1990

Величина плотности тока смещения в вакууме равная 0 Еt не только

обусловлена изменением электрического поля во времени, но и также возбуждает магнитное поле.

Это утверждение Максвелла принципиально новое. Оно указывает на

Согласно Максвеллу, полный ток в любой среде всегда замкнут. Поэтому. между концами проводника переменный ток проводимости обрывается и ему на смену приходит особый ток в вакууме и диэлектрике ток смещения. Ток смещения замыкает ток проводимости.

Из всех физических свойств, присущих току проводимости, Максвелл приписал току смещения только лишь одно – способность создавать в

окружающем пространстве магнитное поле.

Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н учитывает введение Максвеллом новой физической величины, названной плотностью полного тока

Полная система уравнений Максвелла для стационарного электри-

ческого и магнитного поля содержит семь уравнений. В состав их входят четыре уравнения в интегральной форме (1-4) и трое материальных уравнений (5-7):

1. Уравнение для циркуляции электрического поля по замкнутому пространственному контуру ГЕ Еdl 0 указывает, что циркуляция напря-

L

жённости электростатического поля по замкнутому контуру L всегда равна нулю. Это обстоятельство объясняет отсутствие замкнутых силовых линий

напряжённости электростатического поля E в изучаемой среде.

111

указывает насуществование у электростатического поля источниковв виде положительных по знаку электрических зарядов Q и стоков

электростатического поля в виде отрицательных по знаку электрических зарядов Q . Кроме этого, оно дополнительно подтверждает, что силовые

линии электрического поля имеют начало на положительных по знаку зарядах Q и конец на отрицательных по знаку зарядах Q .

замкнутому контуру L в изучаемой среде равна суммарному постоянному току I охватываемому замкнутым контуром L

S

отсутствиеу стационарногомагнитногополя источникови стоков. Поэтому в природе не существуют магнитные заряды. По этой причине силовые линии магнитного поля всегда являются замкнутыми кривыми в пространстве.

Величины, входящие в уравнения Максвелла №1, №2, №3 и №4 не являются независимыми и связаны друг с другом материальными уравнениями

Материальные уравнения представлены тремя уравнениями:

1. Уравнение для вектора электрической индукции (электрическое

смещение) D = E .

2.Уравнение для вектора магнитной индукции B = 0 H .

3.Уравнение для плотности силы тока j = E .0

112

ПолнаясистемауравненийМаксвелладляэлектромагнитногополя в дифференциальной форме:

изучаемой среде существуют источники и стоки электрического поля. Роль источников или стоков электрического поля выполняют области вещества, характеризуемые объёмными плотностями зарядов положительными по

знаку dVdQ 0 и отрицательными по знаку dVdQ 0 .

113

Отсутствие дивергенции у векторного поля H подтверждает, что в изучаемой среде не существуют источники и стоки у магнитного поля.

Полная система уравнений Максвелла для стационарных полей (электростатического и магнитостатического) в дифференциальной форме:

подтверждает отсутствие вихревых свойств у электростатического и магнитостатического поля.

Меройвихревыхсвойстввекторныхполей E и H являютсяциркуляции этихполейвизучаемойсредепозамкнутомуконтуруL. Поэтомуотсутствие

вихревых свойств у векторных полей E и H описывается равенствами нулю циркуляций электростатического и магнитостатического поля:

ГЕ Еdl = 0 и ГН Hdl 0 = 0,

где dl – элемент длины контура L в изучаемой среде.

Наличие дивергенции у векторного поля E подтверждает, что в изучаемой среде существуют источники и стоки электростатического поля. Роль источников или стоков электрического поля выполняют области

вещества характеризуемые объёмной плотностью заряда dVdQ 0 и

dQ 0 .

dV

Равенство нулю дивергенции у векторного поля H подтверждает, что

магнитостатическое поле в изучаемой среде не содержит источники и стоки этого поля.

Источниками электрического поля E могут быть либо электрические

Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это обстоятельство объясняется существованием в природе электрических зарядов Q и отсутствием зарядов магнитных.

114

Если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла – интегральная и дифференциальная – эквивалентны. Однако, когда имеются поверхности разрыва – поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений является более общей.

Чтобыдостичьматематическойэквивалентностиобеихформуравнений Максвелла, дифференциальную форму дополняют граничными условиями, которым должно удовлетворять электро-магнитное поле на границе раздела двух сред:

существует единое электромагнитное поле.

115

3.КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

3.1.Механические и электромагнитные колебания

Колебания – это движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостьюво времени t черезинтервалравный периоду колебаний Т0.

Колебания зависят от природы материальных объектов, участвующих в таких движениях, и поэтому их подразделяют на механические, электромагнитные и др. При изучении колебательных процессов различных объектов используют одинаковые формы уравнений для физических величин и одинаковые характеристики описывающие их свойства.

Свободные (собственные) колебания какой-либо физической вели-

чины s, совершаются за счет первоначально сообщенной энергии и при последующем отсутствии внешних воздействий на систему.

Гармонические колебания какой-либо физической величины s самый простой вид колебаний. Такие колебания описываются уравнениями в форме тригонометрических функций синуса или косинуса. В пособии (рис. 67) используется косинусоидальная функция

s A cos A cos( 0t 0 ) .

Рис. 67

Основными характеристиками гармонических колебаний физической величины s являются:А – постоянная амплитуда колебаний (максимальное значение s); 0t 0 – переменное угловое перемещение амплитуды

колебаний или переменная фаза колебаний; 0 – постоянная величина

угловогоперемещенияамплитудыколебанийилиначальнаяфазаколебания на момент времени t0 0 ; v0 , 0 , Т0 – постоянные частота, угловая частота

и период колебаний.

Частота колебаний v0 , угловая частота колебаний 0 и период T0 свя-

116

Анализ гармонических колебаний физических величин колеблю-

щихся с одинаковой частотой 0 const и с различными начальными

фазами удобно проводить методом изображения векторов их амплитуд Аi на плоских графиках.

Вектор амплитуды Аi проводят из произвольной точки О, расположеннойнагоризонтальнойосих, противчасовойстрелкиподуглом 0 равными начальным фазам колебаний (рис. 68) и считают, что он вращается против часовой стрелки с угловой частотой 0 .

Рис. 68

При таких условиях проекция вектора А на ось x позволяет оценивать изменение величины s в пределах значений от +А до –А по закону описываемому уравнением s A cos( 0t 0 ) .

Графический метод анализа гармонических колебаний широко используется на практике для суммирования двух однонаправленных колебаний одинаковых частот 1 = 2 = 0 (рис. 69).

Кинематические уравнения механических гармонических колеба-

ний описывают:

смещение точки x A cos( 0t 0 ),

скорость точки x A 0 sin( 0t 00 ) A cos( 0t 0 / 2) ,

117

скорости и ускорения.

Из уравнений видно, что фаза колебаний скорости x отличается от фазы колебаний смещения х на 2 , а фаза колебаний ускорения аx на . В

моменты времени, когда x0 =0, скорость x приобретает наибольшие значения m A 0 . Смещение x достигаетмаксимальногоотрицательного значения A в моменты времени, когда ускорение имеет наибольшее положительное значение a m A 02 .

Динамическое уравнение механических гармонических колебаний

описывает силу, действующую на колеблющуюся материальную точку:

F ma x mA 02 sin( 0t ) m 02 Asin( 0t ) m 02 x .

Этасила изменяетсяпропорционально смещениюматериальнойточки х

и направлена в сторону противоположную смещению x .

Кинетическая энергия точки имеет постоянную и переменную составляющие

Потенциальная энергия материальной точки совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F kx также имеет постоянную и переменную составляющие

Полная энергия материальной точки совершающей гармонические колебания равная сумме кинетической и потенциальной энергии постоянная величина

E K П mA2 02 .

2

Гармонический осциллятор – система, совершающая колебания,

Примерами таких систем являются:

1. Пружинный маятник – груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине (с массой малой по сравнению с массой груза) с

118

жесткостью k и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F kx .

Уравнение движения маятника получают из 2 закона Ньютона

частота колебания маятника и период собственных колебаний маятника. 2. Физический маятник – любое твердое тело, совершающее колеба-

ния вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через

ной силы приложенный к маятнику.

Если маятник отклонён из положения равновесия на малый угол , то момент возвращающей тангенциальной силы равен M mgl . По закону

динамики

M I , mgl I d 2 2 . dt

углового перемещения, собственная циклическая частота колебания маятника, период собственных колебаний маятника; L – приведенная длина физического маятника (длина математического маятника, который колеблется с физическим маятником синхронно).

119

Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от оси подвеса на расстоянии приведенной длины L, названа центром качаний физического

маятника. Точки подвеса О и центр качания О' обладают свойством взаимозаменяемости.

3. Математический маятник рассматривают как частный случай физического маятника в предположении, что его масса m сосредоточена в центре масс.

Поэтому математический маятник – идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Примером такой системы является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.

Период малых колебаний математического маятника равен

где l – длина маятника; g — ускорение свободного падения.

Уравнение для оценки периода колебаний Т0 математического

маятника можно получить из уравнения для периода колебаний физического маятника с учётом момента инерции для математического

Колебательный контур представляет собой электрическую цепь, состоящую из индуктивности L, ёмкости С и резистора с сопротивлением R.

В контуре происходит возбуждение и поддержание электромагнитных колебаний заряда Q, силы тока I, напряжения на конденсаторе UC,, напряжения на индуктивности равного ЭДС самоиндукции UL S

напряжённости электрического поля Е, напряжённости магнитного поля Н. Колебания данных величин обусловлены периодическими процессами связанными с взаимными превращениями энергии электрического поля

аналогия между расположениями массы маятника m , зарядов Q и токов I, а также энергиями электромагнитных колебаний Wэ, Wм и механических колебаний П, К изображены на рис. 71.

120