2209

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2 c ab m mв n nв

2 c ab m mв n nв

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2024

Размер:

5.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Выражение потенциальной энергии имеет вид

n	D a b		2U x, y,t 2
n
V	2			dxdy	dxdy .
	2	0 0		dxdy

С учетом (3.10), получим

			2	2	a b	x, y	dxdy cos2 t ,
			2
E					U 2
	k
					0 0
		D	a b		2		2
V		D			U x, y			dxdy cos2 t .
V								dxdy cos2 t .
n		2			dxdy
		2	0 0		dxdy

(3.13)

(3.14)

(3.15)

Поскольку U(х,у,t) является собственной функцией, можно, согласно [34], принять

	2	a b	x, y dxdy cos2 t .
	2
V mn2		U 2		(3.16)
n
		0 0

Здесь mn – круговая частота собственных колебаний пластины.

a b

Wp p x, y,t U (x, y,t)dxdy .

0 0

Работу возмущающих сил в виде звукового давления в плоскости пластины определим из соотношения, которое можно записать как

a b
Wp p x, y U (x, y)dxdy cos2 t .	(3.17)
0 0

Выражая экстремальные свойства (3.11) с использованием (3.14), (3.16), (3.17), получим

				t2		2	a b			2
								2	x, y dxdy	mn
					2		U			2	(3.18)
		U			2		U			2	(3.18)
			mn	t1			0 0
				t1			0 0
a b					a b
	x, y dxdy

U 2						p x, y U (x, y)dxdy cos2 tdt .
0 0					0 0
							41

Из соотношения (3.21) следует, что для прямоугольной пластины возможны той случая соотношения индексов

Интегрируя по времени за четверть периода

t1 0 ,t2 2 ,

	2		a b	a b
		mn2	U 2	x, y dxdy p x, y U x, y dxdy	0 . (3.19)

Umn	2		0 0	0 0

Используя условие ортогональности нормальных функций, можем записать

	a b			a b
	U 2	x, y dxdy Umn2		XY 2 dxdy ,
	0 0		m 1	0 0
			n 1
a b					a b
	p x, y U x, y dxdy p0m n Umn					p x, y U (x, y)dxdy .

0 0		m	1m 1		0 0
			1 n 1
		n	1 n 1

(a)

(б)

(3.20)

(3.21)

(3.22)

(3.23)

(3.24)

Согласно терминологии, принятой в работе [28] первое возможное соотношение индексов (3.22) получило название полного пространственного резонанса, второе (3.23) – неполного пространственного резонанса, третье (3.24) – простого резонанса.

Используя (3.19), найдем амплитуды колебаний пластины для всех возможных соотношений индексов.

В случае полного пространственного резонанса, когда узловые линии m n -й формы распределения звукового давления точно совпадают с узловыми линиями mn-й формы колебаний пластины, имеем


		Umn mn2			2	G,	(3.25)
				p0mn
где G	g 1 e kb	1 sin2
			.
	2 1 g2 2e 2kb 1 sin2		.

Из формулы (3.25) видно, что при ω = ωmn происходит полное прохождение звука.

В случае неполных пространственных резонансов одни составляющие характеристик волновых волей согласуются полностью, а другие находятся в таких соотношениях, при которых амплитуда вынужденных колебаний пластины максимальна.

Если узловые линии m n -й формы распределения звукового давления точно соответствуют узловым линиям mn-й формы распределения смещений пластины только вдоль стороны а, то

p0mn

Um(n)

Bn cos n C n

sin n Cn sin n

, (3.26)

m n

n 1

где В

1 e kb

1 sin2 ; C

1 g2 e kb 1 sin2 .

Из полученного соотношения (3.26) следует, что смещения пластины Um(n) будут иметь наибольшее значение, когда

sin n I cosn 0 , то есть nm n 12 , 32 ,

При nm n 12 , очевидно, соответствующей наинизшей частоте колебания, получаем

Um(n)	2 p0mn	.	(3.27)
	m2 n 2 n B2 C2

Если узловые линии m n -й формы распределения звукового давления в плоскости пластины точно соответствуют узловым линиям mn-й формы распределения смещений пластины только вдоль стороны b, то

	p0m n		2msin m
Un(m)						G,	(3.28)
Un(m)	2	2	m	2	2	G,	(3.28)
	n m		m		m

где G – то же, что и в (3.25). В этом случае амплитуда будет максимальной при m 12 , 32 ,

Возьмем значение m 12 соответствующее частоте, когда впервые удовлетворится требование (3.23 б), тогда

	p0m n	8m
Un(m)			G .	(3.29)
	n2 m 2	4m2 1

Случай соотношения индексов (3.24) характерен полным несоответствием форм распределения звукового давления и форм собственных колебаний пластины.

В условиях простого резонанса амплитуду смещений запишем

Um (n) 2p0m n 2

m n

										1				.		(3.30)
4msin m Bn cos n C n								n		2		sin n
										2					.
	2		1 2	2	m	2	m	'2	B		2	C	2		.
	2		1 2	2		2		'2			2		2
		n		n
			2

Амплитуда смещений пластины для mn-й ее формы собственных колебаний, соответствующей наинизшему номеру простого резонанса при

	1		1	будет равна:
n	2	, m	2	будет равна:
				U m (n)		p0m n			16mC		.	(3.31)
				U m (n)	2		2	2n	4m2 1 B2	C2	.	(3.31)
						m n

Анализ полученных зависимостей (3.26), (3.28), (3.30) показывает, что в условиях неполного пространственного и простого резонансов при совпадении круговой текущей частоты с круговой частотой собственных колебаний пластины, звук через пластину проходит полностью, если не учитывать потери энергии на внутреннее трение и сопротивление излучению.

3.3. Акустическая мощность, излучаемая пластиной, подкрепленной ребрами жесткости

Найдем количественные зависимости мощности, излучаемой подкрепленной пластиной под воздействием звуковых волн. В качестве расчетной возьмемпластину, рассмотреннуювпредыдущем параграфе. Расположение координатных осей примем в соответствии с рис. 3.1.

Пусть на пластину из верхнего полупространства (Z > 0) падают звуковые волны под углами θ.

Акустическаямощность, излучаемаявнижнееполупространство(Z < 0) определяется в этом случае [63]

P		a b		p	x, y, h			,	(3.32)
	1 Re						V * x, y dxdy
2	2					2
			0 0

где		h
где	p x, y,	– максимальное во времени звуковое давление в плоскости
		2
		пластины;
		V* – сопряженное число комплексного представления колеба-
		тельной скорости пластины в каждой точке X, У.
	Звуковое давление в излученной волне
							h
						i t Kzm n Z
							2 ,	(3.33)
	p x, y, z,t p0m n sin m x sin n y e						2 ,	(3.33)
			0	a	b
		m 0n	0
где	Kzm n –	составляющая волнового вектора на ось, перпендикулярную

плоскости пластины; h – толщина пластины.

Из волнового уравнения 2 p x, y, z K02 p x,

2				2				2		2
			x		2		y2			z2

K	K								2
		2			m					n
zm n	0					a
										b

y, z 0

(3.34)

2 .

Амплитуду звукового давления будем искать из граничных условий на поверхности пластины

p x, y, z,t		i 0V x, y,t ,	(3.35)

z
z	z h
	2

где 0 – плотность среды, граничащей с пластиной;

Vx, y,t – колебательная скорость пластины.

Всвою очередь колебательную скорость представим в виде разложения

вдвойной род по собственным функциям

x, y,t Vmn XYei t . (3.36)

m 1n 1

Подставив в граничные условия (3.35) значения p x, y, z,t (3.33), V x, y,t (3.36) и усреднив полученное выражение по площади пластины,

имеем

m x

n y

K0 0c0Vmn 0

0XY sin

sin

dxdy

(3.37)

pm n

sin2

m x sin n y dxdy

zm n

Сучетом (3.37), выражение акустической мощности (3.32) представим

ввиде:

P2mn

0 0

m x

n y

m 0

sin

dxdy

n 0

Re K0

Kzm n

		2	a b
	V			XY sin
	V			XY sin
m 1			0 0

n 1

		2	(3.38)
m x sin n y dxdy .
a	b

Пренебрегая взаимодействием форм собственных колебаний пластины через окружающую среду, опустим процесс бесконечного суммирования по

[28] , а также учитывая, что при

числам m, n, m , n

, Re

Kzm n

имеем для

Kzm n

0XY sin

sin

dxdy

P2mn

Vmn

(3.39)

zm n

0 sin

sin

dxdy

Теперь можем определить количественные характеристики излучения в каждом характерном случае согласования звуко- и виброполей.

3.3.1. Излучение в области полных пространственных резонансов

В условиях полного согласования волновых характеристик звуко- и виброполей, то есть при m = m' , n = n излучаемую акустическую мощность (3.39) можно представить

где V 2mn Vmn2

P2mn

0c0

mn2

abB2

(3.40)

– усредненная поплощадипластиныколебательнаяскорость,

полученная как сумма скоростей в четырех изгибных волнах, формирующих каждую форму собственных колебаний пластины;

B то же, что и в формуле (3.26).

Коэффициент излучения в этом случае

Smn B	2			K0
Smn B	2		m 2		n 2
	2		m 2		n 2
		K0				b
				a		b

B2
	.	(3.41)

cos mn

Так как общая излучаемая мощность на частотах пространственного резонанса [63]

P2mn 4P2mn ,

то зависимость (3.40) можно записать в виде:

P	0c0 V		2	abS	mn	.	(3.42)
2mn	2	mn			mn
	2

Для практических расчетов интересен случай излучения при возбуждении пластины диффузным звуком в интервале частот

f fв fн.

Акустическая мощность, излучаемая пластиной, в этом случае

m m n n
P2 в в		(3.43)
	P2mn ,
m mн n nн
где Р2mn – усредненное значение мощности в интервале частот		f;

mн, nн, mв, nв – номера форм собственных колебаний пластины,

соответствующих нижней fн и верхней fв частотам интервала f. Используя выражение излучаемой мощности на каждой

находим

m mв n nв

K0m2n2

0mn

0 0

ab Vmn

n 2

m mнn nн

K0mn K0m n

m 2

1 1

K0mn

частоте,

(3.44)

где Vmn2 – усредненное значение квадрата колебательной скорости пластины в интервале частот fmn;

K0m1n1 , K0m2n2 – волновые числа среды, соответствующие крайним частотам fm1n1 , fm2n2 на которых вклад резонанса остается решающим.

После соответствующих преобразований и усреднений, получим – выражение акустической мощности в интервале частот f

	0c0
P	0c0	abV	2	S	,	(3.45)
P		abV	2	S	,	(3.45)
2	2
	2
где

cos

(3.46)

m mв n nв

Vmn

m mн n nн

или

fгр

(3.47)

3.3.2. Излучение на частотах неполных пространственных резонансов

Акустическую мощность, излучаемую в этом случае получим, проведя интегрирование выражения (3.39) с учетом соотношений (3.23)

						P	0cV 2											abS						,			(3.48)
						2mn			2					m n								mn
									2
						P	0cV 2											abS						,			(3.49)
						2mn			2					(m)n								m n
									2
где коэффициенты излучения
S																										2	(3.50)
S	4(Bn cos n Cn													C(n 0.5)sin n )												,	(3.50)
	mn				2	n	0,5						2					2			2	cos mn
						n	0,5							n								cos mn
									4m		2	sin			2								2
		S							4m			sin					m			B					.		(3.51)
		S					2			2				2					2						.		(3.51)
			m n				2	(m		2				2			)		2	cos m n
								(m			m						)			cos m n
Максимальные значения коэффициенты излучения принимают при
				1		3	5												1			3		5
	n			2		, 2 ,	2		;					m		2					,	2 ,		2 .
											49

Анализ полученных зависимостей (3.50) и (3.51) показывает, что коэффициенты излучения Smn (Sm n ) имеют большее значение в случае

меньших n(m) и больших n'(m') дляпостоянного θ. Следовательно, пластина меньших размеров, для которой число n(m) меньше, излучает интенсивнее.

Рассмотрим далее излучение пластины под воздействием полосы f диффузного звукового поля. Согласно [63], в области неполных пространственных резонансов могут встретиться как обычные, так и неполные резонансы. Тогда общая излучаемая мощность

n nв

m mв n nв

m mв m mв

P2н

2mn

2m n

P2m n ,

(3.52)

m 1

n 1

m mн m mн

n n

n 2

m m

m 2

n n

где

f значения

P2mn , P2m n ,

P2m n – усредненныепоугламизлучениявполосе

звуковой мощности в пределах каждого резонанса.

Внеявномвидездесьестьсуммированиевкладовизлучаемоймощности

под всеми углами B H

на каждой частоте fн f fв .

Подсчетомможноубедиться, чтовкладпростыхрезонансоввизлучение врассматриваемомдиапазонечастотсущественноменьшевкладанеполных пространственных резонансов [30] . Поэтому для простоты вычислений в выражении (3.52) будем учитывать только первые два слагаемые. Тогда с учетом зависимостей (3.48), (3.49), (3.50), (3.51) найдем суммарную излучаемую мощность

C2 n n 0,5 2n 0,5 2 n 2 2

K0m

K0m(n)dK0m(n)

m mв

(n)

n nв

m mв

V(m)n

(3.53)

K0m(n)

K0m1

(n) K 2

n 1

m m

0m n

		m2B2			K0(m)n2

m	2	2	2

		m		K0 m n K0(m)n1


	K0 m ndK0 m n
	K0 m ndK0 m n
						.
		2	n		2	.
2	m		n
K0 m n				b
	a			b

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.06.20245.69 Mб02204.pdf
#
16.06.20245.7 Mб02205.pdf
#
16.06.20245.7 Mб02206.pdf
#
16.06.20245.71 Mб02207.pdf
#
16.06.20245.71 Mб02208.pdf
#
16.06.20245.71 Mб02209.pdf
#
16.06.2024235.9 Кб0221.pdf
#
16.06.20245.72 Mб02210.pdf
#
16.06.20245.74 Mб32211.pdf
#
16.06.20245.76 Mб02212.pdf
#
16.06.20245.76 Mб02213.pdf