2351

Выражение в скобках из (2.6.14) представляет собой скорость точки, неподвижно связанной с той точкой подвижной системы отсчета, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М, т.е. переносную скорость точки:

т.е. абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей.

Рис. 2.53. Иллюстрация теоремы о сложении скоростей

111

Величину абсолютной скорости (рис. 2.54) можно вычислить по формуле

2.6.3. Сложение ускорений в сложном движении

Теорема. В случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений.

Относительное движение:

постоянные - i , j , k ;

переменные - x, y, z.

112

Переносное движение:

Выражения для радиуса-вектора точки и абсолютной скорости:

Это ускорение называют дополнительным или кориолисовым ускорением.

113

Таким образом, абсолютное ускорение точки М является геометриче-

Теорема доказана.

Величина кориолисова ускорения равна модулю векторного произведения 2 пepvотн :

Кориолисово ускорение есть результат:

1)изменения переносной скорости за счет относительного движения;

2)изменения относительной скорости за счет переносного движения.

Направление кориолисова ускорения определяется по следующему правилу: vотн проецируется на плоскость,

2.6.4. Природа кориолисова ускорения

114

Пример . Точка движется по гипотенузе АС треугольника АВС (рис. 2.57) по закону s 2t2 см. Треугольник вращается вокруг катета АВ с

постоянной угловой скоростью 3 1c . Найти абсолютное ускорение т. М

при t=2 c.

Рис. 2.57. Определение абсолютного ускорения точки

При t=2 c имеем: s=AM=8 cм, vотн=4t=8 см/с, vпер= R= 3 4=12 см/с,

115

2.7. Сферическое движение твердого тела

2.7.1. Уравнения движения

OX1Y1Z1 и подвижной, т.е. связанной с телом, системой координат OXYZ с общим началом координат в неподвижной точке О.

Положение тела можно определить с помощью трех углов:

1)угла между осями ОХ и ОJ, который лежит в плоскости, перпендикулярной оси Z1 ;

2)угла между осями ОZ и OZ1, который лежит в плоскости, перпендикулярной линии OJ;

3)угла между осями ОJ и ОХ, который лежит в плоскости, перпендикулярной оси Z.

Рис. 2.59. Определение положения тела с помощью трех углов Эйлера

116

Углы положительны, если, глядя навстречу осям Z1, OJ, Z, можно видеть эти углы отложенными от осей X1, Z1, J в сторону, противоположную вращению часовой стрелки.

Заданием углов , и однозначно определяется положение тела. Углы , и называют эйлеровыми углами. Названия углов заимствованы из астрономии, а именно:

угол – угол прецессии;

угол – угол нутации;

угол – угол собственного вращения.

При прецессии ось Z описывает коническую поверхность, одновременно она может совершать нутационные колебания.

При движении тела углы , и непрерывно изменяются во времени, поэтому функции

называют уравнениями сферического движения твердого тела.

2.7.2. Определение скоростей и ускорений точек тела

117

Здесь первое слагаемое – касательное ускорение, второе слагаемое – нормальное ускорение (рис. 2.61), т.е.

Рис. 2.61. Определение ускорения в сферическом движении

118

2.8. Общий случай движения твердого тела

Любое движение твердого тела можно представить как совокупность поступательного движения тела вместе с полюсом О и сферического движения вокруг полюса.

Система OZ1Y1X1 поступательно движется относительно системы

O2X2Y2Z2. Система координат OXYZ движется вместе с телом. Положение полюса можно определить по трем уравнениям:

Рис. 2.63. Определение положения тела в общем случае движения

Положение тела по отношению к полюсу и осям OX1Y1Z1 определяется тремя углами Эйлера

То есть всего мы имеем 6 уравнений движения свободного тела. Выражение для скорости точки М получим, дифференцируя выражение

для радиуса-вектора:

119

Дифференцируя выражение для скорости, получим соотношения для

Контрольные вопросы

1.Что называется скоростью точки?

2.Что называется ускорением точки?

3.Какие существуют способы кинематического задания движения

точки?

4.Как вычисляются скорость и ускорение точки при том или ином способе задания движения?

5.Каковы признаки поступательного движения тела?

6.Какое движение тела называется вращательным?

7.По каким формулам определяются угловая скорость и угловое уско-

рение?

8.По каким формулам определяются скорость и ускорение точки при вращательном движении?

9.Какое движение твердого тела называют плоским или плоскопараллельным?

10.Как определяется скорость любой точки плоской фигуры через скорость полюса?

11.В чем заключается суть теоремы о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры на линию, соединяющую эти точки?

12.Что такое «мгновенный центр скоростей» плоской фигуры?

13.Как определяется ускорение точки плоской фигуры?

14.Когда движение точки называют сложным?

15.Каковы признаки относительного, переносного и абсолютного движений точки?

16.Как вычисляется скорость точки в сложном движении?

17.Как вычисляется ускорение точки в сложном движении?

18.Какова природа ускорения Кориолиса?

19.Как определяется направление ускорения Кориолиса?

20.С помощью каких параметров определяют положение тела в сферическом движении?

21.Сколько систем декартовых координат требуется для описания положения тела в общем случае его движения?

22.По каким формулам можно определить скорость и ускорение точки тела в сферическом движении и в общем случае движения?

120