1990

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Решая эти уравнения, находим скорость после удара:

1' (m1 m2 ) 1 2m2 2 ,

m1 m2

скорость шаров после удара. Тогда

m1 1 m2 2 . m1 m2

Если шары движутся навстречу друг к другу , то они вместе будут продолжать двигаться в ту же сторону, в которую двигался шар,

21

обладающий большим импульсом. В частном случае, если массы шаров равны ( m1 m2 ), то

1 2 . 2

Пример: шары из пластилина (или глины), движущиеся навстречу друг другу.

В данном случае закон сохранения механической энергии не соблюдается. Вследствие деформации происходит «потеря» кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии. Эту «потерю» можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно 2 0 , то

Если m2 m1 , то 1 и почти вся кинетическая энергия при ударе

переходит в другие виды энергии. Поэтому для получения значительной

величины деформации тел, расположенных на наковальне, масса молотка должна иметь наименьшую массу по сравнению с наковальней.

1.4. Механика твердого тела

Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения счи-

тается физическая величина, равная сумме произведений масс и материаль-

ных) точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

n

J miri2 .

i 1

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится

интегрированию по всему объему тела

J V r2 dV ,

0

22

где – плотность тела, величина радиуса r в данном случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.

Теорема Штейнера

Момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моментуегоинерции JС относительнопараллельнойоси, проходящейчерез

центр масс C тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат

расстояния a между осями:

Момент силы (рис. 13) относительно неподвижной точки О

– физическая величина, определяемая векторным произведением радиусасилу F-вектора: r , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на

23

Момент силы относительно неподвижной оси z – скалярная величина

M Z , равная проекции на эту ось вектора M момента силы, определенного относительнопроизвольнойточкиОданнойосиz. Значениемомента M Z не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора M , то момент силы

представляется в виде вектора, совпадающего с осью:

M Z rF .

Кинетическая энергия вращения

Если абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси z (рис. 14), то при делении тела на элементарные объемы массами m1 m2 … mn ,

находящихся от оси на расстояниях r1 r2 … rn

можно оценить кинетическую энергию

инерции – мера инертности тела при вращательном движении.

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической энергии: dA dT ,

dA M Z d ,

где M Z – момент сил относительно оси z,

dT d JZ2 2 JZ d .

Тогда MZ d JZ d , или M Z ddt JZ ddt .

24

Учитывая, что ddt получаем уравнение динамики вращательного

движения твердого тела относительно неподвижной оси

MZ JZ .

Если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей

через центр масс, то справедливо векторное равенство

где J – главный моментинерции тела( моментинерции относительно глав-

ной оси).

Момент импульса относительно неподвижной точки О – физическая

направлением поступательного движения правого винта при его вращении

от r к p .

Момент импульса относительно неподвижной оси z

Скалярная величина LZ , равная проекции на эту ось вектора момента

импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Значение момента импульса LZ не зависит от положения точки О на оси z.

Закон сохранения момента импульса Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов

Таким образом, при описании вращательного движения имеет место

векторное равенство

Это уравнение дополнительно описывает закон динамики вращательногодвижения твердоготелаотносительно неподвижной оси. Согласно

25

закону производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Если система тел является замкнутой, то производная

импульса и момент внешних сил равны нулю M 0 , ddtL 0, откуда

Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени. Он является следствием изотропности пространства. Изотропность пространства обусловлена инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.

Деформация– изменениеформыиразмеровтвердыхтелподдействием внешних сил.

Пластическаядеформация– деформации, которыесохраняютсявтеле

после прекращения действия внешних сил.

Упругая деформация возникает, если после прекращения действия

внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму.

Закон Гука:

Относительная деформация пропорциональна напряжению

E ,

где Е – модуль Юнга, определяемый как напряжение, которое обуслов-

ливает относительное удлинение равное единице l 1. l

Закон Гука можно записывать также и в форме уравнений

где k – коэффициент пропорциональности (или жёсткость тела).

ПозаконуГукаабсолютноеудлинение l телаприупругойдеформации

пропорциональнодействующейнатело силе F . Данныйзаконвыполняется

только для упругих деформаций.

Все существующие виды деформаций (растяжение или сжатие, сдвиг,

изгиб, кручение) могут быть сведены к одновременно происходящим

деформациям растяжения или сжатия и сдвига.

Относительная деформация :

Количественная мера, характеризующая степень деформации и опреде-

ляемая отношением абсолютной деформации x к величине х. Величина х характеризует первоначальные размеры и форму тела.

26

Например, относительное изменение длины стержня (продольная деформация) равна

ll ,

аотносительное поперечное растяжение (сжатие)

` dd ,

где d – диаметр стержня. Механическое напряжение

Механическое напряжение – физическая величина, определяемая силой, действующей на единицу площади поперечного сечения тел:

FS .

Нормальное механическое напряжение n возникает под действием силы F n приложенной в направлении нормали к поверхности S , а

обеспечивает сила упругости Fупр .

Диаграмма нормальных механических напряжений (рис. 15) представляет собой график зависимости ( ) .

ющий возращение тела в первоначальное состояние после прекращения

действия силы, изобразится не кривой ВО, а прямой CF. Напряжение, при котором появляется заметное остаточная деформация ( 0,2% ), называется

пределом текучести ( Т ) – точка С на кривой.

В области CD деформация возрастает без увеличения напряжения, т.е. тело как бы «течет». Эта область называется областью текучести (или областью пластической деформации).

27

Материалы, для которых область текучести значительна, называют вязкими, для которых она практически отсутствует – хрупкими. При дальнейшем растяжении (за точку D) происходит разрушение тела.

Максимальное напряжение, возникающее в теле до разрушения,

называется пределом прочности ( Р ).

Диаграмма напряжений для реальных тел зависит от различных фак-

торов. Одно и то же твёрдое тело может при кратковременном воздействии силпроявлятьсебякакхрупкое, апридлительных, нослабыхсилахявляется текучим.

1.5. Тяготение. Элементы теории поля

Закон всемирного тяготения

Между двумя любыми двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними:

F G m1m2 , r2

где G=6,67·10-11 H·м2/кг2 – гравитационная постоянная. Эта сила называется

гравитационной (или силой всемирного тяготения). Силы тяготения всегда являются силами притяжения. Эти силы направлены вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие телаи по этой причине их называют центральными.

Сила тяжести

В системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массой m действует сила тяжести:

P mG RM2 mg ,

называемая силой тяжести (g=9,81 м/с2 – ускорение свободного падения).

Если пренебречь суточным вращение Земли вокруг своей оси, то сила

тяжести и силы гравитационного тяготения равны между собой:

P mg F mG RM2

(M − масса Земли; R − расстояние между телом и центром Земли). Эта формула дана для случая, когда тело находилось на поверхности Земли.

Вес тела

Сила, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору (или подвес), удерживающий тело от свободного падения

28

Сила тяжести действует всегда, а вес проявляется лишь тогда, когда на тело кроме силы тяжести действует еще другие силы. Если тело свободно

Невесомость – состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести.

Напряженность – векторная силовая характеристика поля тяготения

равная

g F . m

Работа в поле тяготения

Работа по перемещению тела массой т в поле тяготения на расстояние dR равна

Работа не зависит от траектории перемещения, т.е. силы поля тяготения

консервативны, а поле – потенциально.

Работа консервативных сил равна изменению потенциальной энергии системы с обратным знаком:

A П (П2 П1) П1 П2 .

При R→∞ потенциальная энергия П2→0. Поскольку первая точка

выбрана произвольно, потенциальная энергия равна

П G mMR .

Потенциал поля тяготения (φ) – физическая величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля.

. m

Потенциал – скалярная энергетическая характеристика поля тяготения.

Эквипотенциальные поверхности – поверхности, потенциал поля каждой точки которой одинаковый.

29

Связь между и g

mgdl md или g ddl .

Величина ddl характеризует изменение потенциала на единицу длины в направлении перемещения в поле тяготения.

Первая космическая скорость – это минимальная скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло двигаться вокруг Земли по круговой орбите, т.е. превратиться в искусственный спутник Земли.

Вторая космическая скорость – это наименьшая скорость, которую

надо сообщить телу для устранения воздействия силы притяжения Земли

(силы тяжести) и превращение его в спутник Солнца движущийся по параболической орбите в поле тяготения Земли. В этом случае работа совершаемая двигателем ракеты против сил тяготения должна быть равна

кинетической энергии спутника Солнца.

Третья космическая скорость – это скорость, которую необходимо

сообщить телу на Земле, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы, преодолев притяжение Солнца.

Третья космическая скорость равна 3 16,7 км/с.

30