2074

121

Критическое (табличное) значение критерия Кохрена: Gkp 0.4800

Gkp можно рассчитать по эмпирической формуле для 5 %-го уровня значимости с достоверностью 98 %:

G Gkp 1

Поскольку условие оказалось не ложным (равным 1, а не нулю), то гипотезу следует принять (не отвергнуть), то есть мы должны сделать вывод об однородности дисперсий и, следовательно, о достаточной достоверности (воспроизводимости) эксперимента.

Дисперсия воспроизводимости (ошибки) эксперимента:

S2i

Коэффициенты уравнения линейной регрессии (математической модели изучаемого процесса):

Значения t-критерия Стьюдента для полученных коэффициентов регрессии:

Незначимые коэффициенты, у которых значения t-критериев меньше критического значения, приравниваем нулю. Значимые коэффициенты уравнения регрессии обозначим другой переменной с помощью функции условия – if.

Расчетные значения по уравнению регрессии: Ypi bb j Xxi j j

122

Визуальным анализом сверяем соответствие расчетных и опытных значений. Значимость парного взаимодействия говорит о необходимости исследования процесса уравнением более высокого порядка.

Число значимых коэффициентов уравнения регрессии: d 5 Остаточная сумма квадратов (финальный остаток):

Поскольку условие оказалось не ложным (равным 1, а не 0), то гипотезу следует принять (не отвергнуть), то есть мы должны сделать вывод о равноточности или равнорассеянности дисперсий (различия представленных выборок незначимы), следовательно, полученная модель адекватно описывает результаты опытов.

Скорректированные средние квадратичные отклонения результатов:

i

123

Поскольку условие оказалось ложным (равным 0, а не 1), то мы должны сделать вывод о существенности различий в представленных выборках, то есть вычисленное значение коэффициента корреляции достоверно.

Проверка модели на линейность

Значение отклика в центре эксперимента (дополнительные замеры):

tpac Tr 0

Поскольку условие оказалось ложным (равным 0, а не 1), то мы должны сделать вывод о существенности различий, то есть подтверждается неадекватность линейной модели по второму критерию с 95 %-й вероятностью.

Значит, обобщая сделанные выводы, для описания данной поверхности следует использовать уравнение более высокого порядка. Для этого строится либо новый план эксперимента, либо используется существующий, но добавляются недостающие точки плана.

Движение по градиенту – метод крутого восхождения по поверхности отклика (метод Бокса–Уилсона). Движение осуществляется «шагами», последовательно (рис.2.23).

124

Рис. 2.23. Отыскание оптимума или почти стационарной области:

а – движением по градиенту (крутым восхождением по поверхности отклика); б – однофакторными сериями эксперимента

Когда неизвестна поверхность отклика, то движение начинается от произвольной, или выбранной априори, точки. Движение производится по нормали к линиям равного выхода, т.е. в направлении градиента по наиболее кратчайшему и крутому пути. При достижении наивысшего (либо наинизшего) значения на выбранном направлении, делается уточнение нового направления пошагового движения (табл. 2.7). Шаги обычно округляются.

Таблица 2 . 7

Матрица крутого восхождения

После выбора центра эксперимента и назначения интервалов варьирования для каждого фактора ставится ПФЭ или дробные отклики от него (что предпочтительнее). Однако желательно использовать насыщенный план – минимальное соотношение между числом определяемых эффектов

125

и числом степеней свободы. Для трехфакторного эксперимента насыщенный план имеет 4 строки, для четырехфакторного – 5 строк. При этом количество опытов минимально, а парные взаимодействия включаются в линейное уравнение регрессии. Для полученного выражения проводится проверка на адекватность линейной модели и значимость коэффициентов регрессии. Если окажется, что линейная модель поверхности отклика неадекватна, то после обработки результатов первого шага начинается крутое восхождение по поверхности отклика. При наличии сильно выделяющегося линейного эффекта одного фактора суживают его интервал варьирования либо увеличивают остальные. Крутое восхождение наиболее эффективно, когда все коэффициенты при факторах значимы. Если, кроме bо, все коэффициенты незначимы, то это говорит либо о слишком узких интервалах варьирования факторов, либо о недостаточной точности эксперимента.

Если поверхность отклика локально была описана линейным уравнением, то частные производные будут равны коэффициентам регрессии. Поэтому, изменяя факторы пропорционально величинам и знакам коэффициентов регрессии, можно осуществить движение в направлении градиента функции отклика, т.е. по самому крутому пути. Если полученная в сериях опытов модель адекватна, то при движении по градиенту за область эксперимента сразу выходят хотя бы по одному фактору. При неадекватной модели вначале один-два опыта ставят в области эксперимента.

В табл.2.7 первые четыре строки заполняются значениями фактора от предыдущего уровня (первого шага). Крутое восхождение начинается со строки 9. Для этого ставится опыт и записывается результат. Вновь прибавляется шаг и реализуется опыт. Так производится до тех пор, пока не произойдет тенденция изменения (роста либо убывания) отклика Y. Взяв в вилку точку местного экстремума, проводят новое крутое восхождение до вползания на «почти стационарную» область. На этом эксперимент может закончиться, а иногда начинается новый этап – описание поверхности отклика уравнением второго порядка.

Экономичным по числу опытов является последовательный поиск: одновременно проводят два-три опыта, оценивают их результаты и принимают решение о дальнейших опытах. В случае отсутствия улучшения результата движение по градиенту прекращают. При достижении почти стационарной области эксперимент либо заканчивают, либо линейный план достраивают до плана 2-го порядка для более тщательного изучения области оптимума. Важно убедиться, что наблюдалось вначале улучшение результата, а затем его ухудшение.

126

Пример 11

Поиск «почти» стационарной зоны методом движения по градиенту (листинг программы для Mathcad)

Шаг, для Х2 (выбранного) фактора: 2 1

127

При поиске максимума в выражении – знак «–», при поиске минимума – знак «+».

Значение отклика: y9 66.05

Произошло возрастание (смена тенденций) значений отклика (критерия оптимизации), то есть пересекли впадину (либо гребень) значений.

Выбираем направление нового движения по градиенту. Для этого используем значения трех последних опытов и ставим три дополнительных точки.

128

Произошло возрастание (смена тенденций) значений отклика (критерия оптимизации), то есть мы пересекли впадину (либо гребень) значений либо определили вершину минимума (либо максимума) значений.

В результате движения по градиенту снизили величину отклика (параметра оптимизации) в два раза и определили ориентировочные границы почти стационарной зоны:

Х1=675..705; Х2=27,5..28,5; Х3=12,55..12,65. Зная границы данной зоны, уже можно реализовать план оптимизации. Общее количество точек замеров составило 17 шт. При использовании данного метода следует иметь предварительный опыт аналогичного моделирования, так как неправильно выбранный шаг изменения параметров может увести исследователя мимо почти стационарной зоны. Это увеличит количество точек, а следовательно, и трудоемкость эксперимента.

129

Приведенное моделирование осуществлялось, используя ранее полученное уравнение регрессии, поэтому тенденции значений в последних опытах достаточно устойчивые. Учитывая вариабельность данных в конкретных опытах, выявить достаточно точно зону оптимума будет значительно сложнее.

Программа получения навыков движения по градиенту Экспериментальные кодированные значения факторов:

Уравнение регрессии:

Y1 a0 a1 X1 a2 X2 a3 X3 a11 (X1)2 a22 (X2)2 a33 X32

Изменяя кодированное значение факторов, добиваются соответствия натуральных значений величине параметров в рассматриваемом шаге движения по градиенту. Величина Y покажет значение отклика (параметра оптимизации).

Описание «почти» стационарной области. После нахождения распо-

ложения участка (зоны), где значения показателя оптимизации существенно не изменяются, производится уточнение поверхности отклика с помощью уравнения второго порядка, а если потребуется, то и более высокого порядка. В результате определяются координаты оптимума (если он существует) и изучаются свойства поверхности отклика в окрестностях оптимума. Найденное значение оптимума подлежит обязательной экспериментальной проверке (рис. 2.24).

Аналогичные проблемы возникают при описании многих технологических процессов, в том числе при очистке поверхностей. Как правило, в последнем случае имеем дело с гиперболами (с увеличением воздействий на поверхность качество очистки растет, а загрязненность, кг/м2, снижается, но никогда не достигнет нуля и не может увеличиться, так как новому загрязнению неоткуда взяться), полиноминальные зависимости, имеющие в своей основе параболы (вторая ветвь когда-то тоже должна подниматься) неприменимы. Отыскание экстремума здесь в принципе невозможно.

130