2351

Т.е. скорости точек тела пропорциональны расстояниям до МЦС. Примеры определения МЦС.

vR0 ; vB BP ;

vE EP ...

vK 2R 2v0.

Рис. 2.38. МЦС катящегося колеса

AB AvAP ;

vB AB BP.

Рис. 2.39. МЦС шатуна кривошипно-шатунного механизма

2.5.7. Определение ускорений точек тела при плоском движении

Плоское движение твердого тела можно рассматривать как совокупность двух движений: поступательного движения тела вместе с полюсом и его вращения вокруг полюса.

101

Теорема доказана. Рассмотрим подробнее последнюю производную из выражения (2.5.17):

Величины касательного и нормального ускорения определяются из соотношений:

Таким образом, ускорение точки В удобно определять с помощью соотношения

102

Если одна (А или В) или обе точки совершают движение по окружности (или по кривой), то уравнение (2.5.22) решают в виде:

Рис. 2.41. Определение ускорения точки В через ускорение полюса А

Пример 1. Наити ускорение ползуна кривошипно-шатунного механизма и угловое ускорение шатуна в момент, когда ОА АВ.

Дано: Решение:

103

Геометрическая проверка. Для проверки построим векторный многоугольник ускорений по уравнению (*) (рис. 2.43).

Рис. 2.43. Графическая проверка

Пример 2 . Определить ускорение точки В и угловое ускорение звена АВ механизма.

Дано:

О1А=20 см АВ =20 см О2В=10 см

О1А 2 1с

О1А 3 с12 .

Найти: аВ, АВ

Рис. 2.44. Определение ускорения точки В механизма

105

Решение: скорость точки А

vA O1A O1 A 2 20 40 см/с.

Проведя перпендикуляры к скоростям точек А и В, найдем МЦС звена АВ. Угловая скорость этого звена

vB AB BПАВ 1 20 1,732 34,64 см/с.

аВn О2 2В О2 В 3,4642 10 119,993 смс2 .

аАn О21А О1 А 4 20 80 см/с2

аА О1А О1А 3 20 60 см/с2

аВАn 2АВ АВ 1 20 20 см/с2

Проецируем уровнение (**) на координатные оси: на ось х:

0 аВ аАn cos60 aA cos30 aBAn 0,

аВ 80 0,5 60 0,866 20 71,96 смс2 ;

на ось y:

аВn 0 aAn sin 60 aA sin 30 0 aBA.

Геометрическая проверка.

106

Определим понятия относительного, переносного и абсолютного дви-

жений. Пусть имеются две системы отсчета, движущиеся относительно друг друга. Если одну из этих систем O1x1y1z1 принять за неподвижную, то вторая система Oxуz будет двигаться относительно первой.

Движение точки относительно подвижной системы отсчета Oxуz на-

зывается относительным. Скорость и ускорение точки в относительном движении называют относительной скоростью vотн и относительным уско-

рением аотн .

Рис. 2.51. Положение точки относительно двух систем координат

Движение точки относительно неподвижной системы отсчета Oxуz называется абсолютным или сложным. Траектория, скорость и ускорение этого движения называются абсолютными траекторией, скоростью и уско-

рением vабс, аабс , или v , а (без индексов).

Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Oxуz и всеми неизменно связанными с ней точками пространства по отношению к неподвижной системе отсчета O1x1y1z1 является для точки М переносным движением. Скорость и ускорение той точки m, которая неизменно связана с подвижными осями Oxуz и с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М, называются переносными скоростью vпep и ускорением

апep точки.

109

Относительное движение точки определяется радиусом-вектором r , положение точки относительно неподвижной системы отсчета – радиусомвектором r1 . Переносное движение точки складывается из вектора r0 (ха-

рактеризующего движение полюса), определяющего положение начала координат подвижной системы отсчета и постоянного по величине вектора r , скрепленного с подвижной, вращающейся вокруг точки О системой координат Oxуz.

2.6.2. Теорема о сложении скоростей

Теорема. Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

Дифференцируя выражение (2.6.1) с учетом (2.6.2), получаем:

110