2209

Граничные условия на левом конце балки:

UI x 0 0 .

Все эти условия удовлетворятся, если принять при общем для обоих пролетов начале отсчета, что

Выполнение условий (2.22) легко проверить, воспользовавшись правилами дифференцирования функций Крылова и учитывая, что

Считаем, что в сечении x l1 приложена опорная реакция. Тогда в соответствии с формулой (2.23) и с учетом (2.21) для второго участка имеем

UII C4K4 kx C2K2 kx HK4 k x l1 ,

где H EJkR 3 , причем R – амплитудное значение реакции.

31

Для определения трех констант С2, C4 и H имеются три граничных условия – смещение и момент на правой опоре равны нулю, смещение в сечении х = l1, равно R/с, где с – жесткость упругой опоры.

Таким образом, получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Выражение (2.25) идентично полученному ранее (2.19), что позволяет судить о возможности использования представления волнового переноса энергии с ее минимальной затратой, предложенного профессором М.С. Седовым [28], для решения задачи о собственных колебаниях подкрепленных структур.

2.4. Влияние жесткости упругих опор на волновые свойства подкрепленных структур

Проследим влияние жесткости промежуточной опоры на значения собственных чисел и характер нормальных смещений на примере двухпролетной полосы с шарнирно-опертыми краями.

32

Рис. 2.3

33

Уравнение (2.19) при с=∞ (нет смещений на промежуточной опоре) переходит в известное частотное уравнение

сtgkl1 cthkl1 ctgkl2 cthkl2

для двухпролетной шарнирно-опертой балки, полученное путем использования решения дифференциального уравнения с постоянным интегрирования [34].

При с=0 (промежуточная опора отсутствует) уравнение (2.19) принимает вид:

Выражение (2.26) является частотным уравнением для однопролетной балки шарнирно-опертой по концам [25].

Дляпромежуточныхзначенийжесткостиупругойопорынайденыкорни частотных уравнений и получены собственные формы колебаний при l1 = l2

(рис. 2.3, табл. 2.1, 2.2).

Анализ полученных результатов показывает, что найденные собственные функции (2.17) справедливы для всех значений жесткости промежуточныхопор. Приуменьшениижесткостинаблюдаетсяувеличение отклонения полосы от положения равновесия и формы собственных колебаний становятся все более близкими к формам однопролетной полосы с шарнирно-опертыми краями. По мере увеличения жесткости опоры формы колебаний переходят в формы колебаний двухпролетной неразрезной шарнирно-опертой полосы. К тому же, для симметричных форм колебаний на промежуточной опоре фаза движения синусоидальной

для жесткого защемления (рис.2.3).

Сравнение значений собственных чисел, полученных на основе представления волнового переноса энергии с ее минимальной затратой, с методикой известного решения, указывает на правильность выбранного подхода к решению задачи о собственных колебаниях подкрепленных структур.

Найденные функции суммарных смещений для двухпролетной полосы с упругой промежуточной опорой позволяют определить смещение точек полосы на любой частоте собственных колебаний. Решение может быть продолжено аналогичным образом и для случая большего количества пролетов.

Полученное решение дает возможность оценить влияние жесткости опор на характер нормальных смещений и фазовые соотношения на промежуточной опоре.

34

Рассматривая действительную часть комплексных выражений (3.1), (3.2), (3.3) и считая 1 2 , 3 4 0 , получим

Принимая начальныефазовыеуглыравнымимеждусобой, получимтем же путем другое возможное значение суммарного звукового давления:

Для точек х = а, у = b, можно записать

где величины m , n имеют непрерывные численные значения до тех пор,

пока не будут учтены граничные условия в плоскостях XZ, YZ. Зависимости (3.5), (3.6) с учетом (3.7) можно переписать в виде

Здесь p0m n 4 p0 .

В случае воздействия на пластину плоских волн диффузного звукового поля результирующее звуковое давление представится в виде бесконечного двойного ряда

39

3.2. Распределение смещений в подкрепленной пластине под воздействием звуковых волн

Под воздействием звуковых волн в пластине возникают и распространяются свободные упругие волны, формирующие нормальные колебания. Смещение каждой точки пластины в любой момент времени представим в виде [29]

Здесь X sin kxsin ;

Y2dg 1 e kb 1 sin2 sin ky cos d2 1 g2 e kb 1 sin2

cos ky cos d1 2 q e kb 1 sin2 e kb 1 sin2 ek y b 1 sin2 ,

где

Согласно принципу Остроградского – Гамильтона для движущихся упругих систем при наличии возмущающей силы можно записать

где Ек – кинетическая энергия; Vп – потенциальная энергия;

р(х,у,t) дu – виртуальная работа возмущающих сил.

Уравнение (3.11) в условиях нормальных колебаний выражает экстремальные свойства пластины. В этом случае кинетическая энергия

40