (*) можно переписать в виде:

132

Потенцируя последнее выражение и делая элементарные преобразования, получаем:

gkv е kt , g

g kv gе kt ,

v g gе kt . k k

x gk t kg2 е kt С2.

Определим постоянную интегрирования С2: при t = 0 x 0, С2 kg2 .

Уравнение движения получает вид

x gk t kg2 (l kt 1).

Интерес представляет частный случай: при t v g / k, т.е. с течением времени скорость точки становится постоянной.

3.5. Колебания материальной точки

Колебательное движение материальной точки происходит при условии, если на точку, отклонен-

ную от положения покоя, действует сила, стремя- Рис. 3.10. Восстанавли- щаяся вернуть точку в это положение. Такая сила вающая сила

называется восстанавливающей (рис. 3.10).

Рассмотрим практически важный случай, когда восстанавливающая сила пропорциональна отклонению точки от положения покоя: F c OM ,

где с – коэффициент пропорциональности. Например, сила упругости пру-

жины (рис. 3.11).

Рис. 3.11. Сила упругости пружины Fупр с l

133

Определим физический смысл коэффициента с для упругой пружины. Этот коэффициент называется жесткостью пружины. Восстанавливающая сила, или сила упругости, F c l, где l – удлинение или укоро-

чение пружины. При l=1, F=c. Следовательно, жесткость пружины численно равна силе, необходимой для растяжения или сжатия пружины на единицу длины.

В зависимости от характера и совокупности переменных сил, действующих на материальную точку, различают четыре основных вида колебательного движения точки:

1)свободные колебания – под действием только восстанавливающей

силы;

2)затухающие колебания – под действием восстанавливающей силы и силы сопротивления движению;

3)вынужденные колебания – под действием восстанавливающей силы

исилы периодического характера, называемой возмущающей силой;

4)вынужденные колебания при наличии сопротивления движению. Здесь действуют восстанавливающая сила, сила сопротивления движению, возмущающая сила.

3.5.1. Свободные колебания

Поместим начало координат в положение покоя точки О, а ось х направим вдоль прямолинейного отклонения ОМ точки М, тогда восстанавливающая сила (рис. 3.12)

Подставив восстанавливающую силу, выраженную через координату, получим:

134

Это уравнение называется дифференциальным уравнением свободных колебаний.

Его решение ищем в виде:

При t 0

x x0 , x v0 .

135

Подставив эти начальные условия в уравнения (3.5.11) и (3.5.12), получим:

Подставив в уравнение (3.5.11) вместо А и В их значения, выраженные

Уравнению (3.5.11) можно придать другой, амплитудный вид, сделав

Здесь – начальный угол движения, или начальная фаза колебаний;

а– максимальная координата x точки D, или амплитуда колебаний;

kt+ – фаза колебаний;

k – угловая скорость вращения, или круговая частота колебаний.

136

Период колебаний (время, за которое точка приходит в одно и то же положение с одной и той же стороны), или время одного оборота отрезка ОD, определим из соотношений

kt1 kt2 2 , k(t1 t2 ) 2 ,

kT 2 ,

Рис. 3.14. График свободных колебаний

Постоянные а и определим из начальных условий: при t=0 x x0 , x v0 .

Выражение для скорости точки получим из уравнения (3.5.18), дифференцируя его по времени:

Подстановка начальных условий в уравнение (3.5.18) и выражение для скорости (3.5.20) дает:

137

При свободных колебаниях частота и период определяются из соотношений

Эти соотношения показывают, что период и частота свободных колебаний от начальных условий не зависят.

Пример . Груз массой m=10 кг, подвешенный на пружине жесткостью с=1960 Н/м, отвели на 2 см вниз и отпустили. Найти уравнение колебательного движения груза.

Решение. На рис. 3.15 изображены: а) недеформированная пружина; б) груз в положении статического равновесия; в) промежуточное положение колеблющегося на пружине груза; г) силы, действующие на колеблющуюся массу в промежуточном положении.

По рис. 3.15,г составим уравнение движения:

г

Рис. 3.15. Иллюстрация положений груза

138

В положении статического равновесия P Fуп сfст ; следовательно, mx cx 0,

x mc x 0.

Введем обозначение:

k2 mc .

Тогда

x k 2 x 0.

Это дифференциальное уравнение свободных колебаний. Его решение: x asin(kt ) .

Таким образом, уравнение движения принимает вид

x0,02sin 14t .

2

Период свободных колебаний T 2 6,28 0,45 c. 14 14

График колебательного движения представлен на рис. 3.16.

Рис. 3.16. График свободных колебаний груза для данного примера

139

3.5.2. Затухающие колебания материальной точки

Рассмотрим влияние сил сопротивления на колебательное движение точки, а также выясним характер этого движения в зависимости от величины силы сопротивления.

В реальных условиях колебательный процесс всегда проходит при сопротивлении движению (трение, сопротивление воздуха и т.д.). Это означает, что кроме восстанавливающей силы, направленной к центру колебаний, на точку действует сила сопротивления, направленная в сторону, противоположную движению. Закон изменения величины силы сопротивления зависит от природы этой силы. Например, модуль силы трения скольжения можно принять постоянным, а величину силы сопротивления воздуха или жидкости при невысоких скоростях – пропорциональной скорости движения.

Решение этого дифференциального уравнения будем искать в виде:

140