Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2335

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.06.2024

Размер:

7.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Обозначим произведение 6 a буквой , а скорость частицы выразим

по формуле dr . Тогда уравнение (2.1) приобретает вид dt

m d 2r dr F. dt2 dt

Спроектируем это уравнение на ось X . Так как проекция радиус-век- тора r на эту ось есть координата x частицы, то

m	d 2 x	dx	F .	(2.2)
	dt2	dt	x
	dt2	dt

где Fx проекция вектора F на ось X .

Так как все направления движения частицы равновероятны x 0, то будем определять x2. Для этого умножим обе части уравнения (2.2) на x

mx d 2 x x dx xFx. dt2 dt

Выполним некоторые преобразования dtd x2 2x dxdt ,

d 2		x	2	d	2x

dt	2
				dt

dx	2	dx 2
	2
dt		dt

x d 2 x , dt2

d 2 x

1 d 2

dx 2

2 dt

m d 2			2	dx 2		d		2
		x		m	Fx x 3 a		x		.
2 dt	2					dt
				dt

Это равенство справедливо для любой частицы и поэтому оно справедливо и для средних значений входящих в него величин, если усреднение вести по достаточно большому числу частиц. Поэтому можно написать

m d 2	x2 m 2	F x 3 a	d	x2 .

2 dt2	x	x	dt

Так как x и x не зависят друг от друга, можно записать

	Fx x		Fx		x 0 ;
	m	2x		1	kT ;
m d 2	m	2		2	kT ;
		2		2		d
	x2	kT 3 a				d	x2 .

2 dt2						dt
2 dt2						dt

Произведем замену

z	d	x2 .
	dt

Тогда

m2 dzdt kT 3 az .

Полученное дифференциальное уравнение обыкновенное линейное неоднородное. Из математики известно, что его решение является суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.

Умножим обе части уравнения на величину m2 , тогда

dzdt 6 m a z 2mkT ; z Ce 6 m a 3kTa ;

t 0 0 ;

;

3 a

6 at

m .

3 a

Слагаемое в скобках весьма мало, следовательно им можно пренебречь. Тогда выражение примет вид

z	d	x2	kT	, откуда x2	kTt	.	(2.3)
	dt		3 a
					3 a

Среднее значение квадрата смещения броуновской частицы за время t вдоль оси X , или любой другой оси, пропорционально этому промежутку времени. Формула (2.3) получила название формула Эйнштейна–Смолу- ховского. В ней x означает смещение частицы только в одном избранном направлении (принятом нами за направление оси X ), то есть x есть проекция полного смещения r на это направление. Очевидно, что

r2 x2 y2 z2 .

Усредняя и принимая во внимание, что x2 y2z2, получим

r2 3x2.

Поэтому формулу (2.3) можно записать в виде r2 kTta .

В 1908 г. французский физик Жан Батист Перрен начал количественные наблюдения за движением броуновских частиц под микроскопом. Крошечные шарики почти сферической формы и примерно одинакового размера Перрен получал из гуммигута. Он отмечал и потом зарисовывал (в сильно увеличенном масштабе) на разграфленном листе бумаги положение частиц через равные интервалы времени, например, через каждые 30 с (рис. 2.2) Соединяя полученные точки прямыми, он получал замысловатые траектории. Такое хаотичное, беспорядочное движение частиц приводит к тому, что перемещаются они в пространстве довольно медленно: сумма отрезков намного больше перемещения частицы от первой точки до последней. Результаты, полученные Перреном, подтвердили теоретические выводы Эйнштейна.

Рис. 2.2

Данное уравнение имеет историческую ценность, потому что на нем основан один из первых способов определения постоянной Больцмана.

В настоящей работе исследуется движение частицы на плоскости, поэтому не учитывается одна из координат частицы.

Порядок выполнения работы

Для количественного исследования броуновского движения необходимо проследить за смещениями броуновской частицы, которая зафиксирована на фотографиях (см. приложение в конце сборника).

1. Изучите набор фотографий в порядке возрастания номера фотографии.