2351

3.ДИНАМИКА

3.1.Основные понятия и законы динамики

3.1.1.Основные понятия и определения

Динамикой (от греческого dinamicos – относящийся к силе) называется раздел теоретической механики, в котором изучается движение тел в зависимости от действующих на них сил.

Материальная точка – тело любой формы, размерами которого в дан-

Масса т – количественная мера инертности по-

ступательного движения тела. В классической механике т =const, [m]=кг. Скорость v - вектор, характеризирующий быстроту изменения коор-

динат точки по времени, [v]=м/с.

Ускорение а – вектор, характеризующий быстроту изменения скорости точки по величине и направлению, [a]=м/с2.

Закон движения – уравнение, согласно которому происходит движение материальной точки (или тела).

Ряд других понятий динамики будет сформулирован в процессе изложения соответствующих разделов.

3.1.2. Основные законы динамики

Законы динамики в систематическом виде впервые сформулировал И. Ньютон. Приведем эти законы в современной трактовке.

1. Закон инерции. Материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действие других тел не изменит это состояние.

Первый закон установлен Галилеем. Он характеризует стремление те-

ла сохранять неизменной скорость своего движения. Это свойство тела называется инертностью.

121

Поскольку масса измеряется в килограммах, а ускорение – в метрах в секунду, то единица силы составляет:

4. Закон независимости действия сил. Несколько одновременно дей-

ствующих на точку сил сообщают ей такое ускорение, какое сообщила бы

a m F .

n n

122

Четвертый закон динамики равносилен утверждению, что ускорение а , получаемое точкой от одновременного действия всех сил, равно геометрической сумме ускорений, сообщаемых ей каждой силой в отдельности.

Законы динамики справедливы для инерциальных систем отсчета или абсолютно неподвижных систем отсчета. Для большинства технических задач такой системой можно считать связанную с Землей систему координат.

3.2.Дифференциальные уравнения движения точки

3.2.1.Дифференциальные уравнения движения точки

вдекартовой системе координат

Согласно второму закону динамики, записанному в виде равенства

(3.2.3):

123

Тогда

mx Fkх,

my Fky , (3.3.5)

mz Fkz .

Уравнения (3.3.5) называются дифференциальными уравнениями дви-

жения материальной точки в декартовой системе координат.

Рис. 3.5. Движение точки в декартовой системе координат

3.2.1.Дифференциальные уравнения движения точки

вестественной системе координат

Если используется естественная система координат М nb (рис. 3.6), то уравнения проек-

124

3.3. Две основные задачи динамики

3.3.1. Первая задача динамики

Зная массу т точки и уравнения ее движения x f1(t) , y f2 (t), z f3 (t) , найти модуль и направление равнодействующей сил, приложен-

ных к точке (или определить какую-либо неизвестную силу, действующую на точку).

Эта задача легко решается так:

y / b sin kt .

Возводя обе части каждого уравнения в квадраты и складывая уравнения, получим:

125

Т.е. траектория точки – эллипс, центр которого совпадает с началом координат.

Дифференцируя заданные уравнения движения точки дважды по времени, найдем проекции вектора ускорения:

x ak2 cos kt k2 x,

y ak2 sin kt k2 y.

Согласно системе (3.3.10) дифференциальные уравнения движения материальной точки можно записать в виде

Fx mx, Fy my.

Следовательно, модуль силы, действующей на точку,

Косинусы углов наклона силы к осям координат:

Отсюда можно заключить, что сила F направлена по радиусу r к началу координат.

3.3.2.Вторая задача динамики

По заданной массе и действующей на точку силе определить движение точки.

Дано: m, F. Найти: x, y, z.

Решение. Так как силы, действующие на точку, могут быть перемен-

ными, то F f (t, x, y, z, x, y, z)

Для определения из (3.3.14) уравнений движения x, y и z необходимо дважды проинтегрировать каждое диффере-нциальное уравнение системы. При интегрировании трех уравнений 2-го порядка появится шесть посто-

126

янных интегрирования. Значения этих постоянных определяются по начальным условиям: при t=0

zf3 t, x0 , y0 , z0 , x0 , y0 , z0 .

3.3.3.Интегрирование дифференциальных уравнений движения

при постоянных силах

Интегрирование рассмотрим на примере движения тела, брошенного под углом к горизонту. Определим уравнения этого движения.

Рис. 3.8. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Дано: начальная скорость – v0, угол наклона начальной скорости к оси x – .

Найти: уравнения движения, высоту подъема Н, дальность полета L.

Решение: при t = 0

x 0, у 0, vx v0 cos , vу v0 sin .

Дифференциальные уравнения движения

mx F ,

kx

mу Fkу

для данной задачи примут вид

mx 0,mу mg.

127

Или после сокращения на массу:

x 0,

(А)

у g.

Интегрируем дважды первое уравнение системы (А):

x c1,

x c1t c2.

Постоянные интегрирования определяем с помощью начальных условий: при t = 0

x 0, vx v0 cos .

Получаем:

v0 cos c1,

0 c1 0 c2.

Отсюда c1 v0 cos , c2 0. Уравнения движения относительно оси х примут вид

x v0 cos , x v0t cos .

Интегрируем дважды второе уравнение системы (А):

у dvdtу g, dvу gdt,

vу gt c3, у gt c3,

у gt2 c3t c4. 2

Или

vу gt c3,

у gt2 c3t c4.2

Постоянные интегрирования определяем с помощью начальных условий: при t = 0

y 0, vy v0 sin .

128

Получаем:

у gt v0 sin ,

у gt2 v0t sin .2

Максимальную высоту подъема находим из условия у 0 :

Дальность полета определяем из условия y=0.

0 gt2 v0t sin . 2

Сокращая на t (корень t=0 соответствует началу движения), получаем: t 2v0 sin / g,

3.4. Интегрирование уравнений движения при переменных силах

Если на материальную точку действуют переменные силы, то процедуре интегрирования, как правило, предшествуют преобразования, ведущие к разделению переменных.

3.4.1. Сила, зависящая от расстояния

Рассмотрим задачу определения уравнения движения материальной точки по каналу, прорытому сквозь Землю. Считаем, что Земля имеет форму шара радиусом R. Сопротивление движению не учитываем. Движение начинается из точки А. Схема движения представлена на рис. 3.9.

129