1990

Уравнение электромагнитных колебаний для идеализированного контура оценивают по второму правилу Кирхгофа

UC S ,

где UC QC – напряжениенаконденсаторе; S L dIdt – ЭДСсамоиндукции

вконтуревозникающаявсвязисналичиемвцепиконтурапеременноготока

I I(t) .

Используя эти уравнения и применяя операции дифференцирования для

дифференциальное уравнение колебаний заряда в контуре в виде:

Решением этого уравнения являются колебания заряда на обкладках конденсатора изменяющиеся по гармоническому закону

заряда и период собственных колебаний заряда (уравнение Томсона). Учитывая, что I dQdt можносделатьвывод, чтогармоническиеколеба-

ния тока I I(t) Im cos( 0t 0 / 2) опережают по фазе колебания

заряда Q Q(t) Qm cos( 0t 0 ) на угол / 2 .

При таком условии существуют моменты времени, когда переменный ток I I (t) достигает максимального значения, а заряд Q Q(t) (или

напряжение UC UC (t) обращаются в нуль, и наоборот.

Свободные затухающие колебания – колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии в реальной колебательной системе с течением времени t уменьшается.

Простейший механизм уменьшения энергии колебаний – безвозвратное превращениеэнергиивтеплотуиз-затрениявмеханическихколебательных системах, омические потери и излучение электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.

Линейные системы – идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются. Различные по своей природе линейные системы описываются одинаковыми уравнениями, что позволяет осуществлять единый

122

подход к изучению колебаний различной физической природы. Закон затухающих колебаний определяется свойствами колебательных систем.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы записывают в виде

где s – колеблющаяся величина, описывающая физический процесс;r / 2m , R / 2L – коэффициенты затухания в случае механических ко-

записанного для пружинного маятника с учётом 2 закона Ньютона, силы

записанного для колебательного контура с учётом 2 закона Кирхгофа

123

электрического напряжения на конденсаторе UC QC , ЭДС самоиндукции

S L dIdt является уравнение

Q Qm e t cos( t 0 ),

где Qm e t , – соответственно, амплитуда и частота затухающих колебаний. Графики колебаний смещения x x(t) (рис. 73) и заряда Q Q(t) по

форме аналогичные друг другу.

Частота и период затухающих колебаний

Если затухание мало 2 02 , то частота затухающих колебаний равна

где – время релаксации или промежуток времени, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз; N – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды колебаний в е раз.

Добротность колебательной системы оценивают величиной Q,

которая при малых значениях логарифмического декремента T и

добротности контролируют по изменению формы амплитудно-частотной характеристики контура Im Im ( ) . Если приближение частоты к

резонансной рез 0 сопровождается резким увеличением амплитуды колебаний тока Im то это указывает на увеличение добротности контура.

Высокодобротный контур имеет повышенную способность избирательно реагировать на переменные по частоте источники вынуждающих ЭДС( ) (или напряжений U U ( )) и обеспечивать вынужденные колеба-

ния на строго определённой частоте равной собственной частоте 0 .

Вынужденные механические и электромагнитные колебания возни-

кают под действием внешней периодически изменяющейся силы

124

колеблющихсясчастотой , Fm , m – соответственно, амплитудыколебаний

вынуждающей силы и ЭДС. При вынужденных колебаниях синхронный подвод энергии от внешних источников компенсирует потери энергии колебаний. Амплитуда смещения массы А и амплитуда электрического заряда Qm и других электрических величин с течением времени t не

изменяются.

Дифференциальное уравнение колебательного движения пружин-

ного маятника с учетом вынуждающей силы F Fm cos t описывается уравнениями, полученными по 2 закону Ньютона

Решение этого уравнения записывают в виде

x A cos( t ) ,

F

где амплитуда вынужденных колебаний А m и начальная

( 02 2) 4 2 2

величинами, зависящими от частоты вынуждающей силы . Резонансная частота рез – частота вынуждающей силы, при которой

амплитуда смещения маятника достигает максимума, а начальная фаза становится равной нулю. Величину рез оценивают методом дифферен-

цирования по частоте переменной амплитуды А А( ) и начальной фазы

Механический резонанс (рис. 73) – явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при условии приближении частоты вынуждающей силы крезонансной частоте рез. Резонансная частота рез

125

попорядкувеличиныравнаилиблизкапозначениюсобственнойчастоте 0 колебательной системы

рез 02 2 2 0 .

Резонансные кривые – зависимости амплитуды А вынужденных колебаний от

частоты при различных частотах 0,0 и коэффициентах затухания 3 > 2 > 1 .

При частоте 0 амплитуды различных

по параметру вынужденных колебаний имеют одно и то же, отличное от нуля

предельное значение Апред Fm2 , называе- m 0

Вынужденные электромагнитные ко-

лебания в контуре – незатухающие колебания, существующие в контуре под воздействием внешней периодически изменяющейся ЭДС (переменной

ЭДС) m cos t .

При малом внутреннем сопротивлении источника ЭДС по сравнению с омическим сопротивлением r<<R переменная ЭДС практически равна электрическому напряжению U Um cos t , где m, Um – амплитуды

колебаний ЭДС и электрического напряжения.

Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний в контуре устанавливают по 2 закону Кирхгофа и закону Ома применяемыхдляпассивныхучастковконтураR, L, C иактивныхэлементов

в виде ЭДС самоиндукции S L dIdt и приложенного внешнего переменного электрического напряжения U Um cos t :

IR UC S U , IR QC L dIdt Um cos t ,

Решением последнего дифференциального уравнения является

Q Qm cos( t ) ,

где амплитуда колебаний заряда и тангенс начальной фазы колебаний

126

Фазаколебанийсилытока I t 2 , оцениваемаяизсоотношений

заряда Q t . Поэтомуразницафазуколебанийсилытокаиколебаний

колебаний приложенного внешнего электрического напряжения U t на

Переменный ток – это установившиеся вынужденные электромагнитные колебания электрических зарядов Q в цепи, содержащей резистор R,

катушку индуктивности L и конденсатор C.

Цепь переменного тока содержит активный элемент (источник

(омическое сопротивление) R, индуктивность L и конденсатор C.

Квазистационарность переменного тока обусловлена равенством мгновенных значения силы тока во всех участках цепи. Данное свойство подтверждается достаточно медленными изменениями силы тока по сравнению со скоростью передачи электромагнитных возмущений по

участкам цепи равной скорости света с 3 108 м/c.

При рассмотрении электромагнитных колебаний закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа раннее уже использовались. Поэтому их положения применяют и для мгновенных значений квазистационарных (переменных) токов.

127

тока I = I(t) одинаковые U I t и поэтому разница фаз у колебаний тока

на резисторе UmR и амплитуды силы тока Im имеет вид (рис. 75):

Рис. 75

Такимобразом, резистор R являетсямеройпроводника, котораяпозакону Ома определяет величину омического сопротивления влияющего на амплитуду переменного тока Im и устанавливает фазу переменного тока равной

фазевнешнегопеременногоэлектрическогонапряжения U U R U (t) , обес-

печивающего поставку энергии в цепь от источника идеальной ( r R )

внешней ЭДС m cos t Um cos t U R Um R cos t .

Кроме этого, омическое сопротивление проводников R определяет величину безвозвратных потерь электрической энергии в процессе её преобразования в теплоту. Теплота по закону Джоуля – Ленца оценивается согласно уравнению

тока (см. далее ниже).

Цепь переменного тока текущего через индуктивность L под действием внешнего источника переменного напряжения

U U L Um L cos t , представлена на рис. 75.

Если напряжение, приложенное к концам индуктивного элемента цепи L равно U Um cos t , то в ней возникнет переменный

ток I = I(t). Этот ток по закону электромагнитной индукции создаёт в цепи новый источник энергии

128

закону Кирхгофа для замкнутого контура цепи S U UL UmL cos t .

Отсюда L dIdt UmL cos t , dI ULmL cos tdt .

Интегрируя последнее уравнение, получаем, что колебания силы тока описывает уравнение

где Im UmL UmL – амплитуда колебаний силы тока; RL L – индуктив-

L RL

ное сопротивление.

Сравнивая фазу U L t амплитуды электрического напряжения на индуктивности L, колеблющегося по закону U L UmL cos t LIm cos t и

сделать вывод о наличии разницы фаз у переменного напряжения и пе-

другимисловами, переменныйтокI текущийчерезиндуктивностьL отстаёт по фазе от переменного напряжения U UL .

Таким образом, индуктивный элемент цепи L является мерой проводника, определяющей величину индуктивного сопротивления RL L и

из-за наличия индуктивного элемента L в цепи переменного тока I = I(t), обеспечивает существование разницы фаз UI U I 2 у колебаний внешней идеальной ЭДС (или внешнего напряжения)

129

ствием внешнего источника переменного напряжения U UС UmС cos t

представлена на рис. 77.

Напряжение, приложенное к концам ёмкостного элемента цепи С U Um cos t , обеспе-

чивает колебания заряда Q на ёмкости, описыва-

где Im CUmC – амплитуда колебаний силы тока.

По закону Ома амплитуда колебаний силы тока равна Im UmC / RC

поэтому реактивное или ёмкостное сопротивление RC 1С и убывает с

увеличением частоты колебания. При 0 сопротивление равно RC и этообстоятельство указывает оневозможностисуществованияпостоянного

130