1977

Подставив полученное соотношение в уравнения (*) и приняв во внимание, что 1 2 3 3 0 , а 1 2 3 3 0 , получим окончательно:

Уравнения (3.10) называются обобщённым законом Гука в форме Ляме в главных осях.

Поскольку направление главных осей заведомо неизвестно, то полученные зависимости обобщённого закона Гука (3.9) и (3.10) целесообразно преобразовать к произвольной декартовой системе координат OXYZ . Для этого воспользуемся формулами преобразования компонент напряжений (1.25), (1.26) и деформаций (2.29) к новым осям. В нашем случае роль старых осей играют главные оси 1, 2, 3. Новые оси обозначим X ,Y , Z. С

учётом этого выражения (1.25), (1.26) и (2.29) можно переписать в следующем виде:

Подставим в соотношение (3.111) значения главных напряжений из зависимостей (3.10):

x 2G 1l12 3 0l12 2G 2m12 3 0m1 2G 3n12 3 0n1

2G 1l12 2m12 3n12 3 0 l12 m12 n12 .

Учитывая формулу (3.121), получим x 2G x 3 0. Подобным образом можно получить ещё два соотношения:

61

Подставим в соотношение (3.114) значения главных напряжений из зависимостей (3.10):

xy 2G 1l1l2 3 0l1l2 2G 2m1m2 3 0m1m2 2G 3n1n2 3 0n1n22G 1l1l2 2m1m2 3n1n2 3 0 l1l2 m1m2 n1n2 .

Учитывая формулу (3.124), получим xy G xy . Подобным образом можно получить ещё два соотношения:

Выпишем сводку всех шести уравнений обобщённого закона Гука в произвольных декартовых осях координат:

Уравнения (3.13) называются обобщённым законом Гука в форме Ляме.

Разрешим уравнения (3.13) относительно деформаций. В первой группе уравнений (3.13) перенесём относительные линейные деформации в левую часть, а всё остальное оставим в правой:

Теперь сложим полученные соотношения:

x y z 21G x y z 3 x y z ,

откуда, после приведения подобных слагаемых, получаем:

Принимая во внимание параметры Ляме, получаем:

62

Подставив соотношение (3.14) в правую часть формул (**) и присоедив вторую группу соотношений (3.13), в которой угловые деформации выражены через касательные напряжения, после элементарных преобразо-

ваний окончательно получим обобщённый закон Гука в произвольных осях декартовых координат:

Следует обратить внимание на то обстоятельство, что при 0,5

параметр Ляме . В этом случае пользоваться соотношениями обобщённого закона Гука в форме Ляме (3.13) затруднительно. Поэтому целесообразно закон упругости, устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями, записать в виде соотношений, в которых объёмная деформация, пропорциональная средней деформации 0 ,

была бы выделена в явном виде.

Рассмотрим соотношение (3.14). Здесь в левой части записано выражениедляобъёмнойдеформации(см. формулу(2.28)), авправойчасти стоит величина, пропорциональная среднему напряжению, то есть формулу (3.14) можно записать в следующем виде:

Исследуя формулу (3.16), получаем два существенных замечания:

1.Коэффициент поперечной деформации 0 соответствует материалу, не изменяющему объём при деформации (несжимаемый материал).

2.Коэффициент поперечной деформации 0 12 , иначе при всесто-

роннем гидростатическом растяжении ( 0 0) объём тела уменьшится

( 0 ), чего в природе быть не может.

Итак, формула (3.16) устанавливает связь между объёмной деформацией и средним (гидростатическим) напряжением.

Для получения закона упругости, соответствующего изменению формы тела, нужно из первых трёх уравнений (3.13) вычесть равенство (3.16). В результате получим:

63

Равенства (3.17) устанавливают связь между компонентами девиаторов напряжений и деформаций. Связь между компонентами шаровых тензоров напряжений и деформаций устанавливается соотношением (3.16), которое мы запишем в следующем виде:

§3.3. Потенциальная энергия деформации

Под воздействием внешних сил упругое тело деформируется, то есть возникают перемещения его точек. Такого рода перемещения присущи и точкам приложения внешних сил. Значит, внешние силы совершают некоторую работу. Эта работа расходуется на накопление внутренней потенциальной энергии, полученной за счёт работы внутренних напряжений. Часть работы внешних сил, перешедшую в тепло, не учитываем.

Будем считать, что работа внешних сил полностью переходит в потенциальную энергию деформации упругого тела. Внутреннюю потенциальную энергию называют работой деформации.

Рассмотрим медленное нагружение твёрдого тела [31] (то есть кинетической энергией частиц тела пренебрегаем). В этом случае можно считать, что на любом этапе нагружения зависящая от времени внешняя нагрузка находится в равновесии с внутренними упругими силами.

Рассмотрим элементарный параллелепипед с рёбрами dx,dy,dz , параллельными главным осям. Напряжения 1, 2, 3 , умноженные на площади

соответствующих граней, можно трактовать как внешние силы. Эти силы произведут работу на перемещениях, определяемых деформациями

1, 2, 3 .

В силу медленного нарастания внешней нагрузки, напряжения, являющиеся функциями координат, будут зависеть ещё и от времени, прошедшего с начала нагружения.

Введём относительное время

Tt .

Здесь Т – период нагружения, 0 t T , 0 1.

Тогда в произвольный момент времени t напряжения и деформации

64

(i 1, 2, 3) – окончательные значения главных напряжений и деформаций в

конце процесса приложения внешнего воздействия.

Вычислим работу сил, действующих по граням элементарного параллелепипеда. В произвольный момент времени на гранях элементарного параллелепипеда действуют силы 1 dydz, 2 dxdz, 3 dxdy; длина

Силы (***) на перемещениях (****) произведут работу: dU 1 d dydz 1d dx 2 d dxdz 2d dy

3 d dxdy 3d dz

1 1 2 2 3 3 d d dxdydz.

Раскрывая в полученном выражении скобки и пренебрегая величиной d 2 , получим выражение работы внутренних сил за промежуток времени d :

dU 1 1 2 2 3 3 d dxdydz.

Работа за весь период нагружения будет равна:

Работа, отнесённаякединицеобъёма, – удельнаяпотенциальнаяэнергия деформации – будет равна:

Используя обобщённый закон Гука в главных осях (3.9), выражение для удельной потенциальной энергии деформации (3.19) можно записать в терминах главных напряжений:

65

или в терминах инвариантов тензора напряжений:

Перейдём в формуле (3.21) от главных напряжений к напряжениям в произвольных осях декартовых координат. Тогда

Используя закон Гука в форме Ляме в главных осях (3.10), выражение для удельной потенциальной энергии (3.19) деформации можно записать в терминах главных деформаций:

или в терминах инвариантов тензора деформации:

Удельная потенциальная энергия деформации может быть разделена на удельную потенциальную энергию изменения объёма тела Uоб, соответ-

ствующую шаровым тензорам напряжений и деформаций, и удельную потенциальную энергию изменения формы тела Uф , соответствующую

девиаторам напряжений и деформаций:

U0 U об Uф .

66

Величину Uоб, принимая во внимание (1.21) и (2.32), можно найти так:

Uобdxdydz 12 0dxdy 0dz 0dydz 0dx 0dzdx 0dy ,

то есть

Удельную потенциальную энергию изменения объёма Uоб, используя

соотношение (3.16), можно записать либо в терминах напряжений, либо в терминах деформаций:

Удельная потенциальная энергия формоизменения находится путём вычитания из удельной потенциальной энергии деформации удельной потенциальной энергии изменения объёма. На основании соотношения (3.20) получим формулу для удельной потенциальной энергии формоизменения в терминах главных напряжений:

Uф U 0 Uоб 21E 1 2 3 2 2 1 1 2 2 3 3 1

16E 1 2 2 2 3 2 3 1 2 .

Если удельную потенциальную энергию деформации взять в терминах главных деформаций (3.23), то получим формулу для удельной потенциальной энергии формоизменения в терминах главных деформаций:

Uф U 0 Uоб G 11 2 1 2 3 2 2 1 2 2 3 3 1

При рассмотрении вопросов прочности упругих тел будет использоваться формула для удельной потенциальной энергии формоизменения,

67

записаннаявнапряженияхиотнесённаякпроизвольнойдекартовойсистеме координат OXYZ :

Если взять частные производные от выражения для удельной потенциальной энергии (3.22) по напряжениям, то получим соответствующие деформации:

Выражения (3.32) называются формулами Кастильяно.

Если взять частные производные от выражения для удельной потенциальной энергии (3.25) по деформациям, то получим соответствующие напряжения:

Выражения (3.33) называются формулами Грина.

Поскольку и формулы Кастильяно, и формулы Грина связывают между собой напряжения и деформации, им можно приписать смысл физического закона.

68

Глава 4. ПОСТАНОВКА И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

§4.1. Общая система уравнений теории упругости

Общая система уравнений теории упругости включает три группы соотношений.

1. Геометрические соотношения (2.12):

Б) В виде обобщённого закона Гука в форме Ляме (3.13):

69

Решениелюбойзадачитеорииупругостинаходятпутёминтегрирования дифференциальных уравнений (4.1)–(4.2) совместно с алгебраическими уравнениями (4.3) или (4.4). Найденные 15 функций декартовых координат

должны удовлетворять граничным условиям, заданным на контуре тела: А) В напряжениях:

В соотношениях (4.6) x0 , y0 , z0 декартовы координаты точек поверхности упругого тела; u0 , v0 , w0 компоненты перемещения точек поверх-

ности тела.

Уравнения (4.1)-(4.9) получены при существенном допущении о малости рассматриваемых деформаций. Следствием этого является, например, тообстоятельство, чтоуравненияНавьебылиполученыбезучёта того, что при приложении сил к упругому элементу он неизбежно претерпевает формоизменение и местоположения сил до и после деформации оказываются нетождественными. Строго говоря, точность уравнений равновесия (4.2) соблюдаются только тогда, когда свойства рассматриваемого тела приближаются к свойствам абсолютно твёрдого (недеформируемого) тела, или в условиях пренебрежимо малых нагрузок. Кроме того, в линейной теории упругости не учитывается тот факт, что в статических уравнениях (4.2) координаты, по которым производится дифференцирование, взятыдлясостояния, последовавшегозадеформацией, а в геометрических уравнениях (4.1) – для состояния до деформации. При малых деформациях, с которыми оперирует линейная теория упругости, высказанные неточности и допущения, как показывают более глубокие и тщательные исследования, не оказывают существенного влияния на точность решения прикладных задач.

Решение задач теории упругости с точки зрения математики сводится к решению краевой задачи для дифференциальных уравнений в частных

70