2084

Квантилью называют значение Нк(α) случайной величины T, соответствующее заданной вероятности P(T<Нк(α)), как правило, со-

ставляющей 0,5, 0,8, 0,9, 0,95.

Медиана – это значение СВ, являющееся серединным членом, т.е. значение СВ, при котором P1(T<Me)=P2(T>Me) (рис. 3.4).

Квантиль, соответствующая вероятности 50 %, называется медианой. Площадь под графиком функции плотности распределения случайной величины делится медианой пополам.

Мода – это значение СВ, соответствующее максимальной частоте или плотности распределения (рис. 3.4). Модой случайной величины называют наиболее вероятное значение этой вели-

чины, т.е. значение, при котором P(m)= Pmax(m) или плотность вероятности

f(T)= fmax(T).

Точечные характеристики, полученные для выборки изделий, должны быть перенесены на генеральную (общую) совокупность изделий.

Генеральная совокупность – это совокупность изделий, содержащая все исследуемые изделия, из которой делается выборка, т.е. над которой ведется наблюдение.

Выборка – это определенное число изделий, отобранных из исследуемой совокупности для получения сведений о генеральной совокупности. Так как объем выборки невелик, используют интервальные оценки, которые определяют с учетом теоретического закона распределения СВ.

3.4. Теоретические законы распределения случайных величин

Закон нормального распределения (ЗНР) используют:

для определения характеристики рассеивания ресурсов и сроков службы машины и агрегатов;

для определения характеристик рассеивания ошибок измерения деталей и рассеивания размеров деталей;

для расчета показателей надежности изделий в период постепенных отказов из-за износа и старения.

Параметрами данного закона являются математическое ожидание M(T)

(среднее значение Тср) и среднеквадратическое отклонение σ. Особенность данного закона – симметричное распределение относи-

тельно математического ожидания (рис. 3.5).

71

Рис. 3.5. Дифференциальная f(T) и интегральная F(T) функции закона нормального распределения

Дифференциальная функция применяется для расчета вероятности появления отказов в интервале А, с серединой Тсi (прил. 3)

Интегральная функция определяется с помощью табулированной центрированной интегральной функции Φ(Z) по аргументу Z=(T–Tcp)/σ с использованием прил. 1

Закон распределения Вейбулла (ЗРВ) используется для определения характеристик рассеивания ресурсов отдельных деталей и наработок между отказами. Особенность закона ЗРВ – правосторонняя асимметрия дифференциальной функции f(T). Коэффициент вариации СВ для данного закона находится в пределах 0,5...0,9.

Параметрами закона ЗРВ являются параметр масштаба и параметр формы, которые могут быть вычислены по выражениям:

Более точно эти коэффициенты определяются с использованием прил. 12 по коэффициенту вариации и формулам:

Дифференциальная и интегральная функции (рис. 3.6) определяются по выражениям:

Данный закон является однопараметрическим с коэффициентом вариации СВ, равным 1.

Закон распределения Пуассона применяется для определения вероятности появления m независимых событий в интервале времени T, когда события происходят с постоянной интенсивностью λ.

СВ распределена по закону Пуассона, если вероятность ее частот при определенных значениях СВ m равна (прил. 10):

где m – СВ, принимающая положительные значения, m ≥0; ап – параметр закона Пуассона, aп= λ·T;

λ – интенсивность возникновения событий, λ>0.

Параметр закона Пуассона существенно влияет на характер изменения вероятности Рm (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Закон распределения Пуассона

Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение равны параметру закона Пуассона:

где n – число испытаний;

р – вероятность события при одном испытании.

Например, вероятность появления трех отказов автомобилей за 1000 часов работы при интенсивности отказов λ = 0,002 ч–1 составит

Закон биноминального распределения применяется для определения вероятности появления события А m раз в n испытаниях (событие А либо наступит, либо нет), когда вероятность события постоянна и испытания

где m – количество появлений события А;

74

Например, вероятность появления двух отказов автомобиля при трех его испытаниях и вероятности возникновения отказа р= 0,1 равна:

3.5. Выбор теоретического закона распределения

Теоретический закон распределения можно выбрать следующими способами: по области применения теоретического закона, по величине коэффициента вариации, на основе визуального сравнения полигона с дифференциальной функцией f(T) или кривой накопленных опытных вероятностей Σmi/N с интегральной функцией F(T) ТЗР, с помощью критериев согласия (Пирсона и Колмогорова).

Использование критериев позволяет более объективно выбрать теоретический закон распределения.

Физический смысл проверки «согласия» заключается в определении степени расхождения опытной и теоретической вероятностей. При этом в качестве меры совпадения или расхождения выбирают различные критерии согласия: сумму квадратов отклонения теоретических вероятностей от опытных (критерий Пирсона), наибольшее или суммарное отклонение кривой накопленных опытных вероятностей от интегральной кривой теоретического закона распределения (критерий Колмогорова).

Критерий согласия является случайной величиной и, следовательно, подчиняется определенному закону распределения. Поэтому по величине критерия согласия в каждом случае можно определить вероятность совпадения опытных и теоретических функций и принять или отбросить выбранный теоретический закон распределения показателя надежности. Следует иметь в виду, что как бы ни была велика вероятность совпадения, она свидетельствует только о том, что выбранный закон не противоречит

75

опытным данным, но не гарантирует того, что этот закон в данном случае лучше, чем какой-либо другой, выравнивает опытную информацию.

Поэтому наиболее удачно используют критерии согласия тогда, когда необходимо выбрать один теоретический закон распределения из двух или нескольких. В этом случае можно не сомневаться, что наиболее приемлемым окажется тот закон распределения, совпадение которого с опытной информацией характеризуется наименьшей величиной расхождения.

При количестве информации N>25 целесообразно использовать критерий Пирсона χ2, т.е. он применяется при большем числе наблюдений

здесь N – количество точек информации;

Tn.i, Tk.i – наработки начала и конца i-го интервала статистического ряда. Вероятность совпадения теоретического закона распределения Рχ2

определяют из прил. 7 с учетом числа степеней свободы:

где k – количество обязательных связей, k = z +1 (z –число параметров ТЗР; например для ЭЗР один, z = 1).

Критическая вероятность совпадения опытных данных с теоретическими составляет [Рχ2] = 0,1.

Критерий Колмогорова находят по выражению

где Dmax – максимальное расхождение между накопленной опытной вероятностью и интегральной функцией,

По критерию Колмогорова К определяют вероятность совпадений опытных данных с теоретическими Р к, используя прил. 5.

При К1 принято считать, что согласие опытных данных с теоретическими хорошее. Критическая вероятность совпадения [P к] =0,05.

76

3.6. Интервальные характеристики распределения случайной величины

Точечные характеристики распределения случайной величины, полученные на основании результатов испытаний выборки изделий, должны быть перенесены на генеральную совокупность машин. Так как математическое ожидание СВ и среднеквадратическое отклонение не равны их статистическим аналогам, полученным по результатам испытаний выборки изделий, то следует определить интервальные оценки распределения СВ генеральной совокупности изделий.

Эти оценки характеризуются относительной ошибкой переноса и степенью доверия, т.е. доверительной вероятностью.

Для инженерных расчетов принимают относительную ошибку равной 10...15 %, а доверительную вероятность – 0,8...0,95 до 0,99.

Границы, в которых может колебаться значение одиночного показателя надежности при

где tα – коэффициент Стьюдента, который определяют с учетом доверительной вероятности (α) и количества информации (N) по прил. 2, 7.

Абсолютная ошибка переноса для одиночного значения показателя надежности равна: t .

77

В практике чаще приходится встречаться с расчетом доверительных границ среднего значения показателя надежности:

Для закона распределения Вейбулла границы одиночного значения рассчитываются с использованием квантилей этого закона (Нк) (прил. 4):

Доверительный интервал для среднего значения показателя

Относительная ошибка переноса

78

3.7. Расчет показателей надежности технических изделий

Показатель надежности – величина, характеризующая одно из свойств или несколько свойств надежности. Показатели надежности используют для количественной характеристики надежности изделий.

Показатели надежности классифицируют:

по способу получения показатели на расчетные, получаемые на основе расчетных методов; эксплуатационные, получаемые по данным эксплуатации; экстраполированные, найденные путем экстраполирования известных показателей надежности на другую продолжительность эксплуатации или другие условия эксплуатации;

по области использования показатели надежности делятся на нормируемые, регламентируемые нормативно-технической или конструкторской (проектной) документацией; оценочные, получаемые по результатам испытаний и эксплуатации;

по области распространения показатели надежности различают индивидуальные, характеризующие надежность одного изделия; групповые, характеризующие надежность партии изделий;

по свойствам изделий, характеризующим их надежность, различают показатели безотказности восстанавливаемых и невосстанавливаемых изделий, долговечности, ремонтопригодности, сохраняемости и надежности в целом.

С помощью единичных показателей оценивают одно из свойств изделия, характеризующих его надежность, с помощью комплексных – оценивают одновременно несколько таких свойств.

3.7.1. Расчет показателей безотказности

Показатели безотказности невосстанавливаемых изделий

Вероятность безотказной работы P(T) – вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ изделий не возникнет, т.е. вероятность того, что наработка изделия до отказа больше заданной P(T>T).

Статистическую оценку вероятности безотказной работы за время T (или в пределах наработки T) определяют из соотношения

где Nр(T) – число работоспособных изделий к концу времени испытаний или эксплуатации T;

N – число изделий, поставленных на испытания или эксплуатацию;

n(T) – число изделий, отказавших к концу времени испытаний или эксплуатации T.

79

Вероятность отказа может быть оценена интегральной функцией распределения наработки до отказа

Средняя наработка до отказа Tср – это математическое ожидание наработки изделия до первого отказа. Она может быть определена по известной вероятности безотказной работы

Распределение отказов во времени характеризуется плотностью распределения отказов f(T).

Плотность распределения наработки до отказа – это отношение числа отказавших изделий за единицу времени к первоначальному их количеству при условии, что все вышедшие из строя изделия не восстанавливаются, т.е. их число во время испытаний уменьшается.

Плотность распределения отказов получают дифференцированием интегральной функции F (T):

где n(T) – число отказавших изделий за наработку T. Следовательно,

Интенсивность отказов – условная плотность вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого изделия, определяемая для рассматриваемого момента времени при условии, что до данного момента отказ не возникал. Это вероятность возникновения отказа в единицу времени.

80