2351

Модуль этого вектора равен значению угловой скорости , определяемому по выражению ddt .

Вектор углового ускорения характеризует изменение вектора угловой скорости в зависимости от времени: ddt . Направление такого вектора

совпадает с предельным направлением приращения , а так как имеет постоянное направление, то направление его приращения совпадает с направлением самого вектора при ускоренном вращении и противоположно при замедленном вращении, т.е. вектор направлен так, как показано на рис. 2.26.

Рис.2.25. Вектор угловой скорости направлен в ту сторону, откуда вращение представляется против хода часовой стрелки

Рис.2.26. Ускоренное и замедленное вращение тела

91

Модуль равен абсолютному значению углового ускорения: ddt .

Так как точкой приложения векторов и может быть любая точка оси, то векторы и называются скользящими.

Пользуясь понятием векторов и , легко получить выражение для векторов скорости и ускорения точки тела при его вращательном движении.

2.4.2. Скорость и ускорение точки

Возьмем на оси вращения произвольную точку О и отложим от нее вектор . Соединим точку М тела радиусом-вектором r с точкой О. Отложим вращательную скорость v точки М.

Модуль вращательной скорости

Таким образом, векторы v и r имеют одинаковые величины и на-

Следовательно, вектор скорости точки при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси равен векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус-вектор точки относительно любой точки оси вращения.

Выведем формулы для вращательного и центростремительного ускорений. Продифференцируем выражение v = r :

92

Покажем, что первое слагаемое есть вектор касательного ускорения, а второе слагаемое – вектор нормального ускорения.

Рис. 2.28. Векторы касательного и нормального ускорений: а – ускоренное вращение; б – замедленное вращение

Модуль вращательного (касательного) ускорения a R r sin .

Модуль векторного произведения

r r sin .

Следовательно, величины касательного ускорения и векторного произведения r равны между собой:

a r .

Касательное ускорение a направлено перпендикулярно плоскости тре-

угольника ОМД. Вектор, равный векторному произведению r , направлен перпендикулярно плоскости и r в сторону, откуда совмещение

с r должно быть в направлении против часовой стрелки, т.е. направле-

93

ния касательного ускорения a и вектора, равного векторному произведению r , совпадают. Итак,

Касательное ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равно векторному произведению вектора угловой скорости тела и радиуса-вектора точки тела, отложенного от любой точки оси вращения.

Модуль нормального (центростремительного) ускорения an 2 R ( R) v .

Модуль векторного произведения

( r ) v vsin ,v v 2 R ,

т.е.

an v .

Вектор нормального ускорения направлен к оси вращения от точки М к D. Вектор, равный векторному произведению v , направлен перпендикулярно плоскости v в сторону, откуда совмещение c v видно в направлении

противчасовойстрелки, т.е. отт. Мкцентру.

Следовательно, направления an и v совпадают. Итак,

2.5. Плоское движение твердого тела

2.5.1. Понятие плоского движения

Плоским, или плоскопараллельным, движением твердого тела называется такое его движение, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Плоская фигура, образованная сечением тела этой неподвижной плоскостью Q, во все время движения остается в этой плоскости. Проведем перпендикулярно к плоскости Q отрезок MM1M2 (рис. 2.28). Точка M1 движется в плоскости Q1, точка M2 – в плоскости Q2. При движении тела все точки сеченияs остаютсявплоскостиQ, следовательно, иотрезокM1M2 остаетсяперпендикулярным плоскости Q, т.е. остается параллельным своему начальному положению. Значит, перпендикулярM1M2 движетсяпоступательно, поэтомувсееготоч-

94

киописываютодинаковыетраекториииимеютравныескоростииускорения, т.е.

СD C1D1 C2 D2 , vM vM1 vM2 , aM aM1 aM2 .

Рис. 2.29. Плоское движение тела

95

вполне определяется положением двух ее точек или положением отрезка АВ.

Поэтому изучение плоского движения твердого тела сводится к изучению движения отрезка, лежащего в плоскости, параллельной той неподвижной плоскости, относительно которой тело описывает плоское движение.

Примеры плоского движения:

1.Колесо катится по плоской кривой.

2.Движение шатуна АВ кривошипно-шатунного механизма.

2.5.2.Уравнения плоского движения

96

Основными кинематическими характеристиками плоского движения являются скорость и ускорение поступательного движения.

а также угловая скорость и угловое ускорение вращательного движения тела:

2.5.3. Разложение плоского движения фигуры на поступательное и вращательное

Пусть плоская фигура переместилась из положения I в положение II (рис. 2.32). Покажем, что перемещение фигуры можно осуществить совокупностью двух движений – поступательного и вращательного. На рис. 2.32 показано, что в конечное положение А1В1 можно прийти путем сложения двух перемещений: AB A1B1 – поступательное перемещение, A1B1 A1B1 – пово-

рот, или AB A1 B1 – поступательное перемещение, A1 B1 A1B1 – поворот. При этом углы поворота в обоих случаях одинаковы.

1 2

Рис. 2.32. Разложение плоского движения на поступательное и вращательное

97

Итак, перемещение плоской фигуры в ее плоскости в общем случае можно рассматривать как поступательное перемещение вместе с полюсом и поворот вокруг полюса. При этом поступательное перемещение зависит от выбора полюса, а величина угла поворота от выбора полюса не зависит.

Движение плоской фигуры также можно рассматривать как совокупность поступательного движения и вращения.

2.5.4. Теорема о скоростях точек плоской фигуры

Теорема: скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скоростей: скорости полюса и скорости этой точки во вращательном движении вокруг полюса.

Доказательство. Пусть т. О1 –

неподвижная точка плоскости. Примем точку О плоской фигуры

Так как OA const , а направление его при повороте фигуры вокруг т.

О меняется, то производная dOAdt представляет собой скорость точки А во вращательном движении вокруг полюса О:

98

Радиус АО совершает вращательные движения вокруг точки О. При этом

vAO OA,

OA vOA.

Следовательно, вращательная скорость точки А vAO OA.

Вектор vAO направлен перпендикулярно ОА в сторону вращения пло-

ской фигуры вокруг полюса О. Итак,

Теорема доказана.

Иллюстрация теоремы о сложении скоростей приведена на рис. 2.35. Здесь vA – диагональ параллелограмма, построенная на v0 и vAO как на сторонах.

Рис. 2.35. Иллюстрация теоремы о сложении скоростей

2.5.5. Теорема о проекциях скоростей точек плоской фигуры

Теорема: проекции скоростей двух точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны.

Доказательство. Пусть известна скорость vB точки B. Примем точку В

за полюс. Тогда на основании теоремы о сложении скоростей запишем vA vB vBA.

Спроецируем это уравнение на линию АВ:

99