2257

СТРОИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И ИЗДЕЛИЯ

которые не наложено никаких ограничений, то есть к задаче на безусловный экстремум.

Если ограничения имеют сложный вид, то исключение с их помощью m переменных из функции q x представляет значительные трудности. В связи с этим

задачи на условный экстремум и сводятся к задаче на безусловный экстремум с использованием функции Лагранжа.

В рассматриваемом случае система (13) содержит n + m уравнений с 2(n + m) переменными xj , i , pj , qi , из которых n + m являются свободными и могут быть

приравнены к нулю. Остальные переменные образуют при этом базисное решение, которое является допустимым, если выполняются условия (14).

Если число переменных в задаче невелико, то можно попытаться угадать допустимое базисное решение, положив произвольные n + m переменных свободными, приравняв их нулю, и, решив систему (14), найти значения базисных переменных. Однако нет никаких гарантий, что полученные значения переменных будут удовлетворять условиям (14). Поэтому попытки угадать допустимое базисное решение приходится проводить многократно.

Если допустимое базисное решение найдено, то его улучшение, то есть переход к новому лучшему базису, можно осуществить по симплекс-методу (как в задаче линейного программирования). Отличие здесь заключается в том, что при выборе

новой базисной переменной необходимо проверять выполнение условий xj pj 0 ,i qi 0 : если в базисе имеется xj или i , то в него не может быть введено pj или qi

соответственно. При большом числе переменных угадать допустимое базисное решение становится чрезвычайно трудоёмким. В этом случае следует обратиться к известным эффективным систематическим методам получения допустимого базисного решения.

Для определения зависимости отклика от количественных факторов x и ошибокнаблюдения отклика используется регрессионная модель:

некоррелированных наблюдений. Предполагается, что отклик определяется только количественными факторами (при анализе и обработке экспериментальных данных используются аппарат метода наименьших квадратов и техника статистической проверки гипотез). Если функция отклика f есть линейная комбинация базисных

функций от факторов, то получится модель регрессионного анализа, линейная по параметрам (линейная модель):

y 1 f1 x1, x2 , , xk 2 f2 x1, x2 , , xk m fm x1, x2 , , xk ,

m

yi fi x ,

i 1

y f т x ;

i – параметры модели (коэффициенты регрессии) i 1,2, , m ; fi x1, x2 , , xk – известные базисные функции переменных x1, x2 , , xk (факторы), не зависящие от параметров модели; f т x f1 x , f2 x , , fm x – вектор-

строка базисных функций (базисная вектор-функция); T 1, 2 , , m – вектор параметров модели.

BUILDING MATERIALS AND PRODUCTS

Частными случаями полиномиальной модели регрессионного анализа (полином по факторам) являются:

– модель регрессионного анализа первого порядка (линейная модель), задавае-

мая полиномом первого порядка:

y 0 1x1 2 x2 k xk

(введя фиктивную переменную x0 1, модель можно представить в виде

k

yi xi );

i 1

–модель регрессионного анализа второго порядка (квадратичная модель), зада-

k 1 k 2

y 0 1x1 k xk 12 x1x2

k 1,k xk 1xk 11x12 k ,k xk2 .

Если отклик определяется качественными факторами (например, вид материала) и ошибками наблюдений отклика, то рассматривается модель дисперсионного анализа

y 0 1x1 2 x2 k xk ;

xk – дискретные переменные, обычно целочисленные (часто xi либо 0, либо 1). Обыч-

но если количественный фактор принимает небольшое число различных значений в эксперименте, то он рассматривается как качественный. При детерминированных неизвестных параметрах получается модель с постоянными факторами (модель I);

если все i (может быть за исключением одного) являются случайными величинами,

то – модель со случайными факторами (модель II); в промежуточных случаях – смешанная модель. При воздействии на отклик как количественных, так и каче-

ственных факторов анализ и обработка экспериментальных данных осуществляется методами ковариационного анализа (сочетание элементов регрессионного и дисперсионного анализа). Практическая ценность моделирования независимо от его вида определяется адекватностью математической модели (соответствие математической модели экспериментальным данным при выбранном критерии); проверка адекватности модели осуществляется по F-критерию Фишера. При моделировании, естественно, используются и методы планирования эксперимента.

Ограниченность использования указанных моделей при синтезе композиционных материалов связана с необходимостью установления аналитических зависимостей между параметрами моделей и рецептурно-технологическими факторами: параметры моделей являются лишь интегральными характеристиками [6] такой связи.

Список литературы

1.Garkina, I.A. Methodological principles design of composite materials / I.A. Garkina, A.M. Danilov, E.A. Budylina // Journal of Engineering and Applied Sciences. – 2016. – Vol.11(11). – P. 2524–2527.

2.Garkina, I.A. Materials as complex systems / I.A. Garkina, A.M. Danilov, V.P. Selyaev // Journal of Engineering and Applied Sciences. – 2016. – Vol. 11(11). – P. 2461–2464.

3.Garkina, I.A. Analytical design of building materials / I.A. Garkina, A.M. Danilov // Journal of Basic and Applied Research International. – 2016. – Vol.18. – Issue 2. – P. 95–99.

4.Garkina, I.A. Building materials: the modelling, quality functional / I.A. Garkina // J. Ponte. – Mar, 2017. – Vol. 73. – Issue 3. – P.111–116.

5.Garkina, I.A. Parametric identification and optimization of properties of building materials as complex systems / I.A. Garkina, A.M. Danilov / J. Ponte. – Feb. 2017. – Vol. 73. – Issue 2. – P.119–125.

СТРОИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И ИЗДЕЛИЯ

6. Сизиков, В.П. Кризис системной методологии: с позиций синтеза систем / В.П. Сизиков, В.И. Разумов // Труды V Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO’06. – М.: Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН, 2006. – С.1818–1860.

References

1.Garkina, I.A. Methodological principles design of composite materials / I.A. Garkina, A.M. Danilov, E.A. Budylina // Journal of Engineering and Applied Sciences. – 2016. – Vol.11(11). – P. 2524–2527.

2.Garkina, I.A. Materials as complex systems / I.A. Garkina, A.M. Danilov, V.P. Selyaev // Journal of Engineering and Applied Sciences. – 2016. – Vol. 11(11). – P. 2461–2464.

3.Garkina, I.A. Analytical design of building materials / I.A. Garkina, A.M. Danilov // Journal of Basic and Applied Research International. – 2016. – Vol.18. – Issue 2. – P. 95–99.

4.Garkina, I.A. Building materials: the modelling, quality functional / I.A. Garkina // J. Ponte. – Mar, 2017. – Vol. 73. – Issue 3. – P.111–116.

5.Garkina, I.A. Parametric identification and optimization of properties of building materials as complex systems / I.A. Garkina, A.M. Danilov / J. Ponte. – Feb. 2017. – Vol. 73. – Issue 2. – P.119–125.

6.Sizikov, V.P. Crisis of system methodology: from positions of systems synthesis / V.P. Sizikov, V.I. Razumov // Proceedings of the V International Conference «System Identification and Control Problems» SICPRO'06. – M.: Institute for Control Sciences. V.A.Trapeznikov of the Russian Academy of Sciences, 2006. – P.1818–1860.

BUILDING MATERIALS AND PRODUCTS

УДК 519.7:691

КОМПОЗИТЫ: ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ КИНЕТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

А.М. Данилов, И.А. Гарькина

Приводится аналитический синтез композитов, основанный на ретроспективной параметрической идентификации кинетических процессов с использованием графоаналитического метода.

Ключевые слова: композиты, формирование свойств, кинетические процессы, параметрическая идентификация, графоаналитический метод

COMPOSITES: GRAPHIC-ANALYTICAL METHOD OF PARAMETRICAL IDENTIFICATION OF KINETIC PROCESSES

A.M. Danilov, I.A. Garkina

The analytical synthesis of composites based on retrospective parametrical identification of kinetic processes with the use of a graphic-analytical method is given.

Keywords: composites, formation of properties, kinetic processes, parametrical identification, graphic-analytical method

Рассмотрим дисперсные системы, для кинетических процессов в которых характерно наличие точки перегиба; описываются обыкновенным дифференциальным уравнением (учитывается скорость и ускорение изменения контролируемого пара-

метра) [1…3]. Поэтому определение абсциссы точки перегиба является важнейшим элементом параметрической идентификации.

В отклонениях от равновесного состояния x xm будем иметь:

( W p T1 p 1 k T2 p 1 ) .

Пусть k1,2 1,2 – корни характеристического уравнения k2 2 n k 02 0 .

BUILDING MATERIALS AND PRODUCTS

Рассмотрим функцию

имеет решение r 1 лишь при e 2 tn e .

Откуда следует

2 tn 1,

следует, что 2 tn с ростом r уменьшается.