Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2286

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2024

Размер:

6.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Задачи для самостоятельного решения

Рассчитать раму (рис. 8.12) методом перемещений в матричной форме.

Рис. 8.12. Задачи для самостоятельного решения

9.МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

9.1.Расчет фермы методом конечных элементов

Пример №1.

Выполнить расчет фермы (рис. 9.1) методом конечных элементов (МКЭ).

Рис. 9.1. Расчетная схема фермы

Пронумеруем последовательно узлы, стержни и узловые перемещения фермы (рис. 9.2, а). Узловые силы индексируем в соответствии с номерами перемещений (рис. 9.2, б).

Рис. 9.2. Схема узловых перемещений и узловых сил

Уравнение МКЭ имеет вид: P K U . Для заданной фермы вектор перемещений

U u1 u2		u3	u4	u5	u6	u7		u8 T ;
вектор узловых нагрузок
P P1 P2		P3	P4	P5	P6	P7	P8 T
R1	R2 100	0	100	0	R6 100			0 0 T ;

матрица жесткости каждого стержня составляется по формуле

			cc	cs	cc	cs
			sc	ss	sc	ss
k	EF		sc	ss	sc	ss	,
	l	cc		cs	cc	cs
				ss	sc	ss
		sc		ss	sc	ss

где с и s – соответственно косинус и синус угла наклона стержня к горизонтальной оси.

Для заданной фермы: стержень I: α=0°, с=1, s=0; стержень II: α=0°, с=1, s=0; стержень III: α=90°, с=0, s=1; стержень IV: α=45°, с=0,7071, s=0,7071;

стержень V: α=135°, с=-0,7071, s=0,7071. Примем																	EFi / li		2 ,		тогда ма-
трицы жесткости отдельных элементов:
			2		3	4					3	4	5	6						3	4	7	8
		1	2		3	4					3	4	5	6						3	4	7	8

	1	2 0 -2				0			3	2 0 -2				0					3	0 0 0 0
kI=	2	0	0		0	0		kII=	4		0	0	0	0			kIII=		4	0	2	0	-2
kI=	3	-2 0 2 0							5		-2 0 2 0								7	0 0 0 0
	3	-2 0 2 0							5		-2 0 2 0								7	0 0 0 0
	4	0 0 0 0							6	0 0 0				0					8	0 -2 0 2
						1	2	7	8							5	6	7	8
						1	2	7	8							5	6	7	8

					1	1	1 -1 -1							5	1 -1 -1 1
			kIV=		2	1 1 -1 -1							kV= 6		-1 1 1 -1
			kIV=		7	-1 -1 1			1					7	-1 1 1 -1
					7	-1 -1 1			1					7	-1 1 1 -1
					8	-1 -1 1			1					8	1 -1 -1 1
Матрица жесткости фермы представляет собой сумму матриц жестко-
стей её элементов:							1	2	3		4		5	6			7	8
							1	2	3		4		5	6			7	8
						1	3	1	-2 0				0	0		-1 -1
						2	1	1	0		0		0	0		-1 -1
						3	-2 0		4		0		-2 0				0	0
				K= 4			0	0	0		2		0	0			0 -2
						5	0	0	-2 0				3	-1 -1 1
						6	0	0	0		0		-1 1				1 -1
						7	-1 -1 0				0		-1 1				2	0
						8	-1 -1		0		-2		1	-1			0	4

Уравнения равновесия можно записать в развернутом виде:

Р1 3и1 1и2 2и3 0и4 0и5 0и6 1и7 1и8Р3 1и1 1и2 0и3 0и4 0и5 0и6 1и7 1u8

Р3 2и1 0и2 4и3 0и4 2и5 0и6 0и7 0и8Р4 0и1 0и2 0и3 2и4 0и5 0и6 0и7 2и8Р5 0и1 0и2 2u3 0и4 3и5 1и6 1и7 1и8

Р6 0и1 0и2 0и3 0и4 1и5 1и6 1и7 1и8Р7 1и1 1и2 0и3 0и4 1и5 1и6 2и7 0и8Р8 1и1 1и2 0и3 2и4 1и5 1и6 0и7 4и8

Для вычисления перемещений u3, u4, u7, u8 систему уравнений пере-

пишем в виде:	Р	2и	4и		2и			0
	Р	2и	4и		2и			0
	3	1		3		5
	Р4 2и4 2и8 100
	Р	1и	1и	2	1и		1и		6	2и		7	0
	7	1		2	5				6			7
Р 1и 1и				2	2и	4		1и 1и				6	4и 0
	8	1		2		4			5			6	8
Из условий закрепления здесь u1=u2=u6=0, по условию задачи u5=1.
	4и 2		0						и		0,5
		3							3
	2и4 2и8 100							→ и7			0,5
	1 2и7 0								и8 50,5
											100,5
	2и4 1 4и8 0								и4		100,5

9.2. Преобразование координат. Расчет рамы методом конечных элементов

Для некоторых конечных элементов матрицы жесткости выводятся в местной системе координат, оси которой ориентированы отлично от общей системы. Поэтому при формировании общей матрицы жесткости, общего вектора перемещений и общего вектора узловых сил необходимо сделать переход от местной к общей системе координат. Матрица преобразования координат:

c		s	0	0	0	0
	s	c	0	0	0
						0
	0	0	1	0	0		,
T						0
	0	0	0	c	s	0
	0	0	0	s	c	0
	0	0	0	0	0
						1

где с и s – соответственно косинус и синус угла наклона между локальной и глобальной системами координат.

Преобразования имеют вид:

K TT K T ;

Ui TiTUi ;

Pi TiT Pi .

Пример №1.

Рассчитать раму (рис. 9.3) методом конечных элементов.

Рис. 9.3. Расчетная схема рамы

Рис. 9.4. Схема узловых перемещений и узловых нагрузок

Вектор угловых перемещений 1-го элемента:

U	1	u v φ u			2	v	φ	2	T .
	1	1	1	1	2	2		2

Матрица жесткости кинематического 1-го элемента:

		EF				0				0		EF			0
			l			0				0		l			0
			1			12EI			6EI			1		12EI
						12EI			6EI					12EI
			0				l 3			l 2		0			l 3
						1			1						1
									4EI			0			6EI
	k									l 3		0			l 2
	k								1		EF				1
	1										EF				0
												l1			0
												l1
					симметрично									12EI
					симметрично										l 3
															l 3
															1



Учитывая, что l					l /		2	l 2 ,		F	12 получим
Учитывая, что l					l /			l 2 ,			12 получим
			1			2				I
						2				I
	6 2l2				0	0					6 2l2				0
				3 2				3l				0		3		2
				3 2				3l				0		3		2
								2 2l2				0			3l
k								2 2l2				0	2		3l
1									6			2l	2		0
									6			2l			0

							симметрично							3		2

	0
	0
6EI
6EI
	l 2
	1
2EI
	l
	1	.
	0
	0

	6EI
	l 2
	1
4EI
	l1
	l1

2l2 E3I ; 0 l

2 2l2

		2	0	0		12l	2	0
	12l		0	0		12l		0
			12	6l		0		12
k2 k2				4l	2	0		6l
				4l		0		6l
						12l2		0
						12l2		0
			симметрично					12
			симметрично					12

2l2 E3I .

0 l6l

4l2

Матрица преобразования координат 1-го стержня имеет вид:

																			2						2			0		0						0

																	2							2
				с s 0 0 0							0						2							2
				с s 0 0 0							0									2					2			0		0						0
					s с 0 0 0
																			2					2
											0								2					2						0						0
	T					0 0 1 0 0					0						0							0 1						0						0
	T					0 0 0 с s																								2						2
						0 0 0 с s					0						0							0 0						2						2
						0 0 0 s с					0						0							0 0						2						2
						0 0 0 s с					0																			2						2
						0 0 0 0 0																									2					2
						0 0 0 0 0					1						0							0 0							2					2
																	0							0 0						2						2
																														2						2
																	0							0				0		0						0
																	0							0				0		0						0
	Тогда:
												k T					T
												k T							k T
													1							1
			2			1	3 2		2	1		3 2				l	3 2						2				1						2			1
	3 2	l					3 2	l				2				l	3 2				l						2		3 2 l
						2				2		2															2									2
									2	1		3											2				1						2			1
									2	1		3											2				1						2			1
							3 2	l						l			3 2				l								3 2 l
							3 2	l				2		l			3 2				l						2		3 2 l
										2		2															2									2
																				3 2											3 2
k1											2 2l				2					3 2					l						3 2			l
k1											2 2l										2				l						2			l
																										1									1
							симметрично															2				1			3 2			2			1
							симметрично											3 2 l								2			3 2		l				2
																										2									2
																																			1
																													3 2			2			1
																													3 2		l				2
																																			2

0 .

	3 2
	2		l
	2
3 2 l
3 2 l
	2

	2l2			EI	.
					.
3 2				l3
3 2		l
	2	l
	2
	3 2
	3 2
	2		l
		2
2 2l		2
2 2l

Поскольку локальная система координат 2-го элемента совпадает с глобальной системой, то матрицу жесткости 2-го элемента не следует

трансформировать ( k2 k2 ).

Матрица жесткости К образуется внесением на соответствующие позиции элементов матриц k1 и k2, их суммированием, когда на той же позиции появятся элементы обеих матриц:

		2	1	3 2		2	1		3 2		l	3 2				2			1		3 2				2				1			3 2				l	0
3 2	l		2	3 2	l		2		2		l	3 2		l					2		3 2		l									2				l	0
			2				2		2										2										2			2
						2	1	3 2								2			1						2				1		3 2
				3 2		2	1	3 2		l		3 2				2			1		3 2				2				1		3 2			l			0
				3 2	l		2		2	l		3 2		l					2		3 2		l									2		l			0
							2		2										2										2			2
								2 2l					3 2									3 2										2 l
										2			3 2				l					3 2					l								2		0
														2			l						2				l										0
														2									2
															1													1			3 2
K													2		1			12l		2	3 2			2				1			3 2			l			12l	2
K												3 2 l			2			12l			3 2	l										2		l			12l
															2													2				2

								симметрично														2				1			12		3 2		l	6l			0
								симметрично													3 2 l								12		2		l	6l			0
																										2					2
																														2 2l2 4l2							0
																																					12l2
																																					12l2

0 EIl3 .

2l2

6l 4l2

Подобным же образом получается вектор узловых сил системы:

		0		R
					11			0
		0 R12						0
		0 R13						0
		0 R13						0
				0				0
				0				0
								0
		1
		1
		2		ql P			1,5
		2					1,5
P				1				1
P				1	ql	2		1	l	ql R .

								12
			12
			12
		0 R31						0
		0 R31						0
		1 ql					0,5
							0,5
								1
				2				1
	1						10
	1	ql2				R	10
		ql2				R
12						33

Принимая l=4 м и разделяя систему уравнений KU P согласно неизвестным, а так же известным величинам в векторе параметров перемещений, получаем следующую систему уравнений:

	262,004		65, 761	8, 485	0		\|	70, 004			65, 761		8,845	192	0	U2
		65, 761	82, 004	15,515	12		\|	65, 761			70, 004		8, 485	0	24	V
		8, 485	15,515	109, 255	24		\|	8, 485				8, 485	22, 627	0	32		2
		8, 485	15,515	109, 255	24		\|	8, 485				8, 485	22, 627	0	32		2
		0	12	24	12		\|		0			0	0	0	24	V
																	3
EI							\|
l3			65,761	8, 485	0		\|	70, 004			65, 761		8, 485	0	0
l3	70, 004		65,761	8, 485	0		\|	70, 004			65, 761		8, 485	0	0	U1
		65, 761	70, 004	8, 485	0		\|	65, 761			70, 004		8, 485	0	0	V
		8, 485	8, 485	22,627	0		\|	8, 485				8, 485	45, 255	0	0		1
		8, 485	8, 485	22,627	0		\|	8, 485				8, 485	45, 255	0	0		1
		192	0	0	0		\|		0			0	0	192	0	U		3
		0	24	32	24		\|		0			0	0	0	64			3
		0	24	32	24		\|		0			0	0	0	64
																	3
							0			0
							1,5				0
							1,5				0
						0,33					0
							0,5				0
							0,5				0

									ql	.
							0			R11
							0			R
											11
							0			R13
							0			R
							0,33				31
							0,33			R
											33

Решая систему из четырех линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными:

	262,004	65,761	8,485	0	U2		0

EI	65,761	82,004	15,515	12 V2			1,5	ql ,
l3	8,485	15,515	109,255	24 2		0,333
	0	12	24	12			0,5
	0	12	24	12	V3		0,5

получаем значения неизвестных параметров перемещений в узлах системы:

U2		0,0118

V2	0,0432 ql4 .
2	0,0294		EI
		0,1436
V3		0,1436

Затем определяем реакции опор:

R11	70,004		65,761	8,485			0		0,0118			0
R		65,761	70,004	8,485			0		0,0118			0
12		8,485	8,485	22,627			0	0,0432				0	,
R		8,485	8,485	22,627			0			ql		0	,
13		192	0	0			0	0,0294				0
R31		192	0	0			0		0,1436			0
R		0	24	32		24			0,1436		0,333
33
соответственно			R11		2,264
			R11		2,264
			R		2,000
			12
			R13	0,198l ql.
			R		2,265
			31
			R		1,136l
			33

Задачи для самостоятельного решения

Рассчитать конструкцию (рис. 9.5) методом конечных элементов. Исходные данные для схемы а): P = 10000 Н; ЕА = 4·108 Н; = 0,1 м. Исходные данные для схемы б): P = 5000 Н; q = 2000 Н/м; ЕI = 2·105 Н·м2.

Рис. 9.5. Задачи для самостоятельного решения

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.06.20246.35 Mб02281.pdf
#
16.06.20246.37 Mб02282.pdf
#
16.06.20246.39 Mб02283.pdf
#
16.06.20246.4 Mб02284.pdf
#
16.06.20246.41 Mб02285.pdf
#
16.06.20246.42 Mб02286.pdf
#
16.06.20246.42 Mб02287.pdf
#
16.06.20246.45 Mб02288.pdf
#
16.06.20246.45 Mб02289.pdf
#
17.06.2024241.76 Кб0229.pdf
#
17.06.20246.45 Mб02290.pdf