1977

Выделенный рассматриваемый элемент оболочки находится в равновесии. Следовательно, суммы проекций всех сил на оси CX , CY , CZ

должны быть равны нулю:

Z 0 : N Bd d N Ad d Fz Ad Bd 0.

После приведения подобных слагаемых и пренебрежения членами высших порядков малости получим:

N Bd d N Ad d Fz Ad Bd .

Вполученные соотношения подставим формулы (11.46), (11.47). В результате имеем полную систему основных уравнений безмоментной

221

теории оболочек, записанную в координатах главных кривизн срединной поверхности оболочки.

Из уравнения моментов относительно оси CZ получаем соотношение

Таким образом, система (11.48) включает три неизвестные искомые функции: N , N и S . Это означает, что при расчёте по безмоментной

теории оболочка в бесконечно малом представляет собой статически определимую систему.

Решение системы уравнений (11.48) относится к статической задаче безмоментной теории оболочек. Чтобы найти деформации и перемещения в оболочке, к этим уравнениям следует добавить геометрические и физические соотношения [27].

перемещения u, v, w по формулам (11.5) и (11.6), то их подстановка в

физические уравнения (11.50) позволяет получить дифференциальные уравнения для определения перемещений u, v, w:

222

Здесь u и u перемещения в направлении криволинейных координат

и , совпадающих с линиями главных кривизн срединной поверхности оболочки.

Итак, для определения усилий N , N , S в оболочке по безмоментной

теории имеем систему трёх дифференциальных уравнений (11.48); определение перемещений в направлении осей криволинейной системы ко-

ординат , , выполняется путём интегрирования системы трёх дифференциальных уравнений (11.51)

В качестве первого примера рассмотрим сферичекую оболочку (рис. 82). Для неё главные кривизны одинаковы:

R = R = R .

Рис. 82

В соответствии с рис. 82, выполним замену: заменим на ; заменим на . Тогда длины линейных элементов будут равны:

Сопоставляя формулы (11.52) и (11.2), получаем, что коэффициенты первой квадратичной формы для сферы будут равны:

A=R; B=Rsin . (11.53)

Подставляя (11.53) в уравнения (11.48), получим разрешающие урав-

N N Fz R 0.

223

Рассмотрим цилиндрическую оболочку в качестве второго примера (рис. 83). Для цилиндрической оболочки

R ; R R; ds dz; ds Rd ; A 1; B R.

Краевой эффект

С точки зрения рационального использования материала конструкции безмоментное напряжённое состояние является наиболее выгодным. Поэтому в конструкциях следует стремиться обеспечить условия для реализации безмоментного напряжённого состояния.

Во многих случаях обеспечить условия, при которых в полной мере реализуетсябезмоментноенаряжённоесостояние, неудаётся. Однакоэтоне обязательно означает неприменимость безмоментной теории. Нередко большая часть оболочки находится в условиях безмоментного (или, точнее, близкого к безмоментному) напряжённого состояния, и лишь небольшие области находятся в условиях смешанного напряжённого состояния. Эти

224

области часто прилегают к краям оболочки, и поэтому их называют зонами краевого эффекта.

Области смешанного напряжённого состояния в оболочке возникают также там, где имеет место резкое изменение сечения или величины нагрузки. В подобных случаях иногда оказывается удобным рассматривать смешанное напряжённое состояние оболочки как сумму безмоментного напряжённого состояния всей оболочки и быстро затухающего моментного напряжённого состояния в зоне краевого эффекта.

Граничные условия на кромках оболочки должны быть такими, чтобы обеспечиваласьбезмоментностьнапряжённогосостояния. Всвязи с этимна границах оболочки можно задавать только усилия, действующие в направлениях, касательных к срединной поверхности, то есть только в направлении действия усилий N , N и S. Если условия на границе

формулируются в перемещениях, то эти перемещения можно задавать только в тангенциальных направлениях, то есть в направлении действия перемещений и и v.

225

Глава 12. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН ДЕФОРМАЦИЙ

Деформации в упругом теле распространяются не мгновенно, а с конечной скоростью. Если к упругому телу приложить внезапно силу, то достаточно удалённые части тела вначале останутся ненапряжёнными и лишь спустя какое-то время здесь появятся напряжения. Говорят, по телу распространяется волна напряжений (или волна деформаций). Прежде чем перейти к количественному описанию процесса распространения воздействия по упругому телу, дадим строгое определение понятию «волна» [24].

Обозначимчерез x, y, z,t поверхность, разделяющуювупругомтеле

объёмом V две области с объёмами V1 и V2 (рис. 84). Через u x, y, z,t

обозначим функцию, непрерывную в области V и определяющую перемещения материальных точек упругого тела. Предполагается, что при пере-

ходе через поверхность x, y, z,t

переходе через эту поверхность.

Когда поверхность x, y, z,t перемещается по упругому телу, то говорят, что распространяется разрыв; поверхность x, y, z,t называется

волной.

В случае разрыва 1-го прядка волна называется волной сильного разрыва; если разрыв порядка n 2 , то такая волна называется обыкновеннойволной. Разрывнулевогопорядканеможетраспространяться, так как это означало бы разрыв упругого тела. Таким образом, если на

поверхности x, y, z,t компоненты тензора напряжений или компоненты

вектораскоростейматериальныхчастицимеютразрывы, тоэтаповерхность является волной сильного разрыва. Если компоненты тензора напряжений или компоненты вектора скоростей материальных частиц на поверхности

226

x, y, z,t непрерывные функции, но какая-нибудь из их первых производных разрывна, то волна называется волной слабого разрыва.

поверхностями x, y, z,t и x x, y y, z z,t t . Тогда скорость распространения волны N будет равна:

Если материальные частицы и в области V1 , и в области V2 находятся в упругом состоянии, причём в области V1 материальные частицы испытывают нагружение, то перемещающаяся из области V1 в область V2 поверхность разрыва x, y, z,t носит название упругой волны; если же материальные частицы в области V1 испытывают разгрузку, то поверхность разрыва x, y, z,t , перемещающаяся в направлении области V2 ,

называется волной разгрузки.

Волна сильного разрыва возникает, как правило, в случае, когда имеет место разрыв в граничных условиях, например внезапное приложение нагрузки (удар) на поверхности упругого тела. Особым случаем волны сильного разрыва является ударная волна. Ударную волну характеризует появление на её фронте разрыва компонентов тензора напряжений и компонентов вектора скоростей материальных частиц (то есть разрыв первых производных перемещений) даже в том случае, когда тензор напряжений изменяется во времени непрерывным образом в том месте, от которого эта волна начинает распространяться. Другими словами, образование ударной волны не зависит от разрывности граничных условий; причиной её возникновения являются либо механические свойства материала упругого тела, либо геометрия сплошной среды упругого тела

[33, 8, 3, 4].

Пусть x, y, z,t 0 – уравнение поверхности разрыва. Кинематические условия совместности [35] имеют вид:

227

Здесь [...] – символическая запись скачка производных; ui коэффициенты прерывности; xj и xk декартовы координаты x, y и z; ui пере-

мещения u, v и w .

Значения скоростей распространения волн деформаций по нормали к фронту определяются соотношением [10]

§12.1. Распространение упругих волн в стержнях

Задача распространения продольных упругих волн в стержне в точной постановке достаточно сложна. Сложность обусловлена тем, что при нагружении стержня продольной нагрузкой он испытывает не только продольные, но и поперечные деформации. Мы рассмотрим элементарную теорию, в которой предполагается, что каждый элемент стержня испытывает простое растяжение или сжатие, отвечающее осевой

деформации x ux , причём осевое перемещение и является функцией

228

только пространственной координаты х и времени t . Другими словами, ограничимся задачей распространения упругих волн деформаций в тонких стержнях.

Предположим, что к упругому стержню неограниченной длины (рис. 85), плотность материала которого , внезапно приложена нагрузка в видесжимающихнапряжений x , распределённых равномернопо площади

А поперечного сечения.

Рис. 85

В первый момент эта нагрузка вызовет сжатие только бесконечно тонкого слоя у левого конца стержня. Затем деформируется следующий слой, затем следующий и так далее. По истечении промежутка времени t будет сжат участок стержня длиной ct. Последующие слои стержня останутся пока ещё недеформированными. Сечение mn , которое служит границей между напряжённой и ненапряжённой частями стержня, называется фронтом упругой волны. Этот фронт движется со скоростью с.

Зафиксируем некоторое сечение pq с координатой x , отсчитываемой

от конца стержня. В данный момент времени t расстояние его от фронта есть ct x. Участок стержня длиной ct x равномерно сжат напряжением

x . На этом участке относительная продольная деформация x Ex .

Следовательно, сечение pq сместилось из своего первоначального (до деформации) положения на расстояние

Дифференцируя (12.5) по времени, найдём скорость движения сечения pq (скорость движения материальных частиц):

dudt Ex c .

Скорость, определяемая формулой (12.6), имеет место быть для если x ct , то 0.

Таким образом, если приложенная к концу стержня сила постоянна и не зависит от времени, то скорость частиц за фронтом тоже постоянна, а на фронте претерпевает разрыв, так же, как и напряжение z .

229

Дляопределенияскоростираспространения c фронтаволныпредставим себе участок стержня длиной dx между сечениями 1 1 и 2 2. Пусть в момент времени t фронт упругой волны проходит через сечение 1 1, а в момент (t dt ) – через сечение 2 2, то есть dx cdt . В течение времени dt в сечении 1 1 действует сила x A , тогда как сечение 2 2 остаётся

ненапряжённым. Следовательно, импульс силы равен x Adt . В начальный

момент времени t вся выделенная часть стержня между сечениями 1 1 и 2 2 была в покое; в момент (t dt ) вся она движется со скоростью . Тогда изменение количества движения будет равно Adx . Приравнивая импульс силы изменению количества движения, получаем: x Adt Adx . Отсюда

Здесь квадратные скобки означают скачок соответствующей величины при переходе через фронт.

Формула (12.8) используется, если нагрузка прикладывается не к покоящемуся стержню, а к движущемуся и предварительно напряжённому, причём сама нагрузка изменяется (увеличивается) с течением времени.

Итак, скорость распространения фронта упругой волны в стержне в соответствии с формулами (12.7) и (12.6) будет равна:

определённого промежутка времени t . Картину распределения напряжений по длине стержня проследим на диаграмме (рис. 86).

Рис. 86

230