1977

каждая из которых определяет ориентацию нормали к соответствующей главной площадке. Доказано, что совокупность нормалей, задаваемых направляющими косинусами (1.34), образует прямоугольную систему координат, так как их попарное скалярное произведение равно нулю:

l1l2 m1m2 n1n2 0; l2l3 m2m3 n2n3 0; l3l1 m3m1 n3n1 0.

Величина главных напряжений и ориентация главных площадок в некоторой точке a x, y, z деформированного тела не зависят от выбора

декартовой системы координат OXYZ . Это означает, что независимо от того, в какой системе координат в точке a x, y, z был задан тензор

напряжений T , с неизбежностью должно быть получено однозначное

решение уравнения (1.31). Это возможно тогда и только тогда, когда коэффициенты уравнения (1.31) являются величинами постоянными для рассматриваемойточки a x, y, z деформированноготела, независящими от

выбора системы координат.

Величины, не зависящие от выбора системы координат, называются инвариантами. Таким образом, тензор напряжений имеет три инварианта:

первый – I1 , второй – I2 и третий – I3 .

Для тензора напряжений, заданного в главных осях (1.27), его инварианты будут вычисляться, очевидно, по формулам

Взаключениеотметим, чтонапряжённоесостояниевточкеопределяется шестью величинами: в произвольных декартовых осях координат – компонентами тензора напряжений T , в главных осях – тремя главными

напряжениями 1, 2, 3 и тремя направляющими косинусами нормали к главной площадке l, m, n .

§1.8. Наибольшие касательные напряжения

Экстремальные касательные напряжения будем определять в системе координат, оси которой пусть будут совпадать с главными направлениями (рис. 12). Пусть компоненты тензора напряжений в главных осях (1.27) в некоторой точке деформированного тела известны. Совместим с этой точкой начало декартовых координат, совпадающих с главными осями.

31

Направляющие косинусы нормали к произвольной наклонной площадке abc в системе главных осей обозначим l, m, n .

В соответствии с соотношениями (1.12) проекции полного напряжения, действующего по наклонной площадке abc , на главные оси будут равны:

то есть полное напряжение Рп, в соответствии с формулой (1.13), будет вычисляться по формуле

Рис. 12

Согласно формуле (1.15), нормальное напряжение n на наклонной площадке abc будет определяться выражением

Подставив (1.36) и (1.37) в формулу (1.16), получим выражение для вычисления касательного напряжения n , действующего по наклонной

площадке abc :

Из соотношения (1.39) найдём n2 1 m2 l2 и подставим полученное уравнение в формулу (1.38). После элементарных преобразований получим

32

выражение для касательного напряжения n , зависящего от двух независимых переменных l и m:

2n ( 12 32 )l2 22 32 m2 32 1 3 l2 2 3 m2 3 2 .

Следуя процедуре отыскания экстремума функции нескольких независимых переменных, приравняем нулю первые производные от функции 2n по l и m:

l2 m2 n2 1 0.

Условиям l m 0 и n 1 соответствует главная площадка Oab , на которой касательное напряжение равно нулю.

Если же l 0 , а m 0 , то уравнение (1.402) удовлетворяется при любом значении l, а уравнение (1.401) – при условии 1 3 2 1 3 l2 0 ,

откуда l 12 . Тогда из уравнения (1.403) получаем: n 12 . Сово-

купность направляющих косинусов l 12 , m 0 и n 12 определяет

нормали к площадкам, равно наклонённым к главным осям 1 и 3 и параллельным главной оси 2 (рис. 13а).

Если же l 0 , а m 0 , то уравнение (1.401) удовлетворяется при любом значении m, а уравнение (1.402) –при условии 2 3 2 2 3 m2 0 ,

откуда m 12 . Тогда из уравнения (1.403) получаем n 12 . Сово-

купность направляющих косинусов l 0 , m 12 и n 12 определяет

33

нормали к площадкам, равно наклонённым к главным осям 2 и 3 и параллельным главной оси 1 (рис. 13б).

Если теперь из соотношения (1.39) выразить m2 и подставить его в соотношение (1.38), то после аналогично проведённых выше преобразований получим ещё одну систему уравнений для нахождения значений l, m, n ,

удовлетворяющих условию экстремума касательного напряжения n :

l2 m2 n2 1 0.

Условиям l n 0 и m 1соответствует главная площадка Oac , на которой касательное напряжение равно нулю.

Если же l 0 , а n 0 , то уравнение (1.412) удовлетворяется при любом значении l , а уравнение (1.411) – при условии 1 2 2 1 2 l2 0 ,

откуда l 12 . Тогда из уравнения (1.413) получаем: m 12 . Сово-

купность направляющих косинусов l 12 , m 12 и n 0 определяет

нормали к площадкам, равно наклонённым к главным осям 1 и 2 и параллельным главной оси 3 (рис. 13в).

Если же l 0 , а n 0, то уравнение (1.411) удовлетворяется при любом значении n , а уравнение (1.412) – при условии 3 2 2 3 2 n2 0 ,

откуда n 12 . Тогда из уравнения (413) получаем m 12 . Сово-

купность направляющих косинусов l 0 , m 12 и n 12 определяет

нормали к площадкам, равно наклонённым к главным осям 2 и 3 и параллельным главной оси 1 (рис. 13б).

Выразив из (1.39) l 2 и повторив вышеизложенную процедуру ещё раз, получим ещё одну систему уравнений для нахождения значений l, m, n ,

удовлетворяющих условию экстремума касательного напряжения n :

l2 m2 n2 1 0.

34

Условиям m n 0 и l 1 соответствует главная площадка Obc , на которой касательное напряжение равно нулю.

Если же m 0 , а n 0 , то уравнение (1.422) удовлетворяется при любом значении m, а уравнение (1.421) – при условии 2 1 2 2 1 m2 0 ,

откуда m 12 . Тогда из уравнения (1.423) получаем: l 12 . Сово-

купность направляющих косинусов l 12 , m 12 и n 0 определяет

нормали к площадкам, равно наклонённым к главным осям 1 и 2 и параллельным главной оси 3 (рис. 13в).

Если же m 0 , а n 0, то уравнение (1.421) удовлетворяется при любом значении n , а уравнение (1.422) – при условии 3 1 2 3 1 n2 0 ,

откуда n 12 . Тогда из уравнения (1.423) получаем: l 12 . Совокуп-

ность направляющих косинусов l 12 , m 0 и n 12 определяет

нормали к площадкам, равно наклонённым к главным осям 1 и 3 и параллельным главной оси 2 (см. рис. 13а).

Рис. 13

Таким образом, площадки с экстремальными касательными напряжениями составляют с главными площадками угол, равный 45 . Подставив в выражение (1.38) значения направляющих косинусов l, m, n , обращающие

его в экстремум, получим экстремальные значения касательных напряжений:

35

Нормальные напряжения на площадках с экстремальными касательными напряжениями, в соответствии с формулой (1.15), равны:

36

Глава 2. ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ

§2.1. Понятие о перемещениях

Под действием внешних сил упругое тело изменяет свои форму и размеры; его точки меняют, вообще говоря, своё местоположение, то есть перемещаются. Говорят, тело испытывает деформацию.

Вообще, деформацией тела называется изменение его формы или размеров либо и того и другого одновременно без изменения массы тела. Чтобы определить деформацию, следует сопоставить положение точек тела до и после приложения нагрузки. Изменение положения точки тела (изменение её координат) при деформации называется перемещением.

Пусть в состоянии до деформации некоторая точка тела занимала положение A xa , ya , za ; после деформации эта точка стала занимать

положение B xb , yb , zb (рис. 14). Вектор AB, проведённый из начального

положения точки до деформации тела в конечное её положение после деформации, называется полным линейным перемещением этой точки. Проекция полного линейного перемещения точки на какое-либо направление называется линейным перемещением точки по данному направлению.

A xa , ya , za по направлению OZ .

37

Обозначим линейные перемещения точки в направлении осей декарто-

вой системы координат X , Y , Z буквами u, v, w: xa xb u , ya yb v , za zb w . Вполне понятно, что u u x, y, z ; v v x, y, z ; w w x, y, z . Здесь x, y, z

координаты точки в состоянии до деформации.

Изменение длины линейного элемента называется абсолютной линейной деформацией или абсолютным удлинением по данному направлению.

Выделим в упругомтелев состоянии додеформации линейный элемент AB длиной l0 (рис. 15). После деформации линейный элемент AB займёт

положение A1B1 , длина его изменится и станет равной l1. Тогда абсолютное удлинение по направлению АВ будет определяться зависимостью

Отношение изменения длины бесконечно малого линейного элемента к первоначальной его длине назы-

Угол, составленный новым после деформации тела направлением линейного элементас его первоначальнымнаправлением, называется угловым перемещением (см. рис. 15). Угловое перемещение обозначается буквой .

Изменение при деформации прямого угла между двумя бесконечно малыми линейными элементами, выходящими из одной точки, называется углом сдвига или просто сдвигом в этой точке в плоскости линейных элементов (рис. 16). Здесь два бесконечно малых линейных элементов AB и

AC , угол между которыми BAC =90 до деформации, после деформации займут положение A1B1 и A1C1 . Изме-

нение прямого угла BAC будет равно . Следовательно, угломсдвига

в точке A будет величина .

Вполне понятно, что угол сдвига в точке является функцией декартовых

координат точки в состоянии до деформации, то есть в точке A x, y, z ,

следовательно, x, y, z .

38

Состояние тела в окрестности данной точки, определяемое совокупностью относительных линейных деформаций всех линейных элементов, проходящих через данную точку, а также углами сдвига между всеми парами взаимно перпендикулярных до деформации линейных элементов,

называется деформированным состоянием в этой точке.

Деформированное состояние в точке полностью определяется относительными удлинениями трёх взаимно перпендикулярных линейных элементов тела, проходящих через данную точку, и тремя углами сдвига этих линейных элементов. В теории упругости в качестве таких трёх взаимно перпендикулярных линейных элементов тела принимаются линейные элементы, совпадающие с направлениями осей декартовой системыкоординат OXYZ . Тогдадеформированноесостояниевточкебудет полностью определяться заданием относительных линейных деформацийx , y , z в направлении осей декартовой системы координат и углами

сдвига xy , yz , zx вплоскостикоординатныхграней(рис. 17). Длинырёбер элементарного параллелепипеда на рис. 17 равны dx, dy, dz .

Рис. 17

Относительные линейные деформации x , y , z принято считать поло-

жительными, если они вызывают удлинение линейных элементов; угловые деформации xy , yz , zx считаются положительными, если они вызывают

уменьшение прямого угла между положительными направлениями соответствующих координатных осей.

39

§2.2. Геометрические соотношения

Установим связь между деформациями и перемещениями. Будем полагать, что перемещения u, v, w и их производные по декартовым

координатам x, y, z малы, так что их произведениями и квадратами по

сравнению с самими перемещениями можно пренебречь.

Рассмотрим деформацию грани abcd элементарного параллелепипеда с длинамирёбер dx, dy, dz (рис. 18), котораялежитвплоскости, параллельной

координатной плоскости XOZ .

Рис. 18

В состоянии до деформации вершины a, b и c имели следующие коор-

а1, b1 и с1.

Пусть перемещения вершины a вдоль осей OX и OZ определяются функциями ua u x, y, z ; wb w x, y, z . Тогда перемещения вершин b и c

40