2255

СТРОИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И ИЗДЕЛИЯ

Введём вектор и матрицу U следующим образом:

z 1 z z r т ;

Тогда система уравнений (2) может быть записана в векторной форме:

истинного вектора a , можно с помощью уравнения (3) получить такие оценки χˆ

вектора , что

χˆ Uaˆ .

Легко показать, что наилучшая в смысле наименьших квадратов оценка aˆ вектора a удовлетворяет уравнению

UтUaˆ Uт ,

так что

aˆ UT U 1 UT χ aˆ1, aˆ2 , , aˆm T ,

что и позволяет построить процедуру идентификации вектора a на основе линейной рагрессии и метода наименьших квадратов. Отметим, что матрица UT U 1

существует только тогда, когда матрица U не является особенной.

Число измерений r должно быть больше числа идентифицируемых параметровr m . Если r m , то в оценке шум измерений не будет сглажен. Поэтому для

адекватной идентификации требуется, по крайней мере, m 1 измерение, причём в течение этого периода система предполагается стационарной.

BUILDING MATERIALS AND PRODUCTS

В соответствии с предыдущим значение z при -измерении

z a1x1 a2 x2 ,

и для параметров линейной модели будем иметь:

aˆ aˆ1, aˆ2 = (19,1; – 1,26 10 –5).

Окончательно получим

Rcж = 2,48 + 19,1 T – 1,26 10 -5 E.

Как видим, относительная ошибка вычисления по модели Rcж не превышает

приблизительно 1 %. Одновременно отметим, что исходная таблица измерений обладает избыточностью (достаточно знания одного из двух параметров Rcж или T).

При этом Rcж и T практически от E не зависят.

Заметим, предлагаемая методика в основном ориентирована на изучение свойств материалов в локальных областях факторного пространства. Метод легко обобщается и на случай систем со многими входами и выходами, а также на случай идентифи-

кации динамических процессов, описываемых нормальной системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

Все вычислительные процедуры сводятся к простому вычислению неизвестных коэффициентов с доступностью математических выводов. Недостатки определяются чувствительностью оценок метода наименьших квадратов к резким выбросам, встречающимся в экспериментальных данных. Естественно, всегда предполагается, что используемая в ходе регрессионного анализа форма связи наилучшим образом отражает зависимость выходных переменных Z от факторной переменной X.

В заключение приведем пример многокритериального синтеза эпоксидных композитов повышенной плотности.

Использование математических методов планирования эксперимента позволило получить следующие аналитические зависимости средней плотности , кг/м3, и

предела прочности Rсж, Мпа, на сжатие образцов 20 20 20 см:

X1, X2 3642,8 129,1X1 668,5X2 53, 2X1 X2 513,7X22 ,

Rсж X1, X2 118,5 19,5X1 20,9X2 3, 2X22 ,

где X1, X2 – кодированные значения соответственно концентрации x1 пластификатора (в % от массы смолы) и степени наполнения x2 (П:H по массе); x10 = 25, I1 = 25; x20 =1/7,

I2Н = 5. Линиями уровня X1, X2 const и Rсж X1, X2 const являются соот-

ветственно ветви гиперболы и параболы (квадратичные модели целевых функций). В качестве оптимальных значений факторов будут: x1 = 2,5; x2 = 10,2 (им соответствуют значения плотности = 3955 кг/м3 и предела прочности Rсж = 145 МПа).

Аналогично решается задача и в случае большего числа переменных и частных критериев качества [4…9].

Список литературы

1.Гарькина, И.А. Эволюция представлений о композиционных материалах с позиций смены парадигм / И.А. Гарькина, А.М. Данилов, Е.В. Королев // Строи-

тельные материалы. – 2018. – №1–2. – С.60–63.

2.Системный анализ в строительном материаловедении: монография / Ю.М. Баженов, И.А. Гарькина, А.М. Данилов, Е.В. Королев. – М.: МГСУ: Библиотека научных разработок и проектов, 2012. – 432 с.

3.Данилов, А.М. Математическое и компьютерное моделирование сложных систем / А.М. Данилов, И.А. Гарькина, Э.Р. Домке. – Пенза: ПГУАС, 2011. – 296 с.

4.Данилов, А.М. Методология проектирования сложных систем при разработке материалов специального назначения / А.М. Данилов, И.А. Гарькина // Известия высших учебных заведений. Строительство. – 2011. – № 1. – С. 80–85.

СТРОИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И ИЗДЕЛИЯ

5.Гарькина, И.А. Опыт разработки композиционных материалов: некоторые аспекты математического моделирования / И.А. Гарькина, А.М. Данилов // Известия высших учебных заведений. Строительство. – 2013. – № 8 (656). – С. 28–33.

6.Гарькина, И.А. Формализация оценки структуры и свойств композиционных материалов специального назначения / И.А. Гарькина // Строительные материалы. – 2007. – № 1. – С. 70–72.

7.Garkina, I.A. Modeling of kinetic processes in composite materials / I.A. Garkina // Contemporary Engineering Sciences. – 2015. – Vol. 8. – № 9. – P. 421–425.

8.Garkina, I.A. Modeling of building materials as complex systems / I.A. Garkina, A.M. Danilov, Y.P. Skachkov // Key Engineering Materials. – 2017. – Vol. 730. – P. 412.

9.Данилов, А.М. Математическое моделирование сложных систем: состояние, перспективы, пример реализации / А.М. Данилов, И.А. Гарькина // Вестник гражданских инженеров. – 2012. – № 2. – С. 333–337.

References

1.Garkina, I.A. Evolution of the concept of composite materials from the standpoint of changing paradigms / I.A. Garkina, A.M. Danilov, E.V. Korolev // Construction materials. – 2018. – №1–2. – P. 60–62.

2.The system analysis in construction materials science: monograph / Yu.M. Bazhenov, I.A. Garkina, A.M. Danilov, E.V. Korolev. – M.: MGSU: Library of scientific developments and projects, 2012. – 432 p.

3.Danilov, A.M. Mathematical and computer modeling of difficult systems / A.M. Danilov, I.A. Garkina, E.R. Domke. – Penza: PGUAS, 2011. – 296 p.

4.Danilov, A.M. Methodology of design of difficult systems when developing materials of a special purpose / A.M. Danilov, I.A. Garkina // News of higher educational institutions. Construction. – 2011. – №1. – P. 80–85.

5.Garkina, I.A. Experience of development of composite materials: some aspects of mathematical modeling / I.A. Garkina, A.M. Danilov // News of higher educational institutions. Construction. – 2013. – №. 8 (656). – P. 28–33.

6.Garkina, I.A. Formalization of assessment of structure and properties of composite materials of a special purpose / I.A. Garkina // Construction materials. – 2007. – №. 1. – P. 70–72.

7.Garkina, I.A. Modeling of kinetic processes in composite materials / I.A. Garkina // Contemporary Engineering Sciences. – 2015. – Vol. 8. – № 9. – P. 421–425.

8.Garkina, I.A. Modeling of building materials as complex systems / I.A. Garkina, A.M. Danilov, Y.P. Skachkov // Key Engineering Materials. – 2017. – Vol. 730. – P. 412.

9.Danilov, A.M. Mathematical modeling of difficult systems: state, prospects, example realization / A.M. Danilov, I.A. Garkina // Herald of Civil Engineers – 2012. – №. 2. – P. 333–337.

BUILDING MATERIALS AND PRODUCTS

УДК 519.7: 691

ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ФОРМИРОВАНИЯ СВОЙСТВ КОМПОЗИТОВ

И.А. Гарькина, А.М. Данилов

Предлагаются эффективные методы аппроксимации кинетических процессов формирования физико-механических характеристик композиционных материалов для решения задач как однокритериальной, так и многокритериальной оптимизации их структуры и свойств. Подробно рассматривается аппроксимация кинетических процессов на заданном интервале с определением частичных интервалов аппроксимации максимальной длины. Приводится алгоритм аппроксимации кубическими сплайнами. Для определения передаточных функций композитов как динамических систем со многими входами и выходами рекомендуется использовать полиномы Лагерра. Не исключается возможность и когнитивного подхода при непосредственном подборе вида аппроксимирующей функции.

Ключевые слова: композиционные материалы, свойства, кинетические процессы, параметры, аппроксимация, методы

FORMALIZATION THE PROCESSES OF COMPOSITES

PROPERTIES FORMATION

I.A. Garkina, A.M. Danilov

Effective methods are proposed for approximating the kinetic processes formation of physical and mechanical characteristics of composite materials for solving the problems of both single-criterion and multi-criteria optimization of their structure and properties. The approximation of kinetic processes on a given interval with definition of partial intervals of the maximum length approximation is considered in detail. An approximation algorithm on cubic splines is given. To determine the transfer functions of composites, as dynamic systems with many inputs and outputs, it is recommended to use Laguerre polynomials. The possibility of a cognitive approach is not excluded with direct selection of the form of the approximating function.

Keywords: composite materials, properties, kinetic processes, parameters, approximation, methods

Можно считать общепринятым подход к оптимизации структуры и свойств композиционных материалов по аналитическому описанию кинетических процессов формирования их физико-механических характеристик. Среди целого ряда методов аппроксимации этих процессов особое место в силу его простоты занимает кусочнолинейная аппроксимация, как правило, с равномерным шагом. Однако во многих

СТРОИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И ИЗДЕЛИЯ

случаях целесообразна разбивка кинетических процессов на отдельные участки,

исходя из обеспечения максимальной длины участков аппроксимации. В качестве параметров кинетических процессов могут использоваться различные характеристики, интегрально определяющие процессы формирования свойств [1…4]. Часто выход параметров на эксплуатационное значение носит экспоненциальный апериодический характер (рис. 1).

Ниже предлагается алгоритм кусочно-линейной аппроксимации кинетического процесса f x с интервалами максимальной длины на отрезке a,b .

Ввод данных. Задается интервал a,b , относительная погрешность аппрокси-

f j f j 1 0,2 .

Табулирование. Здесь реализована программа получения информации. Использовался нижеприведённый алгоритм.

BUILDING MATERIALS AND PRODUCTS

производная была непрерывна во всех внутренних узлах. Получим следующую систему уравнений:

полученные из граничных условий.

Задача построения кубического сплайна свелась к решению линейной системы для неизвестных коэффициентов mi:

2m0 m1 3 f1 f0 ,

h0

mN 1 2mN 3 fN hN f1N 1 .

Нами при решении практических задач система (4) решалась методом прогонки (трехдиагональность матрицы системы).

При решении целого ряда задач по изучению композиционных материалов как нестационарных динамических систем возникает необходимость аппроксимации не только входных и выходных сигналов («черный ящик»), но и определение вида частных передаточных функций (параметры связи выходных сигналов с входными). Нами для этого использовалось разложение кинетического процесса по различным ортонормированным системам специальных функций, предпочтение отдавалось полиномам Лаггера [5]:

При решении практических задач важную роль играет и человеческий фактор: выбор вида аппроксимирующей функции часто определяется интуицией экспериментатора. Так, по данным таблицы нами определялась аналитическая зависимость вязкости B эпоксидного композита от температуры t, oC, и процентного содержания x, %, специальной добавки.

СТРОИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И ИЗДЕЛИЯ

Исходя из когнитивного анализа, аппроксимирующая функция задавалась в виде B B x,t . Функция B B x,t const представлялась в виде полинома третьей

степени, а B B x const,t – функциями вида y ae kt , k k x при различных

степенях полинома. По этим результатам было получено представление

B c0 c1x c2 x2 c3 x3 er x t 50 , 50 t 100.

Предложенные методы прошли апробацию при разработке ряда композиционных материалов специального назначения [6, 7].

Список литературы

1.Garkina, I.A. Modeling of kinetic processes in composite materials / I.A. Garkina // Contemporary Engineering Sciences. – 2015. – Vol. 8. – № 9. – P. 421–425.

2.Garkina, I.A. Mathematical Methods of System Analysis in Construction Materials / I.A. Garkina, A.M. Danilov // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. – 2017. – №245. – Р.062014.

3.Garkina, I.A. Analytical design of building materials / I.A. Garkina, A.M. Danilov // Journal of Basic and Applied Research International. – 2016. – Vol.18. – Issue 2. – P. 95–99.

4.Гарькина, И.А. Опыт разработки композиционных материалов: некоторые аспекты математического моделирования / И.А. Гарькина, А.М. Данилов // Известия высших учебных заведений. Строительство. – 2013. – № 8 (656). – С. 28–33.

5.Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г.Бейтмен, А.Эрдейи. – М.:

Наука, 1973. – Т. 2. – 297 с.

6.Данилов, А.М. Методология проектирования сложных систем при разработке материалов специального назначения / А.М. Данилов, И.А. Гарькина // Известия высших учебных заведений. Строительство. – 2011. – № 1. – С. 80–85.

7.Гарькина, И.А. Опыт разработки композиционных материалов: некоторые аспекты математического моделирования / И.А. Гарькина, А.М. Данилов // Известия высших учебных заведений. Строительство. – 2013. – № 8 (656). – С. 28–33.

References

1.Garkina, I.A. Modeling of kinetic processes in composite materials / I.A. Garkina // Contemporary Engineering Sciences. – 2015. – Vol. 8. – № 9. – P. 421–425.

2.Garkina, I.A. Mathematical Methods of System Analysis in Construction Materials / I.A. Garkina, A.M. Danilov // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. – 2017. – №245. – Р.062014.

3.Garkina, I.A. Analytical design of building materials / I.A. Garkina, A.M. Danilov // Journal of Basic and Applied Research International. – 2016. – Vol.18. – Issue 2. – P. 95–99.

4.Garkina, I.A. Experience of development of composite materials: some aspects of mathematical modeling / I.A. Garkina, A.M. Danilov // News of higher educational institutions. Construction. – 2013. – No. 8 (656). – P.28–33.

5.Beytmen, G. The highest transcendental functions / G. Beytmen, A. Erdeyi. – M.: Science, 1973. – Vol. 2. – 297 p.

6.Danilov, A.M. Methodology of design of difficult systems when developing materials of a special purpose / A.M. Danilov, I.A. Garkina // News of higher educational institutions. Construction. – 2011. – №. 1. – P. 80–85.

7.Garkina, I.A. Experience of development of composite materials: some aspects of mathematical modeling / I.A., Garkina A.M. Danilov // News of higher educational institutions. Construction. – 2013. – №. 8 (656). – P. 28–33.