1977

Необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных от этого выражения по l, m и n :

Система линейных алгебраических уравнений (2.34) относительно неизвестных направляющих косинусов l, m и n является однородной и,

следовательно, имеет ненулевые решения, когда её определитель равен

S3 x y z 14 2xy z 2yz x 2zx y xy yz zx .

Корни кубического уравнения (2.35) 1, 2, 3 определяют главные деформации 1, 2, 3. Поскольку тензор деформации симметричен

относительно главной диагонали, все корни уравнения (2.35) вещественны. Для решения уравнения (2.35) воспользуемся тригонометрической

формулой Виета. Вычисляем вспомогательные величины:

51

Так как все три корня уравнения (2.35) вещественные, то D 0 , и тогда

Замечание. Индексы при главных деформациях проставляются так, чтобы выполнялись неравенства: 1 2 3 .

Для определения направляющих косинусов главных направлений подставим главные деформации 1, 2, 3 по очереди в систему (2.34) и, ис-

пользуя соотношение lk2 mk2 nk2 1, получим три совокупности направляющих косинусов:

Доказано, что совокупность нормалей, задаваемых направляющими косинусами (2.38), образует прямоугольную систему координат, так как их попарное скалярное произведение равно нулю:

l1l2 m1m2 n1n2 0; l2l3 m2m3 n2n3 0; l3l1 m3m1 n3n1 0.

Покажем, что корни уравнения (2.35), которые мы обозначили1, 2, 3 , являются искомыми главными деформациями 1, 2, 3 . Дей-

ствительно, подставим в уравнения (2.34) первый корень 1 и соответствующие ему направляющие косинусы l1, m1, n1 . Затем умножим первое

из этих уравнений на l1, второе – на m1, третье – на n1 . Сложим уравнения. После элементарных преобразований получим:

xl12 ym12 zn12 xyl1m1 yzm1n1 zxn1l1 1(l12 m12 n12 ) .

52

Сопоставляя полученное выражение с формулами (2.29), можно записать

Из формул (2.39) и (2.40) следует, что относительная деформация 1 определяется направляющими косинусами l1, m1, n1 ; относительная де-

формация 2 – направляющими косинусами l2 , m2 , n2 ; относительная деформация 3 – направляющими косинусами l3, m3, n3 . Но эти направления,

согласно (2.34), и есть направления главных деформаций, а следовательно,1, 2, 3 есть главные деформации 1, 2, 3 .

Таким образом, в любой точке упругого тела существует три взаимно перпендикулярных направления, для которых углы сдвига равны нулю, а линейные деформации имеют экстремальные значения.

В главных осях тензор деформации имеет вид:

Очевидно, величины главных деформаций, так же, как и величины главных напряжений, не могут зависеть от выбора координатных осей. Вследствие этого коэффициенты кубического уравнения (2.35) S1, S2 , S3

также останутся инвариантными при повороте осей координат. Они называются первым, вторым и третьим инвариантами тензора деформаций.

53

§2.8. Уравнения неразрывности деформаций

Неразрывность деформаций определяется условием, по которому бесконечно малые элементарные параллелепипеды с рёбрами dx,dy,dz,

выделенныевупругомтеле(рис. 23а), должныбытьтакдеформированыпод действием внешних сил, чтобы из них можно было получить сплошное (без разрывов) деформированное тело (рис. 23б). Если компоненты тензора деформации произвольны в каждой точке тела, то из деформированных параллелепипедов невозможно будет сложить сплошное непрерывное тело: между отдельными параллелепипедами могут быть пустоты, либо габариты двух соседних параллелепипедов не совпадут (рис. 23в).

Рис. 23

Если в каждой точке упругого тела известны перемещения как функции пространственных координат, то линейные и угловые деформации однозначно определяются из геометрических соотношений О.Коши (2.12). Если же по заданным деформациям нужно найти перемещения, то возникаютзатруднения, ибоперемещенийтри, агеометрическихуравнений шесть, причём структура их такова, что одну и ту же компоненту перемещений можно, вообще говоря, определить из трёх дифференциальных уравнений (см. формулы (2.12)).

Для получения однозначных значений перемещений между деформациями должна существовать взаимная связь. Эта связь устанавливается

уравнениями совместности или сплошности.

Если компоненты тензора деформации не будут удовлетворять уравнениям сплошности, то перемещения, определяемые геометрическими уравнениями (2.12), не будут непрерывными. Разрывность перемещений означает нарушение непрерывности (сплошности) материала упругого тела – основного предположения (гипотезы) теории упругости.

Перейдёмкнепосредственномувыводууравненийсовместностидеформаций. Идея построения уравнений совместности состоит в том, чтобы из геометрических уравнений (2.12) исключить перемещения. Эту операцию

54

впервые провёл Сен-Венан и получил шесть соотношений между деформациями, которые и называются уравнениями совместности или уравнениями неразрывности деформаций. Эти шесть уравнений можно разбить на две группы. В первую группу входят уравнения, устанавливающие связь между линейными и угловыми деформациями, относящимися к одной плоскости; во вторую группу – связи между деформациями в разных плоскостях.

ВгеометрическихсоотношенияхО.Коши(2.12) продифференцируем x

Отсюда следует первая зависимость между деформациями:

2 2x 2 2y 2 xy .y x x y

Аналогично можно получить ещё две зависимости первой группы уравнений неразрывности деформаций:

Для получения зависимостей второй группы, опять же используя геометрические соотношения О.Коши (2.12), составим производные:

Аналогично могут быть получены две другие зависимости второй группы уравнений неразрывности деформаций:

55

Выпишемсводку всех шести уравнений совместностидеформацийСенВенана:

Уравнения неразрывности деформаций необходимы и достаточны только для тел с односвязной областью, в пределах которой всякая замкнутаялиниянепрерывнойдеформациейможетбытьстянутавточкубез пересечения поверхности тела. Для многосвязных областей (тело с отверстиями или пустотами) эти уравнения только необходимы, но, как правило, недостаточны для сплошности тела.

56

Глава 3. ФИЗИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ

§3.1. Физический закон для упругого тела

Эксперименты показывают, что чем большая нагрузка действует на упругое тело, тем большую деформацию оно испытывает. На этот факт учёные обратили внимание ещё в эпоху зарождения науки о сопротивлении материалов. В 1676 г. Р.Гук вывел экспериментально подтверждённый закон, устанавливающийсвязьмеждунапряжениямиидеформациями. Этот закон он сформулировал в виде «Ut tensio sic vis» («Какова сила, такова деформация») и опубликовал его в 1676 г. в форме анаграммы «ceiiinosssttuv». Этот же закон был независимо открыт в 1680 г. французским физиком Э.Мариоттом.

Этим законом была установлена пропорциональность между силами и соответствующими им деформациями (свойство упругости).

Закон упругости в обобщённой форме для упругого тела можно сформулировать в виде следующего утверждения: компоненты напряжений являются линейными функциями компонентов деформации. Математическое описание этого утверждения в наиболее общем случае имеет вид:

В формулах (3.1) коэффициенты aij , i 1,2,...,6; j 1,2,...,6 зависят от

механических свойств материала упругого тела и называются упругими постоянными. Если aij одинаковы во всех точках тела, то такое тело

является однородным. Если aij зависят от рассматриваемого в теле

направления, тотакоетелоназывается, вообщеговоря, анизотропным. Если aij различны в трёх взаимно перпендикулярных направлениях, выделенных

в упругом теле, то такое тело называется ортотропным. Если aij не зависят

от рассматриваемого направления, то такое тело называется изотропным. В этом случае число коэффициентов в уравнениях (3.1) сокращается до трёхE, G, , причём независимыми из них будут лишь два:

57

поперечной деформации (коэффициент Пуассона). Модуль упругости и модуль сдвига – это константы, присущие каждому материалу и определяемые из опытов на одноосное растяжение (сжатие) для модуля упругости и на кручение для модуля сдвига.

В XIX столетии закон (3.1) попытались обосновать теоретически. В 1821 г. Л. Навье вывел уравнения, связывающие силы и деформации, исходя из гипотезы о молекулярных силах взаимодействия. Дж.Грин пришел к уравнениям теории упругости, приняв за основу потенциальную энергию упругого тела. В 1951 году В.В.Новожилов сформулировал связь между напряжениями и деформациями исходя из тензорных свойств понятий «напряжения» и «деформации» [28].

§3.2. Обобщённый закон Гука

Обобщённый закон Гука получен на основе следующих положений:

1.Перемещения и деформации малы; справедлив принцип независимости действия сил.

2.Направления главных напряжений и главных деформаций совпадают во всех точках тела.

3.Имеет место линейная зависимость между напряжениями и деформациями.

Гук Р. экспериментально установил физический закон для призматического стержня (одномерная задача):

Здесь – напряжениенаплощадках, перпендикулярныхпродольнойоси прямого стержня; – относительная линейная деформация в направлении продольной оси стержня.

Эксперименты показывают, что в поперечном к продольной оси стержня направлении также имеют место деформации, связанные с продольной деформацией с помощью коэффициента Пуассона:

Попытки установить опытным путём аналогичные зависимости для плоской и пространственной задач не увенчались успехом. Причина неудачи заключается в следующем: 1) трудно осуществить равномерное растяжение или сжатие по двум, а тем более по трём направлениям; 2) имеется бесчисленное множество комбинаций растягивающих и сжимающих нагрузок, которые могут существовать в реальных конструкциях.

Для изотропного упругого тела, работающего в пределах малых деформаций, выход из такого положения заключается в использовании

58

принципа независимости действия сил, то есть полная деформация вычисляется суммированием деформаций от приложения нагрузки по направлению каждой из осей.

Пустьданэлементарныйпараллелепипед, вырезанныйизупругоготела, с гранями, совпадающими с главными площадками (рис. 24а). Рассмотрим далее часть деформации элементарного параллелепипеда в плоскости 1-3 (рис. 24б).

Рис. 24

На основании принципа суперпозиции полная деформация в направлении оси 1 будет равна:

Здесь 11 относительная линейная деформация в направлении оси 1 от действия только напряжения 1 , то есть в соответствии с законом Р.Гука (3.3)

13 относительная линейная деформация в направлении оси 1 от действия только напряжения 3 , то есть в соответствии с (3.4)

59

12 относительная линейная деформация в направлении оси 1 от действия только напряжения 2 , то есть в соответствии с (3.4)

Подставив формулы (3.6), (3.7) и (3.8) в соотношение (3.5) и повторив указанную процедуру для определения деформации в направлении главных осей 2 и 3, получим:

Уравнения (3.9) называются уравнениями обобщённого закона Гука в главных осях.

Разрешим теперь зависимости (3.9) относительно главных напряжений. Для этого из уравнения (3.91) выразим 1 , из (3.92) выразим 2 и из (3.93)

выразим 3 . В результате получим:

1 E 1 2 3 ;

2 E 2 3 1 ;

3 E 3 1 2 .

Теперь в правые и левые части полученных соотношений добавим напряжения, стоящие в левой части и умноженные на коэффициент Пуассона:

откуда

1 2 3 1 E2 1 2 3 .

60