2209

Полное решение задачи будем искать путем составления функции суммарныхсмещенийточекполосысучетомграничныхусловийнаконцах. Суммарное смещение в каждом пролете образуется за счет двух бегущих в противоположных направлениях однородных и неоднородных волн. Искомая функция смещения точек полосы с учетом минимальной затраты энергии на образование замкнутого движения будет представлять собой суперпозицию четырех типов волн.

Начало координат совместим с левой опорой, ось ОХ со срединной плоскостью полосы. За положительное смещение принимаем смещение точек полосы вверх. Опоры пронумеруем слева направо (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Пусть бегущая волна U21, амплитуда которой U021 распространяется в

левом пролете полосы от второй опоры к первой с начальной фазой

2

В этом же направлении распространяется и неоднородная волна UII21 амплитудой U0II21. Обратные волны U12 и UI12 , амплитуды которых U012 и падают на промежуточную опору 2. Часть энергии бегущей волны

отразится с волной U0211 ei t kx , а часть пройдет во второй пролет с волной

U023ei t k x l1 , гдеl1 – длинапервогопролета. Энергияволны U032ei t k x l1 , распространяющейся от опоры 3 к опоре 2, частично пройдет через опору

2 в первый пролет с волной U0212 ei t kx , а частично отразится с волной

U0231 ei t k x l1 и т.д.

21

Рассматривая установившийся процесс, когда

можемопределитьамплитудыволн. Здесьиндекс указываетнаколичество отражений волн от соответствующей опоры.

В рассматриваемом случае бегущие и неоднородные волны, распространяющиеся в первом пролете, запишутся в виде:

U21 U021eikx i t ;

UII 21 U0II 21ek x l1 i t ;

U12 U012e ikx i t ;

UI12 U0I12e kx i t ,

где U021 , U012 , U0II 21 , U0I12 – амплитуды волн, участвующих в образовании замкнутого волнового движения. С учетом принципа суперпозиции

выражение суммарной волны UI для первого пролета запишется:

Для удобства записи здесь и в дальнейшем опустим временно

множитель ei t , характеризующий установившееся движение. Граничные условия на левом конце полосы:

Подставляя выражение суммарной волны (2.2) для первого пролета в (2.3), получим

Используя граничное условие (2.4), имеем

22

Преобразование уравнений (2.5) и (2.6) приводит к соотношениям:

Имеем систему двух уравнений с четырьмя неизвестными. Решение такой системы неопределенно.

Рассмотрим процесс волнообразования и формирования собственных колебаний одновременно для первого и второго пролетов.

Граничные условия на промежуточной опоре, т.е. при x l1 имеют вид:

UI UII – равенство смещений слева и справа;

UI UII – непрерывность угла наклона касательной к кривой изгиба

x x

(2.8)

2U2I 2U2II – равенство изгибающих моментов слева и справа;

x x

где с – жесткость промежуточной опоры;

UII – функция смещений точек полосы во втором пролете.

Суммарную волну для первого пролета с учетом уже переотраженных однородных и неоднородных волн

U12 U012e ikx ,

UI12 U0I12e kx ,

U21(1) U021(1) eikx ,

UII(1)21 U0(1)II 21ek ( x l1 )

запишем в виде

UI U012e ikx U0I12e kx U021(1) eikx U0(1)II 21ek ( x l1 ) .

23

Для второго пролета первоначально рассмотрим случай, когда нет переотраженных волн, т.е.

U32 U032eik x l1 ,

UIII 32 U0III 32ek[ x (l1 l2 )] ,

U23 U023e ik x l1 ,

UII 23 U0II 23e k x l1 .

Суммарная волна в этом случае

UII U032eik (x l1 ) U0III 32ek x l1 l2 U023e ik (x l1 ) U0II 23e k (x l1 ) ,

где U032 , U0III 32 , U023 , U0II 23 – амплитуды волн, участвующих в формировании собственных колебаний;

l2 – длина второго пролета.

Условия сопряжения на промежуточной опоре (2.8) можем теперь записать в виде

где EJKс 3 .

В соответствии с предложением о минимальной затрате энергии на образование новых волн в среде вправе предложить, что

24

Тогда с учетом соотношений (2.10) и (2.7) условия сопряжений на промежуточной опоре примут вид:

Имеем систему четырех уравнений с шестью неизвестными. Введем некоторое дополнение. Зная, что падающая волна U U0ei , а начальный

фазовый угол принят 2 , будем считать, что

Теперь для однозначного определения амплитуд волн необходимо еще одно уравнение. Его можно получить, используя граничное условие на третьей опоре:

Суммарную волну во втором пролете рассмотрим с учетом вторичного отражения

25

В условиях замкнутого волнового движения с минимальной затратой энергии на образование собственных колебаний полагаем:

U01III 32 U0III 32 ; U0321 U032 .

Тогда, учитывая, что смещение полосы на правой опоре равно нулю

(2.13), получим

U032eikl2 U0III 32 U023e ikl2 U0II 23e ikl2 0 .

Теперь имеем систему пяти уравнений с пятью неизвестными

После несложных преобразований получаем соотношения

U032 U023 iU0 eikl1 e ikl1

U0II 23 e kl2U0III 32 1 e 2kl U0II 21

(2.15)

Подставляя выражения U032 и U0II 23 в (2.14), переходим к системе трех уравнений с тремя неизвестными:

26

Решая систему, находим значения неизвестных:

С учетом соотношений (2.7) и (2.15) находим амплитуды остальных волн, участвующих в формировании собственных колебаний

U012 iU0 .

27

Теперь, когда известны фазовые соотношения и амплитуды участвующих в движении бегущих и неоднородных волн, можем найти суммарное смещение полосы в любой точке рассматриваемых пролетов

i eikl2 e ikl2 ekl2 e kl2 ekx e kx 4 ek l1 l2 e k l1 l2

ekl1 e kl1 i eikl2 e ikl2 ekl2 e kl2 ;

UII U0 4i ek l1 l2 e k l1 l2 i ekl1 e kl1 ekl2 e kl2

eikx e ikx eikl1 e ikl1 ek l1 l2 e k l1 l2

eik x l1 e ik x l1 ekl1 e kl1 eik x l1 l2 e ik x l1 l24i eik l1 l2 e ik l1 l2 eikl1 e ikl1 eikl2 e ikl2

ekl1 e kl1 i eikl2 e ikl2 ekl2 e kl2 .

Реальнаяформасуммарныхсмещенийточекполосысоответственнодля первого и второго пролетов будем иметь вид:

28

Полученные выражения (2.16) и (2.17) позволяют определить смещение точек полосы в произвольный момент времени для каждого пролета. Для полного решения задачи необходимо найти частотное уравнение. Воспользуемся для этого равенством нулю изгибающего момента на крайней правой опоре:

Подставив выражения (2.17) в (2.18), получим частотное уравнение

sin k l1 l2 shkl1shkl2 shk l1 l2 sin kl1 sin kl2

2shk l1 l2 sin k l1 l2

или

ctgkl1 cthkl1 ctgkl2 cthkl2 2 cthkl1 cthkl2 ctgkl1 ctgkl2 . (2.19)

При равенстве пролетов l1 l2 собственные функции и частные уравнения принимают вид:

ctgkl cthkl 4cthkl ctgkl

UI 2U0 sin kx 2sin 2kl sin kl shkl sin kl shkx / 2sh2kl sin kl shkl cos t;

UII 2U0 2sh2k l s h2kl sin kl sin klsh2kl

sin k x l sin kl shkl sin k x 2l 2sin 2kl sin2 kl shkx shklsin 2kl shk x l sin kl shkl shk x 2l

2sh2kl sin kl shkl cos t

Из изложенного выше следует, что найденные функции суммарных смещений точек полосы удовлетворяют всем граничным условиям на частотах собственных колебаний и условиям замкнутого волнового движенияпри минимальнойзатратеэнергиинаобразованиеновыхбегущих волн и, следовательно, являются собственными функциями задачи.

29

2.3.Определение частот собственных колебаний

спомощью балочных функций

Для оценки правильности выбранного подхода к решению задачи о собственных колебаниях подкрепленных структур рассмотрим колебания двухпролетной полосы с упругой промежуточной опорой (рис.2.1), используя один из классических методов, в частности, метод А.Н. Крылова, позволяющий автоматически выполнять условия сопряжения участков.

Двухпролетную балку в этом случае заменим однопролетной путем исключения промежуточной опоры и заменой ее действия на балку неизвестной силой (рис.2.2).

Рис. 2.2

Обозначая функции Крылова символами K1, К2, К3, К4 можем представить собственную форму колебаний в виде:

U (x) C1K1 kx C2K2 kx C3K3 kx C4K4 kx .

Здесь C1, C2, С3, С4 – постоянные;

K1 kx 12 chkx coskx ;

K2 kx 12 shkx sin kx ;

K3 kx 12 chkx coskx ;

K4 kx 12 shkx sin kx .

30