2074

и (k/2)+1 вариационного ряда. Кроме медианы, выборку делят еще квантили (пополам каждую половинку). Нижний квантиль обозначают 25 %, верхний квантиль –75 %.

Среднееквадратическое(стандартное) отклонение(прималойвыборке):

Коэффициент вариации – показывает вариабельность выборки:

100 Y .

Значение коэффициентов вариации (изменчивость признаков) по результатам замеров считается незначительным, если оно менее 10 %; средним – при 11–30 %; высоким, если более 30 %.

при большой выборке: m k .

Доверительный интервал генеральной средней для 5 %-го уровня значимости:

Y t0.05 x ,

где t0.05 – критическое значение критерия Стьюдента, выбирается из таблицы (приложение) взависимостиотнадежности– 0,90; 0,95; 0,99.

4. С целью проверки стабильности условий испытаний и достоверности полученных результатов определяют однородность дисперсий по крите-

рию Кохрена:

G i2 max ,

K

i2

i 1

где i2 max – наибольшее значение дисперсии среди всех строк плана анализируемого показателя;

K

i2 – сумма всех дисперсий.

i 1

81

Если значение критерия Кохрена больше табличного, то это говорит о неоднородности дисперсий и, следовательно, о недостаточной достоверности (невоспроизводимости) эксперимента. Следует выяснить причину наибольшего значения дисперсии и повторить эксперимент. Причинами могут быть неточности установки параметров агрегата, недостаточное количество измерений или недостаточно точный замер параметров.

5. При обеспечении неравенства значений вычисляют дисперсию воспроизводимости:

N

i2

где N – количество дисперсий, равное для каждого показателя количеству строк плана.

Остаточная дисперсия:

В процессе проведения обработки результатов опыта в случае изменения исходных условий его проведения осуществляют регрессионный анализ (выбирают вид функциональной зависимости и определяют числовые значения коэффициентов в уравнении регрессии), дисперсионный анализ и ковариационный анализ. При этом в исследовании ставятся задачи, которые следует решить.

Регрессионный анализ. В ходе регрессионного анализа вначале принимают математическую модель эксперимента в виде линейной зависимости (полином первой степени):

n

Y bo bi Xi ,

i 1

82

В случае плохого описания процесса линейной моделью в принятых интервалах варьирования (изменения значений) факторов, ее заменяют на квадратичную модель (полином второго порядка) вида

Если для модели первого порядка требуется проведение опыта при установке двух уровней факторов (и дополнительная точка в центре эксперимента для контроля линейности), то для моделей более высокого порядка каждый фактор изменяется не менее чем на трех уровнях.

Чем больше численное значение коэффициента в уравнении регрессии, тем больше влияет фактор. Наличие знака «+» приводит к увеличению отклика, «–» – к уменьшению значений.

Для проверки адекватности представления результатов эксперимента какой-либо функциональной зависимостью (для проверки равенства двух генеральных дисперсий по выборочным дисперсиям) производится сравнение расчетного значения с табличным значением F-критерия Фишера. Расчетное значение для полинома первого порядка определяют по формуле

F SL2F Sy2

При проверке адекватности представления результатов эксперимента полиномами второго порядка также используется F-критерий Фишера:

S 2

F 2 ag ,

воспр

где SL2F – дисперсия адекватности:

По F-критерию проверяется гипотеза о равенстве дисперсий двух независимых выборок. Если выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности, или из разных совокупностей, то при условии равенства дисперсий, значение F не выйдет за его критические границы.

Дисперсия, характеризующая ошибку опыта Sy2 :

где yu – значение критерия оптимизации в параллельных опытах.

83

Если табличное значение больше расчетного, то гипотезу об адекватности предлагаемой линейной модели экспериментальным данным можно принять. Это значит, что предсказанное (вычисленное) с помощью модели значение функции отклика не отличается существенно от действительных (опытных) значений. Модель удовлетворяющая данным условиям называется адекватной.

Однако, линейная модель не является адекватной, если окажется, что значим хотя бы один из эффектов взаимодействия. Для этого ставятся дополнительные опыты (при значениях всех факторов в центре эксперимента). При этом разница (bo yo ) не должна превышать ошибки

эксперимента, в противном случае налицо выпуклость (вогнутость) модели ( yo – среднее значение критерия оптимизации в центре эксперимента).

Значимость данного различия (сравнение двух средних величин) проверяется по критерию t-критерию Стьюдента. Он характеризует распределение выборочных средних в нормах генеральной совокупности.

tpac (bo yo )2 no ,

Sy

где no – число точек в центре эксперимента.

Полученное значение сравнивается с табличным значением, соответствующим Sy2 при плане опыта линейной модели. Если табличное

значение больше расчетного (при 5 %-м уровне значимости ошибки), то разница (bo yo ) не достоверна, поэтому гипотезу об адекватности

линейной модели и по второму критерию можно принять с 95 %-й вероятностью.

Используя t-критерий, проводится также проверка значимости коэффициентов регрессии по доверительному интервалу.

Доверительный интервал коэффициентов регрессии:

где t – табличноезначениекритериясостепеньюсвободыf [гдеf=N.(no-1)];

Можно использовать t-критерий и для проверки достоверности различий, наблюдаемых между выборочными средними или средними квадратическими отклонениями двух выборок.

Для этого находят средние арифметические Y1 и Y2, дисперсии обеих средних Sy21 и Sy22 .

84

Среднее взвешенное данных дисперсий

Для оценки степени соответствия эмпирических данных определенным теоретическим предпосылкам (для оценки дисперсии генеральной совокупности) используется критерий 2 Пирсона (критерий согласия или подобия). Если табличные значения больше расчетных, то гипотеза о подобии принимается. Если условие не принимается, то признается не случайный характер отклонений.

2 ( yi yi )2 , yi

где yi – теоретические значения; yi – эмпирические значения.

Для оценки близости теоретического и эмпирического распределений непрерывных величин иногда используют -критерий Колмогорова:

k max FT ( y) F ( y) ,

где в скобках максимальное абсолютное значение разности между эмпирической (выборочной) FТ(у) и теоретической F(у) функциями.

Нередко используется и анализ остатков, не учтенных моделью. Они должны иметь случайный характер относительно нормальности условного распределения параметра оптимизации. Для проверки адекватности регрессионной модели по независимости ошибок используют статистику Дарбина-Уотсона:

где – ошибки регрессионной модели относительно исходных значений выборки отклика;

– коэффициент корреляции величины остатков с факторами.

85

Если расчетное значение статистики больше верхнего табличного значения статистики, то гипотеза о независимости остатков (адекватности модели) не отвергается (принимается) на уровне . Если меньше нижнего табличного значения, то отвергается, при нахождении в интервале табличных значений – является сомнительной. При отрицательной автокорреляции рассматривают случай: (4 – d).

Иногда зависимость между величинами носит характер гиперболы, показательной функции, логистической кривой. В результате математических преобразований имеется возможность перехода к уравнению линейной зависимости. Для этого исходные данные вначале логарифмируют, извлекают корень, единицу делят на значение и т.п., после чего производится обработка данных аналогично полиному первого порядка.

Если уравнение регрессии имеет вид показательной кривой:

Y=a.bx или Y=a.ex.b, то получим: lg(Y)=lg(a)+x.lg(b).

Для степенной кривой Y=a.x, то получим: lg(Y)=lg(a)+b.lg(x).

Для логистической кривой Y Na bt

1 10

Дисперсионный анализ – статистический метод анализа зависимости отклика от качественных и количественных факторов, основан на технике статистической проверки гипотез. Он используется, когда невозможно собрать массовый материал по изучаемому вопросу. Позволяет установить количественную зависимость между изучаемыми признаками совокупности, суммарное действие факторов, действие каждого регулируемого в опыте фактора, а также их сочетаний на результативный признак. Однако при числе изучаемых факторов более трех методы дисперсионного анализа становятся чрезвычайно громоздкими и редко применяются в исследованиях. Кроме того, данный метод не позволяет отыскивать оптимальное сочетание факторов.

В процессе дисперсионного анализа определяются общая, факториальная и остаточная дисперсии на основе анализа статистической совокупности. Определение веса (доли) каждой дисперсии, корректировка дисперсий на число степеней свободы, вычисление коэффициентов Фишера, определение достоверности факториальных дисперсий путем сравнения вычисленных значений критерия Фишера с табличными. Влияние фактора

86

считается достоверным, когда вычисленное значение больше табличного или равно ему.

Общая дисперсия (рассеяние признаков) 2y разлагается на составные части: 2x –факториальная дисперсия, возникающая под влиянием изучаемых факторов; 2z – остаточная дисперсия, возникшая под влиянием остальных неучтенных факторов в процессе анализа, то есть 2y = 2x + 2z =1.

Факториальная дисперсия состоит из дисперсий изучаемых факторов (А, В, С и т.д.) и совместного их влияния на явление:

2x 2A 2B 2AB .

Тогда в общем случае дисперсия равна:

2y 2A 2B 2AB 2z .

В процессе дисперсионного анализа определяются общая, факториальная и остаточная дисперсии на основе анализа статистической совокупности.

где Х – варьирующий признак; k – численность выборки.

4.Определение удельного веса (доли) каждой дисперсии от общего значения.

5.Корректировка дисперсий на число степеней свободы:

6.Среднеквадратичные отклонения находятся как квадратные корни из корректированных дисперсий.

7.Вычисление коэффициентов Фишера.

87

8. Определение достоверности факториальных дисперсий путем сравнения с табличными значениями.

Корреляционный анализ – статистический метод анализа наличия или отсутствия взаимной связи между количественными или качественными факторами и откликом. Проводится наряду с определением оценок числовых характеристик системы случайных величин, оценки коэффициента корреляции и коэффициентов регрессии. Также определяют достоверность найденной оценки коэффициента корреляции, характер корреляционной зависимости (линейной или нелинейной) и т.д. Достоверность коэффициента корреляции проверяют по критерию Стьюдента.

Для определения меры зависимости между двумя величинами (фактором и результатом его воздействия) определяют коэффициент корреляции – парный коэффициент корреляции Пирсона, коэффициент линейной кор-

Значения его изменяются от «–1» до «1». Связь между признаками отсутствует при модуле значений – 0...0,15; слабая связь – 0,21...0,30;

средняя – 0,41...0,60; высокая – 0,61…0,80; очень высокая – 0,81...0,90;

полная связь – 0,91...1,0. Как правило, используют функцию, если значения коэффициента не менее 0,85.

Количественной мерой тесноты любой корреляционной зависимости является корреляционное отношение , изменяющейся от нуля до 1.

yx 1 (SB2 (SB2 SM2 )) ,

Гипотезу о характере корреляционной зависимости проверяют с помощью критерия:

88

При линейной корреляционной зависимости, имеющей F-распределе- ние со степенями свободы: k1=n-2 и k2=N-n. Если W21, то берут обратное значение 1/W2, но меняют местами степени свободы. Полученное значение сравнивают с F ,k1,k2. Если W2 F ,k1,k2 корреляционную зависимость считают линейной и наоборот.

При изучении системы случайных величин, включающей более чем две случайные величины, требуется определить связь между некоторой из этих величин и остальными. Количественной мерой этой связи является множе-

ственныйкоэффициенткорреляцииR. Например, длятрехфакторовn=3:

Достоверность оценки множественного коэффициента корреляции проверяют с помощью критерия, имеющего F-распределение со степенями свободы: k1=n-1 и k2=N-n:

где N – число строк в опыте;

n – числослучайныхвеличинвизучаемойсистемеслучайныхвеличин. Минимально допустимые значения выборочных коэффициентов

корреляции даны в приложении.

Квадрат множественного коэффициента корреляции называют множе-

ственной мерой определенности (коэффициент детерминации): он выра-

жает долю изменения зависимости от случайной величины (например, Х1), которая определяется изменением остальных случайных величин системы. Отсюда следует, что величина 1-R2 будет выражать часть изменения зависимой переменной от факторов, которые не участвуют (не учтены) в рассматриваемой системе случайных величин.

Толерантность – определяется как единица минус квадрат коэффициента множественной корреляции этой переменной со всеми остальными независимыми переменными уравнения регрессии. Чем меньше толерантность переменной, тем более избыточен ее вклад в уравнение регрессии при данных значениях других переменных. Если толерантность стремится к нулю (равна нулю), то оценивание уравнения регрессии невозможно из-за плохой обусловленности матрицы эксперимента.

Коэффициент ковариации – используется для вычисления среднего произведения отклонений точек данной выборки от ее относительных средних. Характеризует статистическую зависимость между коэффициентами регрессии и является мерой связи между двумя диапазонами данных:

(xi x ) ( yi y ))

89

Его используют при оценке параметров, так если подобранная модель сильно отличается от реальной, то ошибки для оценок параметров могут оказаться очень большими. Иногда сказывается коррелированность факторов. Поэтому большие ее значения говорят о том, что некоторые параметры модели излишни.

Существуют также статистика R Спирмена, используемая как аналог r Пирсона, но вычисленная по рангам (а не по исходным наблюдениям); статистика Кендала тау, представляющая собой вероятность того, что значения двух переменных располагаются в одном и том же порядке, но минус вероятность того, что порядок нарушен. Когда имеется много совпадающих значений, предпочтительна гамма статистика, – вероятность того, что ранговый порядок двух переменных совпадает, минус вероятность того, что не совпадает, деленная на выражение: 1 минус вероятность совпадений.

При проведении серий опытов необходимо выявление минимально необходимого количества точек (уровней значений фактора, при котором производится замер необходимого числа измерений), которые позволили бы построить предполагаемую функциональную зависимость. Если общеизвестно, что данную зависимость хорошо описывает прямая линия, то ее положение вполне определимо двумя точками, однако при этом должна обеспечиваться надлежащая надежность результатов в рассматриваемых точках. В ряде случаев подобное осуществляется при логарифмировании получаемых значений в опытных точках, при возведении в степень, при извлечении корня, при получении экспоненты, логарифмической кривой, или степенной функции (пример 7). При факторном эксперименте применяется двухуровневое планирование. Однако используются и планы, требующие дополнительных точек в центре, а иногда и за границами плана (трех- и пятиуровневые). Для построения однофакторной кривой общепринято использовать количество точек не менее семи (при изменении одного фактора и фиксированном положении остальных). Иногда применяют 4-5 точек, если известен вид зависимости, либо большее количество уровней в местах перегибов эмпирических кривых.

Выбор вида уравнения регрессии очень ответственная операция. Так используя опытные данные по влиянию высоты столба корма на давление, создаваемое на пол, был получен ряд функциональных моделей.

Очень высокий коэффициент имеет модель, описываемая полиномом третьего порядка, несколько хуже – полиномом второго порядка и экспоненциальной моделью. Для сравнения этих трёх моделей обратимся к графику (рис.2.14). Приведённые результаты говорят о том, что полиномиальные модели применимы только на экспериментально исследованном участке (Н50). При значительной высоте столба (Н300) давление, согласно указанным моделям, будет принимать отрицательное значение.

90