2074

значение – эксцентриситет детали, несоосность, биение, непараллельность осей и др. Частный случай гамма-распределения (распределение Эрланга) используется в теории массового обслуживания. При применении в исследованиях таблиц случайных чисел (например, при методе Монте-Карло) необходим закон равной вероятности. В теории надежности, массового обслуживания, при статистическом контроле качества используется распределение Пуассона, приближающееся к нормальному закону. Формы графиков и показатели некоторых законов приведены в приложении.

В ряде случаев полученные результаты описываются не одной, а целым рядом случайных величин, образующих в совокупности систему.

Рис. 2.9. Законы распределения случайных величин:

а – закон нормального распределения; б – закон равной вероятности; в – закон Симпсона или равнобедренного треугольника (при действии двух

доминирующих факторов); г – закон Максвелла (эксцентриситета)

Пример 5

Проверка экспериментальных данных на соответствие нормальному закону распределения (листинг программы для Mathcad)

71

Вектор, элементы которого задают сегменты построения гистограммы в порядке возрастания от минимума к максимуму: intj lower h j

Вектор частоты попадания данных в интервалы гистограмм – hist(int,x).

Задание границ сегментов разбиения столбцов гистограммы: int int h1

Выбираем двумерный график (рис.2.10) и для f задаем тип линии bar (гистограмма) и draw-dach (пунктир), а для dnorm – lines-solid (линия).

int

Рис. 2.10. Гистограмма и полигон распределения выборки опытных данных

Выборочная дисперсия и среднеквадратичное отклонение в другой нормировке:

* – следует осторожно относиться к написанию литер (особенно первых) в функциях!

72

Выбираем двумерный график (рис. 2.11) значений выборки опытных данных.

int

Рис. 2.11. Гистограмма значений выборки опытных данных, шт.

Уровень критерия проверки гипотезы (значимости ошибки): 0.05

Критическое значение 2 – критерия Пирсона, соответствующее уровню значимости ошибки 0.05 и числу степеней свободы N 1 47

Так как 2 больше критического значения, поэтому различия между сравниваемыми распределениями существенны, а отклонения носят неслучайный характер. Вероятность совпадения опытных данных с расчетными по нормальному закону:

73

Границы доверительного интервала (L,U), внутри которого лежит с доверительной

При соблюдении условия, что модуль выборочного значения t меньше Т гипотеза принимается (в данном случае экспериментальные значения соответствуют нормальному закону). В противном случае гипотезу следует отвергнуть.

t T 0

Поскольку условие оказалось ложным (равным не 1, а нулю), то гипотезу следует отвергнуть.

Второй вариант указанного условия:

Пример 6

Определение закона распределения данных ресурса машин (листинг программы для Mathcad)

Исходную информацию о ресурсе машины можно записать в текстовый файл (например, Resurs) в том же каталоге, где находится данный протокол расчета. Цифры набираются в столбец, через Enter. После этого вводится информация в протокол MathCad с помощью функции READPRN и определяется количество информации с помощью функции length. Предварительно следует переменной MyFile передать имя текстового файла с данными о ресурсах машин.

Построим статистический ряд, расположив информацию о ресурсе машины в порядке возрастания данных с помощью функции sort. Данные перезапишем в исходный файл. Присвоим каждому элементу вектора индекс j.

74

X sort(X) – вектор наработок на отказ исследуемого элемента автомобиля, км пробега (в порядке возрастания его элементов)

повторить заново.

Требуется добиться, чтобы значения расчетных критериев Ирвина были бы меньше критического.

75

Выбор теоретического закона распределения:

–По коэффициенту вариации принимается закон распределения ресурса машины: закон нормального распределения или закон распределения Вейбулла, когда коэффициент вариации находится в пределах 0.33–0.7.

–Закон распределения можно выбрать визуально на основании сравнения полигона распределения и дифференциальных функций исследуемых законов. Для этого строится укрупненный статистический ряд.

–количество интервалов в укрупненном статистическом ряду принимается по одной из формул:

–величина интервала, а также вектор начальных и конечных значений наработки для каждого интервала (конечное значение интервала является начальным значением следующего интервала)

–частота попаданий в каждый интервал (используя функцию - hist), а также вектор значений середин и концов интервалов составят:

– накопленные опытные вероятности, соответствующие наработке конца интервала:

Интегральная функция распределения F(t) показывает вероятность возникновения события (отказа в нашем случае) в интервале от 0 до заданного значения наработки

Ft mSo

Дифференциальная функция f(t) (плотность распределения) характеризует вероятность возникновения события в заданном интервале наработки

m ft N

76

Xci Xci Xki

Рис.2.12. Опытные кривые распределения ресурса машины

Перед расчетом дифференциальной функции закона Вейбулла определяются параметры данного закона:

– параметр формы закона Вейбулла b (формулы получены путем аппроксимации табличных данных):

– масштабный параметр a раcсчитывают, предварительно определив коэффициент Kb:

77

Дифференциальная функция закона распределения Вейбулла:

Выбираемдвумерныйграфик(рис. 2.13) длязаконовраспределения: нормальногоиВейбулла.

Xci

Рис.2.13. Полигон распределения и дифференциальные функции теоретических законов распределения: нормального и Вейбулла

Для более точного выбора закона распределения используется критерий Пирсона 2:

78

Задача обработки данных – выделение из них полезной информации

ипредставление ее в виде, удобном для анализа, теоретических обобщений

ипринятия решений.

При обработке данных вначале упорядочивают численные значения по возрастанию (составляют вариационный ряд), находят его размах (разность между максимальным и минимальным значением), проверяются полнота и пригодность информации:

1. Для определения статистических характеристик сгруппированных данных определяют число классов К по объему выборки n (табл.2.2).

Таблица 2 . 2 Влияние объема выборки на количество классов

2. Находят межклассовый интервал: i=(Ymax – Ymin)/K,

где Ymax, Ymin – максимальное и минимальное значение выборки. Нижняя граница первого классового интервала:

lн=Ymin – 0,5.i.

Верхняя граница первого классового интервала: lв= lн + I.

3. Рассчитывают границы других классовых интервалов и распределяют значения выборки по классам.

Среднюю арифметическую из цифровых значений выборки (либо

среднее или оценка среднего):

Y1 k Yi . k i 1

где Yi – значения вариант (замеров);

k – число вариант, составляющих данную совокупность.

Для данных, сгруппированных с учетом повторяемости или веса отдельных вариант, средняя арифметическая составит:

Y1 k Yi fi . k i 1

Мода – наиболее часто встречающееся значение выборки.

Медиана – срединное наблюдение в выборке, она делит выборку пополам. При нечетном количестве наблюдений k медиана равна значению (k-1)/2, при четном – полусумма двух срединных значений с номерами (k/2)

80