2044

BUILDING STRUCTURES, BUILDINGS AND CONSTRUCTIONS

а

б

в

г

Рис. 1. Заданная стержневая система:

а– расчётная схема рамы; б – дискретная модель рамы; в – граф модели;

г– обозначение перемещений в глобальной и локальной системах координат

СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ЗДАНИЯ И СООРУЖЕНИЯ

– матрица поворота узловых перемещений для первого конечного элемента; для четвёртого и шестого – 4 6 1 Т ; для горизонтальных она является единичной, позволяет установить зависимость между локальными и глобальными перемещениями узлов Z 24 24 14 14 . Развёрнутая матрица инцидентности S

графа стержневой системы может быть получена на основе матрицы инцидентности S путём её расширения [1-3]:

Зависимость приращений перемещений от перемещений в глобальной системе

перемещений, как линейных (перекосов), так и угловых, соответственно. Матрица

преобразования 12 14 , которая находится по формуле 12 14 S 12 24 24 14 , далее

корректируется путём вычёркивания в ней нечётных строк. Тем самым при определении конфигурации рамы исключается влияние продольных деформаций элементов. После удаления строк приходят к матрице

СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ЗДАНИЯ И СООРУЖЕНИЯ

столбца матрицы Н ). Дополнив её третьим столбцом, соответствующим вращению среднего узла на угол 3 1, формируют геометрическую матрицу:

с помощью которой находят сосредоточенные деформации изгиба в узлах стержневой

Рис. 2. Схема деформаций стержневой системы:

а – от линейных перемещений узлов; б – при повороте среднего узла на угол 3

Выводы

1.Представлена методика построения конфигурации механической модели стержневой системы, полученной на основе геометрической матрицы, сформированной в автоматическом режиме.

2.Полученная матрица позволяет определять НДС стержневых систем при расчетах на прочность, устойчивость [4-5] и т.д.

Список литературы

1.Монахов, В.А. Алгоритм расчёта рамы на устойчивость на основе дискретной модели расщеплённого стержня / В.А. Монахов, Р. Саакян, А. Урин // Региональная архитектура и строительство. – 2017. – №2.

2.Монахов, В.А. Расчет стержневых систем с использованием теории графов в среде «Matlab» / В.А. Монахов, М.Б. Зайцев // Моделирование и механика кон-

струкций. – 2016. – №3. – Систем. требования: Adobe Acrobat Reader. – URL: http://mechanics.pguas.ru/Plone/nomera-zhurnala/no3/stroitelnaya-mehanika/3.13/at_download/file.

BUILDING STRUCTURES, BUILDINGS AND CONSTRUCTIONS

3.Монахов, В.А. Приложение принципа двойственности к формированию матрицы равновесия стержневой системы / В.А. Монахов, В.В. Зернов, О.Ф. Тульчинская // Материалы Международной научно-технической конференции. – Пенза: ПГУАС, 2014. – С. 124–133.

4.Зернов, В.В. Определение критической нагрузки для стропильных ферм в упругой и упругопластической стадиях работы / В.В. Зернов, М.Б. Зайцев, Н.Н. Ласьков // Региональная архитектура и строительство. – 2014. – № 4. – С. 85–89.

5.Зернов, В.В. Анализ устойчивости стержневых систем в упруго-пластической стадии работы / В.В. Зернов, М.Б. Зайцев, Ю.В. Анурьева // Моделирование и механика конструкций. – 2017. – №6. – Систем. требования: Adobe Acrobat Reader. – URL: http://mechanicspguas.ru/Plone/nomera-zhurnala/no6/stroitelnaya-mehanika/6.4/ at_download/file

References

1.Monakhov, V.A. Algorithm for calculating the frame for stability based on a discrete model of a split rod / V.A. Monakhov, R. Sahakian, A. Urin // Regional architecture and construction. – 2017. – №2.

2.Monakhov, V.A. Calculation of rod systems using graph theory in the Matlab environment / V.A. Monakhov, M.B. Zaitsev // Modeling and mechanics of structures. – 2016. – No. 3. – Systems. requirements: Adobe Acrobat Reader. – URL: http://mechanics.pguas.ru/Plone/nomera-zhurnala/no3/stroitelnaya-mehanika/3.13/at_download/file.

3.Monakhov, V.A. Application of the duality principle to the formation of the equilibrium matrix of the rod system / V.A. Monakhov, V.V. Zernov, O.F. Tulchinskaya // Materials of the International scientific and technical conference. – Penza: PGUAS, 2014. – P. 124–133.

4.Zernov, V.V. Determining the critical load for trusses in elastic and elastic-plastic stages of work / V.V. Zernov, M.B. Zaitsev, N.N. Laskov // Regional architecture and construction. – 2014. – No. 4. – P. 85–89.

5.Zernov, V.V. Analysis of stability of rod systems in the elastic-plastic stage of work / V.V. Zernov, M.B. Zaitsev, Yu.V. Anurieva // Modeling and mechanics of structures. – 2017. – No. 6. – Systems. requirements: Adobe Acrobat Reader. – URL: http://mechanicspguas.ru/Plone/nomera-zhurnala/no6/stroitelnaya-mehanika/6.4/at_download/file

СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ЗДАНИЯ И СООРУЖЕНИЯ

УДК 624.044.2

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В ПОЛУПЛОСКОСТИ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ НОРМАЛЬНЫХ

И КАСАТЕЛЬНЫХ НАГРУЗОК

С.В. Бакушев, Г.С. Шацкая

Рассматриваются вопросы определения перемещений в упругой полуплоскости, на дневной поверхности которой действуют сосредоточенные и распределённые нормальные и касательные нагрузки. Для определения перемещений предлагается численно-аналитический метод, в соответствии с которым нормальные и касательные напряжения, а также линейные и угловые деформации в полуплоскости определяются по известным аналитическим формулам, а перемещения – методом конечных разностей. Для этого расчётная область, на внутренних границах которой перемещения принимаются равными нулю, покрывается сеткой. Перемещения в узлах расчётной сетки определяются на основании геометрических уравнений Коши и известных в узлах сетки деформаций. В результате расчёта вертикальные и горизонтальные перемещения определяются в узлах расчётной сетки, отстоящих от левой, правой и нижней границ расчётной области на два шага. Для оценки точности определения перемещений выполняется сравнение углов сдвига в узлах сетки, вычисленных методом конечных разностей и полученных аналитически. Рассмотрен числовой пример.

Ключевые слова: упругая полуплоскость, нормальные и касательные нагрузки, горизонтальные и вертикальные перемещения, метод конечных разностей

NUMERICAL-ANALYTICAL DETERMINATION

OF DISPLACEMENTS IN SEMI-PLANE UNDER THE ACTION

OF NORMAL AND TANGENTIAL LOADS

S.V. Bakushev, G.S. Shatskaya

The authors consider the issues of determination of movements in elastic half-plane on original ground of which concentrated and distributed normal and tangent loads act. In order to determine the displacements, a numerical-analytical method is proposed, according to which normal and shear stresses, as well as linear and angular deformations in half-plane are determined by known analytical formulae, and displacements are determined by the method of finite differences. For this computational domain, at internal boundaries of which movements are assumed equal to zero, is covered with a grid. The movements in the computational grid nodes are determined on the geometric Cauchy equations and the deformations known in the mesh nodes. As a result of the calculation, vertical and horizontal movements are determined in the nodes of computational grid spaced from the left, right and lower boundaries of the computational domain by two steps. To estimate the accuracy

BUILDING STRUCTURES, BUILDINGS AND CONSTRUCTIONS

of motion calculation, shear angles are compared in mesh nodes calculated by finite difference method and got analytically. A numerical example is reviewed.

Keywords: elastic half-plane, normal and tangent loads, horizontal and vertical movements, the finite difference method

Введение. Напряжённо-деформированное состояние тонкой упругой полуплоскости, на дневной поверхности которой действуют нормальные либо касательные сосредоточенные силы или нормальные либо касательные равномерно распределённые нагрузки, определяется по известным аналитическим формулам [1]. Используя принцип суперпозиции, нетрудно найти напряжения и деформации в упругой полуплоскости от произвольной совокупности нормальных и касательных сосредоточенных сил и нагрузок, действующих на её дневной поверхности. Определение же перемещений внутри полуплоскости либо прогибов её дневной поверхности является задачей нетривиальной даже в случае, когда на её поверхности действуют только нормальные либо только касательные сосредоточенные силы или только нормальные либо только касательные равномерно распределённые нагрузки. Задача определения перемещений существенно усложняется, если на дневной поверхности упругой полуплоскости действует произвольная совокупность нормальных и касательных сосредоточенных сил и нагрузок. Кроме того, при аналитическом определении перемещений в упругой полуплоскости отсутствует принципиальная возможность определения абсолютных значений перемещений [2].

В последние годы решению данной задачи посвящены многие научные работы. Так, в работе [3] рассмотрен расчёт напряжённо-деформированного состояния упругой полуплоскости в терминах функции перемещений. Получен аналог бигармонического уравнения для функции перемещений, через которую выражены как вертикальное и горизонтальное перемещения упругой полуплоскости, так и нормальные и касательные напряжения. Представляя функцию перемещений в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от одной пространственной координаты (функция распределения), а другая только от другой пространственной координаты (функция прогибов), решение бигармонического уравнения сводим к интегрированию трёх (с учётом уравнений переходных процессов) обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В статье [4] представлены полученные методом комплексных потенциалов аналитические решения задач об определении полей напряжений, деформаций и перемещений в упругой однородной и изотропной полуплоскости, находящейся под действием нормальной нагрузки, распределённой по полосе. Рассмотрены случаи равномерно распределённой нагрузки и нагрузки, изменяющейся по закону треугольника. В работах [5–7] приводятся аналитические решения задачи об определении напряжённо-деформированного состояния грунтового массива, находящегося в условиях двумерной задачи, для различных форм перемещений участка границы полуплоскости: равномерного, линейного, квадратичного и асимптотически затухающего на бесконечности. Решение получено на основе применения методов теории функций комплексного переменного. В работе [8] получены комплексные потенциалы Колосова – Мусхелишвили для сил и краевых дислокаций, распределённых по отрезкам прямых, параллельных границе однородной изотропной упругой полуплоскости. Искомые функции построены на основе обобщённого решения М.А. Грекова для одиночных сил и краевых дислокаций в неограниченной плоскости. Данные выражения полностью определяют напряжённодеформированное состояние упругой полуплоскости при действии указанных особенностей. В статьях [9, 10] рассматривается применение метода конечных элементов (МКЭ) при исследовании воздействия равномерно распределённых нормальных и касательных усилий на упругую полуплоскость с целью исследования влияния характера и вида конечно-элементной сетки на точность решения.

Данная работа посвящена определению перемещений в тонкой бесконечно протяжённой вниз и в стороны полуплоскости, по верхней свободной границе которой (дневной поверхности) действуют нормальные и касательные нагрузки.

СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ЗДАНИЯ И СООРУЖЕНИЯ

Основные расчётные соотношения. Напряжённое состояние тонкой, бесконечно протяжённой в направлениях x 0 и y полуплоскости при воздействии на

её дневной грани сосредоточенных и распределённых нагрузок определяется по известным формулам [1]. В частности, если действует сосредоточенная сила перпендикулярно к дневной поверхности x 0 (рис. 1), то напряжения определяются по формулам:

Если на полуплоскость на ограниченном участке yн y yк действует равномер-

но распределённая нагрузка перпендикулярно к дневной поверхности x 0 (рис. 3), то для напряжений имеют место формулы:

Если равномерно распределённая нагрузки действует на ограниченном участке

BUILDING STRUCTURES, BUILDINGS AND CONSTRUCTIONS

Для определения деформаций можно воспользоваться обобщённым законом Гука: