1990

Таким образом, ёмкостной элемент цепи С является мерой проводника, которая по закону Ома определяет величину ёмкостного сопротивления

UС 1C Im cos t по сравнению с колебаниями переменного тока.

Последовательное соединение резистора R, индуктивности L и

ёмкости C к источнику переменного напряжения U Um cos t представ-

напряженийнарезисторе URm , индуктив-

ности ULm и конденсаторе UСm (рис. 80), построенная относительно общей амплитуды силы тока Im , показывает, что индуктивные свойства в цепи

преобладают над ёмкостными. При таких условиях фаза колебаний тока I = I(t) меньше фазы колебаний напряжения на величину равную разнице

По закону Ома амплитуда напряжения на полном участке цепи равна

переменного тока, а x RL RC (L 1/ C) – реактивное сопротивление

131

цепи переменного тока. Отсюда амплитуда колебаний общей силы тока в цепи

На отдельных участках цепи L, C и R амплитуды напряжений, соответственно, равны

UmC ImRC Im 1C и UmR Im R .

Учитывая данные величины и векторную диаграмму можно оценить разницу фаз колебаний внешнего напряжения U Um cos t и колебаний

силы тока I Im cos( t )

Если ёмкостные свойства цепи, оцениваемые величиной реактивного сопротивления RC RL , 1/ C L , преобладают над индуктивными, то

разницу фаз колебаний внешнего напряжения U Um cos t и колебаний силы тока I Im cos( t ) оценивают из уравнения

При таких условиях колебания силы тока в цепи опережают по фазе колебания внешнего напряжения U Um cos t .

Резонанс напряжений (последовательный резонанс) возникает в цепи переменного тока при подключении её к источнику переменного

равенство выполняется (рис. 81, диаграмма) при соотношениях для амплитуд напряжений и амплитуды общей силы тока в цепи на реактивных

132

Численное значение резонансной частоты оценивают из соотношения

1/ резC резL peз 1/ LC рез 0 ,

где 0 1 / LC – собственная циклическая частота колебаний зарядов (си-

лы тока) в цепи колебательного контура, определяемая реактивными элементами L, C цепи при достаточно малой величине омического сопротивления R.

Таким образом, при резонансе соблюдается равенство 0 1 / LC ,

полное сопротивление цепи переменного тока z уменьшается до значения равного активному (омическому) сопротивлению z R и по этой причине амплитудасилытока Im увеличивается. Немонотонныезависимостиампли-

тудысилытокаотчастоты Im Im ( ) при R1 R2 R3 , названныеамплитуд-

но-частотными характеристиками цепи, представлены на рис. 82. Амплитуда силы тока достигает наи-

большегозначенияприрезонанснойчастоте рез 0 , а скорость изменения

амплитуды силы тока от циклической частоты dId m увеличивается при умень-

шении омического сопротивления R. При резонансе напряжений общее

сопротивление контура резко уменьшается до величины равной омическому сопротивлению z R. Колебательный

контур при таких условиях можно рассматривать как омическую нагрузку, подключённую к источнику переменного напряжения U Um cos t . На

133

этой нагрузке R происходит безвозвратная потеря электрической энергии путём её преобразования в тепловую энергию.

Кроме этого, преобразование энергии электрического поля WЭ СU2 С2 ,

запасаемой в ёмкостном элементе, в энергию магнитного поля WM LI22 ,

запасаемую в индуктивном элементе, и, наоборот, происходит внутри колебательного контура. Источник внешнего переменного напряжения U Um cos t в этом процессе не участвует и поэтому работает экономно.

лебанийёмкостноготокапревышаетамплитуду колебаний индуктивного тока ImС > ImL .

Рис. 84

134

Кромеэтого фазаколебаний общего тока I Im cos( t ) больше фазы колебания общего напряжения U Um cos t . Разница фаз , определяемая

из уравнения tg ImC ImL , положительная по знаку I U 0

ImR

Если фаза колебаний индуктивного тока в параллельной ветви больше фаза колебаний ёмкостного тока, то разница фаз отрицательная по знаку

I U 0.

Резонанс токов (параллельный резонанс) цепи переменного тока содержащейпараллельноподключенныекисточникувнешнегонапряжения U Um cos t индуктивный элемент L и ёмкостной элемент С возникает при

равенстве частот рез 0 1/ LC . При выполнении данного условия

амплитуды реактивных сил токов в ветвях колебательного контура уравниваются ImC = ImL, разница фаз у колебаний общего тока I I(t) и

общегонапряжения U U(t) становитсяравной нулю tg ImC ImL 0 0 и

ImR ImR

оба колебания становятся синфазными.

Амплитуда колебаний общего тока при резонансе становится достаточно малой величиной Im 0 . Это связано с резким увеличением

сопротивления всей цепи переменного тока.

Форма амплитудно-частотных характеристик Im Im( ) параллельного

колебательногоконтура(рис. 85) при общих омических сопротивлениях его ветвей R1 R2 R3 противоположна форме амплитудно-частотных характе-

выводам цепи.

Элементы цепи называют пассивными, если они получают энергию от сторонних источников переменной ЭДС m cos( t ). Пассивные

элементы выполняют функцию приёмников электрической энергии.

135

К пассивным элементам относятся омическое сопротивление R, индуктивность L и ёмкость C. Данные элементы выполняют роль коэффициентов пропорциональности (постоянных) в уравнении для напряжения (согласно закону Ома) UR RI , в уравнении для потокосцепления

LI и уравнении для электрического заряда Q CU .

Индуктивность L в цепи переменного тока согласно закону электромагнитной индукции может выполнять функцию дополнительного зависимого источника энергии равного ЭДС самоиндукции

для ЭДС самоиндукции и тока самоиндукции в таком источнике энергии совпадают.

Кроме этого, индуктивность L может выполнять функцию приёмника

энергии в виде ЭДС (или напряжение) S d L dI UL . При таких усло- dt dt

виях ЭДС действует противоположно положительному направлению выбранному для тока.

Вобоих случаях напряжение навыводах индуктивности L оценивают из

уравнения UL d L dI . dt dt

Мгновенное значение косинусоидального тока, поддерживаемое в цепи источниками переменной ЭДС (напряжения) колеблющимся по

тока.

Передача больших потоков электрической энергии в нашей стране осуществляется по промышленным и бытовым электрическим сетям низко частотными источниками переменной ЭДС (напряжения) m cos( t )

U Um cos( t )с амплитудами колебаний m Um 311,13 вольт. Частотаи циклическаячастота колебаний ЭДСи косинусоидального токав сетях,

136

Среднеквадратичное значение косинусоидального тока – постоян-

ная величина зависимая от амплитуды колебаний тока

Среднеквадратическоезначениепеременноготокаравное Iср.кв Im / 2 даёт возможность оценить теплоту, выделяемую в цепи переменного тока

Q I 2Rt .

Действующее значение косинусоидального тока равное его средне-

квадратическому значению вводится на основе равенства Q~ =Q ,

Iд2Rt = I 2Rt , где Iд Iср.кв Iд Im / 2 .

При анализе энергии и мощности в цепях косинусоидального тока, подключённых к источникам переменных электрических напряжений , U Um cos( t U ) используют понятие действующего значения косину-

соидального напряжения Uд Uср.кв Um / 2 .

Мощность в электрической цепи переменного тока колеблющегося по закону I Im cos( t I ) характеризуется скоростью передачи электри-

ческой энергии dWdt .

Мгновенная мощность косинусоидального тока равна сумме постоянной, не зависящей от времени величины и переменной косинусоидальной составляющей, изменяющейся во времени с частотой равной 2 в два раза большей, чем частота косинусоидального тока:

pp(t) IU Im cos( t ) Um cos t =

=ImUm cos( t )cos t ImUm (cos2 t cos sin t cos t sin ) =

=ImUm (cos cos(2 t U I )) .

Переменная составляющая мгновенной мощности за время равное полупериоду колебаний Т20 может изменять знак. Это указывает на суще-

ствование подвода энергии от источника ЭДС (напряжения) и его отвода. Из уравнения для мгновенной мощности тока p p(t) следует, что

передача энергии в цепи косинусоидального тока характеризуется тремя не зависящими от времени t значениями активной P, реактивной Qр и полной

137

S мощностей. Другими словами, мощности токаP, Qр и S отнесены кклассу

постоянных мощностей в цепи переменного тока.

Важное значение в сетях промышленного тока с частотой 50 Гц.

имеет вопрос об эффективной передаче больших потоков электрической энергии от источника переменной ЭДС (напряжения) U Um cos t к

приёмникам.

Эффективность передачи энергии с точки зрения экономии энергоресурсов, зависящая от разницы фаз колебаний напряжения и токаU I , определяется коэффициентом мощности цепи cos . Этот

параметр позволяет определять активную мощность цепи переменного тока P с учётом полной мощности S из уравнения Р S cos .

Из этого уравнения видно, что максимум активной мощности тока в цепи равный Р S достигается при U I 0 и коэффициенте мощ-

ностицепиравнымединице cos 1. Такиеусловиявцепидостигаютсяпри

резонансе.

Поэтому для экономного расходования энергоресурсов, подводимых от источников переменной ЭДС, необходимо увеличивать коэффициент мощности cos и приближать его значение к единице.

Активная мощность тока является средним значением мгновенной мощности тока

pp(t) IU Im cos t Um cos t

=ImUm cos( t )cos t ImUm (cos2 t cos sin t cos t sin ) ,

колебаний тока Т, соответственно, равны cos2 t 12 , sin t cos t 0.

Отсюда среднее значение мгновенной мощности тока обозначаемое символом Р равно

Um cos ImR и активную мощность тока можно оценивать из уравнения

138

P 12 Im2 R . Активную мощность тока Р как скорость передачи электри-

ческой энергии в цепи измеряют в ваттах (Вт) .

Полная мощность S и реактивная мощность Qр , рассчитываемые из уравнений S ImUm и Qр ImUm sin , имеют статус расчетных величин,

характеризующих передачу электрической энергии. В отличие от активной мощности Р величины S и Qр измеряют в вольт-амперах (В А) и в вольт-

амперах реактивных (вар) .

Понятие "полная мощность" S при анализе цепей переменного тока носит условный характер.

Резонансные явления в цепи, содержащей индуктивные L, ёмкостные элементы C и малые значения резистивных элементов RL 0 , RC 0

приводят к равенству нулю суммарной реактивной мощности приемников

Qр 0 .

При отсутствии резонанса в цепи подключённой к одному источнику ЭДС (напряжения) U Um cos t фазы колебаний общего тока в цепи и

напряжения на его выводах неодинаковые I U . Разница фаз при

L 1/ C по знаку положительная UI U I 0 , а при L 1/ C – отрицательная UI U I 0. Реактивная мощность развиваемая источ-

ником ЭДС (напряжения) при отсутствии резонанса не равна нулю Qр 0 .

Если в цепи возникает резонанс, то реактивная мощность равна нулю Qр 0 ифазыколебанийобщеготокавцепи I I (t) инапряжения U U (t)

на его выводах становятся одинаковыми I U , UI U I 0 .

При настройке цепи в резонанс обеспечивается равенство частот 0 ¸ где , 0 – циклическая частота вынуждающей ЭДС (напряжения) и

собственная частота контура. Это равенство может достигаться путем изменения частоты источника ЭДС (напряжения) U Um cos t

обеспечивающейвынужденныеколебаниятока, изменениеминдуктивности L или изменением емкости C контура.

Резонанс в последовательном контуре называют резонансом напряжений, а в параллельном – резонансом токов.

При резонансе напряжений сила тока в цепи имеет максимальное значение, а при резонансе токов – минимальное значение. Частота ЭДС (напряжения) обеспечивающая вынужденные колебания тока мало отличается от собственной частоты рассматриваемого колебательного контура 0 .

139

Таким образом резонансные явления в цепях переменного тока,

возникающие при совпадении собственной и вынужденной частот 0 , обеспечивают:

равенство фаз у колебаний общего тока и общего напряжения I U

иувеличение коэффициента мощности до единицы cos 1;

максимальную амплитуду колебаний тока Im max , в последовательном

контуре;подвод энергии от источника. вынуждающей ЭДС (вынуждающего

напряжения) в последовательный контур при максимальном значении активной мощности тока Pmax и минимальном значении реактивной

мощности Qp min ;

минимальное значение общей амплитуды колебаний тока Imin в

параллельном контуре;подвод энергии от источника. вынуждающей ЭДС (вынуждающего

напряжения) при минимальном значении активной мощности тока Pmin и максимальном значении реактивной мощности Qp max на каждой ветви контура.

3.2. Упругие волны

Источник колебаний возбуждает в месте своего расположения вынужденные колебания частиц среды.

Любой волновой процесс (волна) следует рассматривать как распространение колебаний в сплошной среде на расстояния, отсчитываемые от источника колебаний.

Колебания распространяются в заданной среде с конечной скоростью зависящей от свойств среды передаваясь от одной точки среды к другой. Чем дальше расположены частица среды от источника колебаний, тем позднее она начнет колебания. Чем больше это расстояние, тем больше фаза колебаний частиц среды. Следовательно, фазы колебаний частиц среды и источника отличаются друг от друга.

Сплошная среда – это непрерывно распределенное в пространстве вещество, которое обладает упругими свойствами.

Частицы такой среды при распространении волны не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. При распространении волны происходит передача от одних частиц к другим частицам среды состояния колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

140