1990

Упругие (механические) волны

Механические возмущения, распространяются в упругой среде в виде продольных или поперечных волн.

Продольные волны обеспечивают колебания частиц среды в направлении распространения волны и распространяются в твердых, жидких и газообразных телах, в которых происходит процесс возникновения упругих сил при деформации сжатия и растяжения плоскостей.

Поперечные волны обеспечивают колебания частиц среды в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.

Поперечные волны могут распространяться только лишь в твердых кристаллических телах. Упругие силы в них возникают за счёт явления деформации обусловленного сдвигом (перемещением) его плоскостей параллельно друг относительно друга.

Упругая гармоническая волна называется гармонической, если колебания частиц среды, возбуждаемые волной, являются гармоническими. Волновой процесс возникает за счёт энергии колебательного движения возникающей за счёт механической работы источника колебаний.

Гармоническая поперечная волна, распространяющаяся в простран-

стве со скоростью вдоль оси х, описывается зависимостью смещения частиц среды (x) от координаты х по закону

График функции (x) при начальной фазе 0 0 и фиксированном моментевремени t1 представленнарис.

86.

пространства, смещение частиц в которых одинаковое const ,

расстояние между двумя ближайшими частицами, колеблющимися в

расстояние, на которое распространяется фаза колебания за время равное периоду колебаний T.

141

График гармонических колебаний частиц среды возникающих точке пространства с координатой x1 , до которой дошла волна, представляет

собой зависимость смещения частиц среды от времени t (рис. 87)

Из графика (t) можно определять

Волновой фронт и волновая поверхность – понятия взаимосвязанные. Бегущие волны переносят энергию колебаний, возбуждаемых за счёт работы совершаемой источником колебаний. Перенос энергии осуществляется в каком-либо одном направлении, отсчитываемом от места расположения источников колебаний. Анализ процесса распространения волн проводится в прямолинейных пространствах вдоль осей х, у или z, либо по

направлениям определяемым ориентацией вектора радиуса r в плоских и объёмных пространствах.

Плоские волны формируют волновые поверхности в виде совокупностей параллельных плоскостей, перпендикулярных направлению распространения волны.

Сферические волны формируют волновые поверхности в виде концентрических сфер, перпендикулярных направлению распространения волны.

Уравнение плоской волны, распространяющейся в упругой среде вдоль положительного направления оси х записывают в виде

где (x,t) – смещение частиц упругой среды расположенных в точках с координатой х в момент времени t; А – постоянная амплитуда волны;

142

Скорость перемещения фазы волны или фазовую скорость волны

оценивают с учётом постоянства фазы волны t kx 0 const путём преобразований:

Таким образом, фазовая скорость волны k численно равна скорости

с которой осуществляется перенос в пространстве фазы волны .

Уравнение сферической волны, распространяющейся вдоль ра-

диуса r записывают в виде

(r,t) Ar0 cos( t kr 0 ) ,

где А0 – амплитуда колебаний, возбуждаемая в месте расположения источника колебаний; А Ar0 – переменная амплитуда волны зависящая от

расстояния r, отсчитываемого от источника колебаний до рассматриваемой точки среды.

Волновое уравнение – это дифференциальное уравнение в частных производных по координатам и времени:

Уравнения, описывающие плоские и сферические волны, находят из решений волнового уравнения.

Волновое уравнение для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х имеет вид:

143

Принцип суперпозиции (наложения) волн предусматривает, что при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют. Поэтому результирующее смещение частицы упругой среды в любой момент времени (x,t) Acos( t kx 0 ) равно геометрической сумме смещений,

которые получают частицы, участвуя в каждом из п слагающих волновых процессов.

n

(x,t) Acos( t kx 0 ) i (x,t) Ai cos( it ki x 0 ) .

i 1

Волновой пакет – суперпозиция (сумма) волн, мало отличающихся друг от друга по частоте ( max min ) 0 и занимающая в каждый

момент времени ограниченную область пространства с размером r . Групповая скорость – скорость движения группы (суммы) волн, обра-

зующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет, или другими словами скорость движения центра волнового пакета (набора волн). Эта скорость определяется операцией дифференцирования по волновому числу k циклической частоты пакета (набора) волн

(k) :

u d . dk

Групповая и фазовые скорости волн связаны уравнением

u d . d

Среда не обладает дисперсией, если циклическая частота волн от волнового числа k не зависит (k) . Кроме этого, в недиспергирующей

среде фазовая скорость волн распространяющихся в ней волн не зависит от длины волны и производная равна нулю dd 0 . При таких условиях групповая и фазовые скорости волн одинаковые u 0 .

144

Когерентность – согласованное существование в пространстве и во времени нескольких волновых или колебательных процессов.

Когерентные волны – набор из числа п волн, у которых частота или разница фаз постоянные величины:

1 2 3... n const , n n 1 const .

Интерференция волн – явление происходящее в каких – либо точках пространства. Оно связано с суммированием (сложением) двух (или нескольких) когерентных волн. При интерференции волн могут наблюдаться увеличение амплитуды или уменьшение амплитуды волн..

Явление, связанное со сложением двух когерентных сферических волн

точечными (малыми по размеру) источниками колебаний, описывается уравнением для квадрата результирующей амплитуды:

где A02 – квадрат амплитуды колебаний возбуждаемых источником.

Величина результирующей амплитуды А и её квадрата A2 в точках пространствазависитотразницыходаволн r r1 r2 иразницыначальных

фаз волн 01 02

Если k r 2m , то в точках пространства наблюдаются

интерференционныемаксимумыразличногопорядка( m 0,1,2... – номер

порядка). Амплитуда колебаний в таких точках равна А А0 А0 . r1 r2

Если k r (2m 1) , то в точках пространства наблюдаются

интерференционные минимумы различного порядка ( m 0,1,2... – номер

Стоячие волны Стоячие волны в среде возникают в связи с суммированием волны

распространяющейся от источника колебаний вдоль оси х в прямом направлении ПР(x,t) Acos( t kx) и волны распространяющейся к

источнику колебаний в обратном направлении ОБР(x,t) Acos( t kx) .

145

Обе волны имеют одинаковые амплитуды А, волновые числа k 2 , длины

волн и являются когерентными.

Уравнение стоячей волны записывают в виде

СВ ПР(x,t) ОБР(x,t) Acos( t kx) Acos( t kx) =

2Acoskxcos t 2Acos(2 x / )cos t ,

где k 2 – постоянная величина волнового числа; AСВ 2Acos(2 x / ) –

переменная амплитуда стоячей волны зависящая от координаты х. Пучности стоячей волны наблюдаются в точках среды, в которых

амплитуда волн максимальна AСВ 2A. Координаты этих точек xП определяют из уравнений 2A 2Acos(2 x / ) , 1 cos(2 x / ) , 2 x m ,

xП m 2 при m 0,1,2...... – номера пучностей стоячей волны.

Пучностистоячейволныотделеныдруготдругарасстояниямиравными

xП

2

Узлы стоячей волны наблюдаются в точках среды, в которых амплитуда волн равна нулю AСВ 0 . Координаты этих точек xУ определяют

Узлы стоячей волны отделены друг от друга расстояниями равными

xП 4 .

Образование стоячих волн можно проиллюстрировать на примере явления интерференции бегущей и отраженной волн возникающим в процессе механических колебаний упругого шнура прикреплённого к опоре наодномконце. Веществоилисредаопорывыполняетфункциюотражателя волны. Поэтому в зависимости от соотношения плотностей сред она может быть местом расположения узла или пучности стоячей волны. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения формируется пучность стоячей волны, если более плотная – узел.

Образование узла стоячей волны связано с тем, что волна, отражаясь от границы с более плотной средой, меняет фазу ПР t kx на противо-

положную ОБР t kx . Сложение колебаний вблизи границы происходит с противоположных направлений и в результате формируется узел

146

стоячей волны. Если волна отражается от менее плотной среды опоры, то изменения фазы волн не происходит и колебания на границы среды складываются с одинаковыми фазами. Результатом такого сложения является пучность стоячей волны.

Акустика – раздел физики изучающий процессы возбуждения, передачи нарасстоянияиприёманизкочастотныхмеханическихколебаний.

Звуковые (акустические) волны, возбуждаемые при низкочастотных колебаниях тел, распространяются в среде обладающей свойством упругости. Частоты колебаний тел изменяются в пределах диапазона

16 Гц 20 103 Гц. Волны указанных частот, воздействуя на слуховой

аппарат человека, вызывают ощущение звука. Инфразвуковые волны с частотами 16 Гц и ультразвуковые волны органами слуха человека не

воспринимаются.

Продольные звуковые волны возбуждаются в газообразных и жидких средах (телах). Это связано с тем, что упругие свойства этих сред обусловлены деформациями сжатия или растяжения сред.

Поперечные звуковые волны и продольные звуковые волны

возбуждаютсявтвердыхсредах(телах) из-затого, чтоихможно подвергать не только деформациям сжатия или растяжения плоскостей, но и деформациям сдвига плоскостей. Поэтому звуковые волны в твердых средах (телах) могут быть продольными и поперечными.

Интенсивность звука (сила звука) – физическая величина, опре-

деляемая средней по времени энергией W в ваттах , переносимой звуковой волной за время равное t1 1 c сквозь поверхность S 1 м2 ориентированной перпендикулярно направлению распространения волны:

I WSt .

Энергия колебаний, переносимая звуковыми волнами и интенсивность звука (силазвука) зависят от частоты колебаний изменяющейся в диапазоне

16 Гц 5 104 Гц.

Область слышимости человеческого уха (рис. 88) представляет собой строго определённый частотный набор интенсивностей звука (силы звука)

I W ( ) I ( )

St

147

Чувствительность человеческого уха различна для разных частот. Для каждой частоты колебаний существует наименьшая (порог слышимости) и наибольшая (порог болевого ощу-

Акустический спектр реального звука связан с существованием в нём гармонических колебаний с большим набором частот изменяющимся в

диапазоне 16 Гц 5 104 Гц. Этот набор частот, зависящий от природы

источника колебаний, может быть сплошным (присутствуют колебания всех частот) или линейчатым (присутствуют отдельные друг от друга определенные частоты).

ЭффектДоплера вакустикехарактеризуется изменениемсобственной частоты источника колебаний 0 от скоростей движения источника этих

колебаний и приемника друг относительно друга.

Собственная частота неподвижного источника звуковых колебаний равна 0 и скорость распространения звуковой волны в однородной среде

постоянные величины связанные друг с другом уравнениями 0 и

0 .

1.Источник и приемник неподвижные: ист пр 0 .

Звуковая волна, распространяясь в среде со скоростью 0 , дости-

гает приёмника звука и обеспечивает вынужденные колебания его звукочувствительного элемента на частоте равной частоте источника колебаний

2. Приемник колебаний движется со скоростью пр и приближается по прямой линии к неподвижному источнику колебаний ист 0.

При таком относительном движении скорость приёмника считают положительной по знаку пр 0 , скорость источника равной нулю ист 0.

Отсюда скорость распространения звуковой волны относительно приёмника увеличивается до ' пр . Длина звуковой волны не меняется

const и поэтому частота колебаний регистрируемая в приёмнике

148

3. Источник колебаний движется со скоростью ист и приближается по прямой линии к неподвижному приёмнику колебаний пр 0 .

При таком относительном движении скорость источника также принимают положительной по знаку ист 0.

В этом случае скорость распространения звуковой волны 0 зави-

сит только лишь от свойств среды. Поэтому волна, возбуждаемая источником колебаний, за время равное периоду колебания источника Т0 проходит

по направлению к приёмнику расстояние равное длине волныТ0 . Это расстояние не зависит

от состояния движения источника колебаний.

Источник колебаний проходит в направлении движения волны расстояние равное истТ0 (рис. 89).

волны уменьшится до величины ' истТ0 Т0 истТ0 ( ист)Т0 и это обстоятельство приведёт к увеличению частоты колебаний

регистрируемой приёмником до значения определяемого из уравнения

4. Согласно пунктов 2 и 3, общее уравнение для оценки частоты звуковых волн, учитывающее характер относительного движения по прямой линии источника и приемника, можно записать в виде

пр 0 .

ист

Верхний знак в этом уравнении берется, если при движении источника или приемника происходит их сближение, а нижний знак – в случае их взаимного удаления друг от друга.

Источники электромагнитных волн Электромагнитные волны следует рассматривать как перенос в

пространстве с конечной скоростью c 3 108 м/с меньшей или равной скорости света переменного электромагнитного поля. Электромагнитные

149

волны возникают от источников энергии, в которых возбуждаются электромагнитные колебания.

Существование электромагнитных волн следует из уравнений Максвелла и подтверждается опытами Герца.

Источниками электромагнитных волн могут быть любые электри-

ческие колебательные контура в виде проводников, в которых создаются переменные электрические токи.

Для возбуждения электромагнитных волн необходимо формировать в пространстве переменное электрическое поле или соответственно переменное магнитное поле.

Способность источника к излучению волн определяется его формой, размерами и частотой колебаний. Чтобы излучение играло заметную роль, необходимо увеличить объем пространства, в котором переменное электромагнитное поле создается. Поэтому для эффективного излучения электромагнитных волн закрытые колебательные контуры, в которых электрическое поле сосредоточено между обкладками конденсатора, а магнитное – внутри катушки индуктивности не используется.

Воткрытых колебательных контурах (вибраторах Герца) объем пространства, в котором создается переменное электромагнитное поле увеличен, распространяющееся по всему пространству, которое окружает вибратор.

Вдальнейшем использовали массовый излучатель, в котором короткие электромагнитные волны, возбуждаемые колебаниями электрических зарядов в атомах и молекулах, генерировались с помощью искр, проскакиваемых между металлическими опилками, взвешенными в масле.

Внастоящеевремясозданыгенераторынаэлектровакуумныхприборах, транзисторные генераторы и генераторы на интегральных микросхемах, которые позволяют получать электромагнитные колебания заданной (практически любой) мощности, гармонической (синусоидальной) и негармонической (импульсной) формы.

Скорость распространения электромагнитных волн не зависит от частоты электромагнитных колебаний . Эта скорость в вакууме равна

скорости света c 3 108 м/с.

Шкала электромагнитных волн

Электромагнитные волны, обладая широким диапазоном частот (длин волн), отличаются по способам их генерации и регистрации, а также по своимсвойствам, хотяследуетотметить, чтограницымеждуихразличными видами условны. Виды электромагнитных волн представлены в табл.1.

150