Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2175

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.06.2024

Размер:

5.47 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Задание 9 РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Цель задания: Для заданной стержневой системы, используя метод конечных элементов в форме метода перемещений, определить узловые перемещения.

Решение: Рассмотрим два примера: расчет рамы и расчет фермы. Пример 1. Произвести расчет рамы, изображенной на рис. 9.1,а.

Рис. 9.1

121

Вектор угловых перемещений 1-го элемента:

					U T		u v u v						.
					1		1	1	1	2	2	2
Матрица жесткости 1-го элемента:
	EF				0			0				EF				0
		l			0			0				l				0
		1			12EI			6EI					1		12EI
		0			12EI			6EI				0			12EI
		0			3				2			0					3
					l1			l1								l1
								4EI				0				6EI
								l	3			0				l	2
	k1'							1			EF					1
											EF					0
												l1				0
												l1
				симметрично										12EI
				симметрично												l 3
																1



Учитывая, что l				l /	2	l	2,	F 12, получим:
Учитывая, что l				l /		l	2,	F 12, получим:
		1			2			I
					2			I
	6 2l2			0			0				6 2l2					0
			3 2				3l					0		3			2
			3 2				3l					0		3			2
						2 2l2						0			3l
k'						2 2l2						0			3l
1											6	2l2				0
											6	2l2				0

					симметрично									3			2

	0
	0
6EI
6EI
	2
	l1
2EI
	l1
	l1	.
		.
	0
	0

	6EI
	l 2
	1
4EI
	l1
	l1

0
3l
3l
2l2	EI
2l2	EI	;
0	l3	;

3l
2 2l2
2 2l2

		2	0	0		12l	2	0
	12l		0	0		12l		0
			12	6l		0		12
				4l	2	0		6l
k2' k2				4l		0		6l
k2' k2						12l2		0
						12l2		0
			симметрично					12
			симметрично					12

2l2 EI

3 . 0 l 6l

4l2

122

Матрица преобразования координат имеет вид:

							2	2
									0	0	0	0
							2	2	0	0	0	0
с s 0 0					0	0	2	2
с s 0 0					0	0	2	2
	s с 0 0				0				0	0	0	0
							2	2	0	0	0	0
						0	2	2	1	0	0
	0	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0	0
T	0	0	0	с						2	2	.
	0	0	0	с	s 0		0	0	0	2	2	0
	0	0	0	s	s 0		0	0	0	2	2	0
	0	0	0	s	с	0				2	2
	0	0	0	0	0					2	2
	0	0	0	0	0	1	0	0	0	2	2	0
						1	0	0	0	2	2	0
										2	2
							0	0	0	0	0
							0	0	0	0	0	1

									k T T k'T
									1		1
3 2	l 2	1	3 2	l 2		1		3 2		l	3 2		l 2					1	3 2 l 2						1			3 2			l
3 2	l 2		3 2	l 2						l	3 2		l 2						3 2 l 2												l
						2	2																						2
		2				2	2											2							2				2
					2	1	3								2			1				2				1	3 2
			3 2	l					l		3 2		l						3 2 l											l
			3 2	l		2	2		l		3 2		l						3 2 l									2		l
						2	2											2								2		2
												3 2								3 2
							2 2l 2					3 2				l				3 2			l					2l 2					EI
							2 2l 2									l							l					2l 2					EI
													2							2															.
													2							2														l 3	.
			симме														1							1			3		2					l 3
			симме											2			1				2			1			3		2
											3 2 l								3 2	l										l
			трично								3 2 l						2		3 2	l				2				2		l
			трично														2							2				2

																			3 2		2			1				3	2
																				l												l
																				l				2					2			l
																								2					2
																											2		2l	2
																											2		2l

Поскольку локальная система координат элемента 2 совпадает с универсальной системой, то матрицу жесткости элемента 2 не следует

трансформировать (k2 k2' ) .

123

Матрица жесткости K образуется внесением на соответствующие позиции элементов матриц k1 и k2 , их суммированием, когда на той же

позиции появятся элементы обеих матриц:

3 2	l2	1	3 2	l2		1		3 2 l		3 2		l2			1				3 2		l		2		1	3 2 l
		2					2	2									2										2
		2					2	2									2								2		2
			3 2		2		1	3 2	l	3 2				2			1		3 2				2		1	3 2			l
			3 2	l			2	2	l	3 2		l					2		3 2		l						2		l
							2	2									2								2		2
								2 2l2			3 2 l									3 2 l							2 l2
								2 2l2			3 2 l									3 2 l							2 l2
												2									2
													1											1		3 2
K											2		1			12l		2	3 2			2		1		3 2			l
K										3 2 l			2			12l			3 2	l							2		l
													2											2			2
								симме-															1			3	2
								симме-												2			1		12	3	2	l		6l
								трично											3 2 l				2		12		2	l		6l
								трично															2				2
																									2	2l2 4l2
																									2	2l2 4l2

0		0	0
0		0	0

0		0	0
0		0	0


0		0	0

				EI
12l2		0	0	EI
12l2		0	0	l3
				l3

0		12	6l

0		6l	2l2
0		6l	2l2
12l	2	0	0
12l		0	0
		12	6l
			4l2

Подобным же образом получается вектор суммированных сил в узлах системы, причем P1 0 , так как элемент 1 не имеет нагружения, а

сосредоточенная сила P вводится как составляющая вектора P в узле 2 в направлении Y:

			0 R11
			0 R12					0
			0 R12
			0 R13					0
			0					0
			0					0
								0
	1 ql P							0
	1 ql P						1,5
		2					1,5
P				1				1			ql	R	.
					ql2					l
								12

			12
			0 R31					0
			0 R31					0
			1 ql				0,5
							0,5
								1
			2					1	l
									l
	1
	1		ql2			R	12
			ql2			R	12
12						33

Заменяя в матрице К и векторе Р длину l на 4 и разделяя систему уравнений KU P согласно неизвестным, а также известным величинам в

124

векторе параметров перемещений, получаем следующую систему уравнений:

		262,004		65,761	8,485	0	\|	70,004	65,761	8,845	192	0	u2
			65,761	82,004	15,515	12	\|	65,761	70,004	8, 485	0	24
													v2
			8, 485	15,515	109, 255	24	\|	8, 485	8, 485	22,627	0	32		2
			0	12	24	12	\|	0	0	0	0	24
													v3
EI						\|
l	3			65,761	8, 485	0	\|	70,004	65,761	8, 485	0	0
		70,004											u1
			65,761	70,004	8, 485	0	\|	65,761	70,004	8, 485	0	0	v1
			8, 485	8, 485	22,627	0	\|	8, 485	8, 485	45, 255	0	0		1

			192	0	0	0	\|	0	0	0	192	0	u3
			0	24	32	24 \|		0	0	0	0	64		3

	0			0
	1,5			0
	1,5			0
0,33				0
	0,5			0
	0,5			0

	0	ql R			.
				11
	0		R
	0			11
	0		R13
	0		R
				31
	0,33		R33

Решая систему из четырех линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными

262,004	65,761	8,485	0	u2		0
	82,004	15,515	12	v		1,5
EI		109,255		2			ql ,
l3		109,255	24	2	0,333
			12	v		0,5
				3

получаем значения неизвестных параметров перемещений в узлах системы:

U2			0,0118
V		0,0432				4
	2			ql
	2	0,0294			EI .
V			0,1436
	3

125

Затем определяем реакции опор:

R11	70,004		65,761	8,485
R		65,761	70,004	8,485
12		8,485	8,485	22,627
R13		8,485	8,485	22,627
R		192	0	0
31
R		0	24	32
33

0		0,0118		0
0		0,0118		0
0				0
0	0,0432 ql			0	ql;
0	0,0294			0
0		0,1436		0
		0,1436
24			0,333

Рис. 9.2

Реакции соответственно равны:

R11	2,264
R	2,000
12
R13	0,198	ql.
R	2,265
31
R	1,136
33

Полученные значения параметров перемещения, реакции опоры, диаграммы перемещений и момента изгиба показаны на рис.9.2.

Пример 2. Пример расчета фермы МКЭ (рис. 9.3) Вектор перемещений данной системы (рис. 9.4) имеет вид:

и и1 и2 и3 и4 и5 и6 и7 и8 T .

Примем EFi / li 2 .

126

Рис. 9.3

Рис. 9.4

Матрицы жесткости отдельных элементов можно записать в виде следующих таблиц:

			I									II						III
	1		2		3	4				3		4	5		6		3	4	7	8
1	2	0		-2 0				3		2		0	-2 0			3	0	0	0	0
2	0	0		0		0	4			0		0	0	0		4	0	2	0	-2
3	-2 0 2					0	5			-2		0	2	0		7	0	0	0	0
4	0	0		0		0	6			0		0	0	0		8	0	-2 0 2
			IV									V
	1		2		7	8					5	6	7		8
1	1		1		-1 -1				5		1	-1 -1			1
2	1		1		-1 -1		6				-1 1 1				-1
7	-1		-1		1	1	7				-1 1 1				-1
8	-1		-1		1	1	8				1	-1 -1			1

127

Матрица жесткости фермы представляет собой сумму матриц жесткостей её элементов:

		1	2	3	4		5	6	7	8
1	3		1	-2 0			0	0	-1 -1
2	1		1	0	0		0	0	-1 -1
3	-2 0			4	0		-2 0		0	0
K= 4	0		0	0	2		0	0	0	-2
5	0		0	-2 0			3	-1 -1 1
6	0		0	0	0		-1 1		1	-1
7	-1 -1 0				0	-1 1			2	0
8		-1 -1		0	-2		1	-1	0	4

Уравнения равновесия можно записать в виде:

Р1 3и1 1и2 2и3 0и4 0и5 0и6 1и7 1и8; Р3 1и1 1и2 0и3 0и4 0и5 0и6 1и7 1u8; Р3 2и1 0и2 4и3 0и4 2и5 0и6 0и7 0и8; Р4 0и1 0и2 0и3 2и4 0и5 0и6 0и7 2и8; Р5 0и1 0и2 2u3 0и4 3и5 1и6 1и7 1и8; Р6 0и1 0и2 0и3 0и4 1и5 1и6 1и7 1и8; Р7 1и1 1и2 0и3 0и4 1и5 1и6 2и7 0и8; Р8 1и1 1и2 0и3 2и4 1и5 1и6 0и7 4и8.

При этом вектор

P1		0 R1
P2	100 R
			2
P3		0
		100
P4		100
P P		0		.
5
P		100	R
6		0	6
P7		0
P		0
8

128

Для вычисления перемещений и3, и4 , и7 , и8 систему уравнений перепишем в виде:

Р3 2и1 0и2 4и3 0и4 2и5 0и6 0и7 0и8;Р4 0и1 0и2 0и3 2и4 0и5 0и6 0и7 2и8;Р7 1и1 1и2 0и3 0и4 1и5 1и6 2и7 0и8;

Р8 1и1 1и2 0и3 2и4 1и5 1и6 0и7 4и8.

Здесь и1 = и2 = и6 =0, и5=1.

Подставляя Pi и иi , получим следующий вид системы уравнений:

2 4и3 0и4 0и7 0и8;
	2и8	;
100 0и3 2и4 0и7	2и8	;

1 0и3 0и4 2и7 0и8;

1 0и3 2и4 0и7 4и8.

Откуда

и3=0,5; и7 =0,5; и8=-50,5; и4=-100,5.

129

Варианты задания 9

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.06.20245.42 Mб02170.pdf
#
17.06.20245.42 Mб02171.pdf
#
17.06.20245.44 Mб02172.pdf
#
17.06.20245.46 Mб12173.pdf
#
17.06.20245.46 Mб02174.pdf
#
17.06.20245.47 Mб02175.pdf
#
17.06.20245.47 Mб02176.pdf
#
17.06.20245.49 Mб02177.pdf
#
17.06.20245.49 Mб02178.pdf
#
17.06.20245.5 Mб12179.pdf
#
16.06.2024234.69 Кб0218.pdf