1977

внаправлении тех же осей с учётом зависимостей (2.3) можно представить

вследующем виде:

Подставив выражения (2.9) в формулу (2.8), после элементарных преобразований получим:

41

Раскладывая радикал в полученном соотношении в биномиальный ряд

Подставив формулы (2.9) и (2.11) в соотношение (2.10), после элементарных преобразований и пренебрежением квадратами и произведениями частных производных от перемещений по пространственным координатам, получим:

Рассматривая подобным образом деформации граней элементарного параллелепипеда, параллельных координатным плоскостям OXY и OYZ , придём к зависимостям, подобным только что полученным. Таким образом,

42

связь между перемещениями и деформациями устанавливается соотношениями:

Уравнения(2.12) впервыеполученыО.Кошииносятегоимя. Уравнения

(2.12) называются геометрическими.

§2.3. Деформация в произвольном направлении

РассмотримдеформациюотрезкаАВ длиной ds , произвольнымобразом расположенного внутри упругого тела (рис. 19). Координаты точек А и В в состоянии до деформации равны: A x, y, z ; B x dx, y dy, z dz . Тогда

проекции отрезка АВ на оси декартовой системы координат OXYZ будут равны: dx, dy, dz , то есть

43

Направляющие косинусы углов, составляемых произвольным вектором s с осями декартовой системы координат OX , OY , OZ , как известно, определяются зависимостями:

Сопоставляя (2.19) и (2.20) и пренебрегая квадратом относительной линейной деформации как бесконечно малой более высокого порядка малости, получаем:

Таким образом, относительная линейная деформация в точке в произвольномнаправлении, задаваемомнаправляющими косинусами l, m и

n , определяется по формуле (2.21).

44

§2.4. Угол сдвига между двумя произвольными направлениями

Пусть в состоянии до деформации угол между прямыми r и s равен 900 (рис. 20). Ориентация прямой r в системе декартовых координат OXYZ задаётся направляющими косинусами lr ,mr ,nr ; ориентация прямой s – на-

правляющими косинусами ls ,ms ,ns . После деформации прямые r и s займут положение r1 и s1 . При этом направляющие косинусы прямой r1 будут равны lr1 ,mr1 ,nr1 ; направляющие косинусы прямой s1 будут равны ls1 ,ms1 ,ns1 .

Напрямой r выделимотрезок CB длиной dr , напрямой s – отрезок CA длиной ds . После деформации отрезок CB займёт положение C1B1 и его

длинабудетравна dr1 ; отрезок CA займётположение C1A1 идлинаегобудет равна ds1.

Рис. 20

45

Вдальнейшихвыкладкахвоспользуемсярезультатами, приведенными в

§2.3, ввиду того, что и там и здесь рассматривается деформация прямолинейных отрезков.

Найдём выражение для направляющего косинуса

Здесь в соответствии с результатами § 2.3 dx1 dx ux dx uy dy uz dz , dr1 dr 1 r . Тогда формула (2.23) получает вид

единицей, запишемокончательноевыражениедлянаправляющегокосинуса lr1 , а также аналогично полученные выражения для направляющих коси-

нусов mr1 , nr1 , ls1 , ms1 , ns1 :

46

Подставив направляющие косинусы (2.25) в формулу (2.22), получим выражение для угла сдвига между двумя отрезками, произвольно расположенными в пространстве:

При записи выражения (2.26) произведения производных, как бесконечно малых высшего порядка малости, опущены.

Используя геометрические соотношения О.Коши (2.12), формулу (2.26) можно привести к следующему виду:

По формуле (2.27) можно определить угол сдвига между двумя отрезками, проходящими через данную точку упругого тела, если известны компоненты деформации в этой точке и направляющие косинусы данных

удлинение в точке деформированного тела по произвольному (любому) направлению, а также угол сдвига между двумя произвольными направлениями. Таким образом, относительные линейные деформации в направлении осей декартовой системы координат x , y , z и углы сдвига в

плоскости координатных граней xy , yz , zx полностью определяют деформированное состояние в точке.

§2.5. Объёмная деформация

Рассмотрим элементарный параллелепипед с рёбрами, параллельными осямдекартовойсистемыкоординат OXYZ (рис. 21). Додеформациидлины рёбер были равны dx, dy, dz . Будем полагать, что деформация сдвига

отсутствует.

47

Объём параллелепипеда до деформации dV dxdydz. После деформации длины рёбер параллелепипеда изменятся:

x y z x y y z z x x y z.

Пренебрегая в силу малости произведениями компонент деформации, окончательно получим:

Таким образом, относительная объёмная деформация в точке равна сумме относительных удлинений по трём взаимно перпендикулярным направлениям, проведённым через эту точку.

§2.6. Тензор деформации

Конструкция соотношений (2.21) и (2.27) такова, что их можно сразу применить для вычисления компонент деформации при повороте исходной системы декартовых координат. Пусть в некоторой точке упругого тела заданы компо-

ненты деформации x , y , z , xy , yz , zx в декартовой системе координат OXYZ . Повернём оси OX , OY , OZ так, что они займут положение

OX ' , OY ' , OZ ' и также образуют прямоугольную

систему координат OX 'Y 'Z ' (рис. 22).

Рис. 22

48

Направляющие косинусы углов между осями этих двух систем координат приведены в табл. 1.

y z 2 xl2l3 ym2m3 zn2n3

xy l2m3 l3m2 yz m2n3 m3n2 zx n2l3 n3l2 ;

z x 2 xl3l1 ym3m1 zn3n1

xy l3m1 l1m3 yz m3n1 m1n3 zx n3l1 n1l3 .

Сопоставляя формулы преобразования к новым осям для деформаций (2.29) с формулами преобразования к новым осям для напряжений (1.25), (1.26), видим, что компоненты деформации преобразовываются при переходе от одной декартовой системы координат к другой аналогично тому, как преобразовываются компоненты тензора напряжений (1.19). Следовательно, если записать компоненты деформации в виде таблицы

то они образуют тензор деформации.

Тензор деформации является симметричным относительно главной диагонали, то есть xy yx , yz zy , zx xz . Это объясняется тем, что

49

§2.7. Главные деформации

Поаналогииснапряжённым состояниемв каждойточкедеформированного тела можно найти три таких взаимно перпендикулярных направления, что между ними все три компонента сдвига равны нулю, а линейные деформации имеют экстремальные значения. Направления, соответствующие этим осям, называются главными направлениями, а соответствующие линейные деформации – главными деформациями. Оси эти

Для определения главных деформаций воспользуемся методом нахож-

денияотносительногоэкстремума, учитывая, что l2 m2 n2 1. Всоответствии с процедурой Лагранжа, найдём экстремум выражения:

s xl2 ym2 zn2 xylm yzmn zxnl (l2 m2 n2 1) .

50