Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1977

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
16.06.2024
Размер:
4.01 Mб
Скачать

Поверхности нулевой гауссовой кривизны являются развёртывающимися поверхностями, поэтому их метрика тождественна с метрикой на плоскости. Для таких поверхностей справедлива геометрия Евклида. Для поверхностей неразвёртывающихся с ненулевой гауссовой кривизной евклидова геометрия уже не имеет места (например, для сферической поверхности).

Рис. 70

Положение точки на срединной поверхности оболочки можно задавать как в декартовых z f x, y , так и в криволинейных z , коор-

динатах. В криволинейных координатах величины и – это две системы координатных линий, которые образуют на срединной поверхности ортогональную сетку (рис. 71, а). Цилиндрические и сферические координатные линии показаны на рис. 71, б, в.

Рис. 71

Расчёт оболочек произвольной формы выполняют в криволинейных ортогональных координатах и . Бесконечно малые дуги ds и ds на

криволинейной поверхности можно рассматривать как прямые (рис. 72). В теории поверхностей их называют линейными элементами. Длины линейных элементов пропорциональны дифференциалам независимых переменных:

ds Ad ;

ds Bd .

(11.2)

201

КоэффициентыпропорциональностиАиВ, являющиеся, вообщеговоря, функциямикоординат и , представляютсобойкоэффициентыискажения, преобразующие приращения криволинейных координат в линейные отрезки.

 

Квадрат

линейного элемента в

 

ортогональных криволинейных коор-

 

динатах можно вычислить по формуле

 

ds 2 ds 2 ds 2 ,

 

или, с учётом зависимостей (11.2),

 

ds 2 A2 d 2 B2 d 2 .

(11.3)

Рис. 72

Выражение

(11.3)

называется

 

первой квадратичной формой поверх-

ности, а величины A и B коэффициентами первой квадратичной формы.

На рис. 70 введены обозначения: R1 R , R2

R радиусы кривизны

срединнойповерхностиоболочкивнаправленииосей

и криволинейной

системы координат.

В зависимости от отношения толщины h к наименьшему радиусу

кривизны k2

срединной поверхности, оболочки делят на толстые и тонкие.

Если

h

 

1

, то оболочки считаются толстыми; если

1

 

h

 

 

1

, то

 

k2

30

 

30

 

k2

1000

 

оболочки считаются тонкими.

Толстые оболочки рассчитывают как трёхмерное упругое тело. Теория расчёта тонких оболочек основана на гипотезах Кирхгофа– Лява: а) прямолинейный элемент, нормальный к срединной поверхности,

остаётся прямолинейным и нормальным к ней и после деформации и свою длину не меняет (гипотеза прямых нормалей);

б) нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности оболочки, пренебрежимо малы по сравнению с остальными напряжениями и при расчёте не учитываются.

Эти гипотезы сводят задачу к исследованию деформаций срединной поверхности оболочки. Кроме того, рассматриваются только такие оболочки, у которых прогибы малы по сравнению с их толщиной.

Доказано, что принятые гипотезы приводят к результатам, порядок

погрешности которых не превышает отношения h . k2

202

§11.1. Деформации, напряжения и внутренние усилия в тонких оболочках

Рассмотрим тонкую оболочку [1]. Выберем криволинейную систему координат так, чтобы координатные оси совпадали с линиями главных кривизн срединной поверхности оболочки, а ось OZ направим по нормали к ней, считая координату z положительной, если она направлена к центру кривизны. Кривизны срединной поверхности оболочки в исходном состоянии (до деформации) обозначим k и k .

Выделим из оболочки бесконечно малый элемент, образованный двумя парами плоскостей, нормальных к срединной поверхности и совпадающих с направлениями главных кривизн (рис. 73). Рассмотрим слой оболочки, отстоящий на расстоянии z от срединной поверхности. В результате деформации срединной поверхности и поворота боковых граней рассматриваемого элемента в слое появляются линейные , и угловая

деформации, причём

0 z;

 

 

 

0

 

 

 

 

z;

 

 

 

 

0

 

 

 

z.

Здесь 0 ,

0 ,

0

деформации в срединной поверхности; ,

изменения кривизн и кручение срединной поверхности.

(11.4)

,

Рис. 73

Относительные линейные удлинения срединной поверхности

0

,

0

 

 

состоят из трёх частей каждое. Первая часть деформации

'

 

'

,

 

определяется изменением перемещения вдоль координатной линий для

203

деформации 0 и вдоль координатной линии

для деформации

0

соответственно:

1 u

 

 

 

1 v

 

 

 

'

 

'

 

.

 

(а)

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

A

B

 

 

 

 

 

 

 

 

Вторая часть деформации '' ,

''

 

связана с перемещением точки в

направлении координатной линии и изменением коэффициента первой квадратичной формы А по координате для деформации 0 и с

перемещением точки в направлении координатной линии и изменением коэффициента первой квадратичной формы В по координате для

деформации 0 соответственно:

 

 

 

 

 

 

''

 

 

1

 

A

v,

 

''

 

1

 

 

B

u .

 

 

 

(б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Третья составляющая деформации

 

'' ,

 

''

 

связана с перемещением в

направлении нормали к срединной поверхности оболочки, то есть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'''

 

 

 

 

w

 

 

 

'''

 

 

w

.

 

 

 

 

 

 

 

 

(в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Собрав формулы (а), (б) и (в), получим окончательные формулы для

линейных деформаций 0 ,

 

0 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1 u

 

1 A

v

 

w

 

 

 

0

 

 

1 v

 

 

 

1 B

u

w

.

(11.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

AB

 

R

 

 

B

AB

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее приведём выражения для деформации сдвига в срединной

поверхности

 

, изменения кривизн

 

,

 

 

и кручения [27]:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B v

 

 

 

 

 

A

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

w

 

 

u

 

 

 

 

 

1 A 1 w

 

 

v

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

R

 

 

AB

B

 

B

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

w

 

 

u

 

 

 

 

 

1

 

 

B 1 w

 

 

u

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

R

 

 

 

 

AB

A

 

 

A

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

w

 

 

 

 

 

1 A w

 

 

 

1 B w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

 

 

 

A

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1 u

 

1

 

A

u

 

 

1

 

 

 

1 v

 

 

1

 

 

B

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

R

B

 

AB

 

 

 

 

 

A

 

AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.6)

(11.7)

(11.8)

204

Нормальные

 

 

,

 

 

и

касательные

 

напряжения в рассматри-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ваемом слое (см. рис. 73) найдём на основании закона Гука:

 

 

 

 

E

;

 

 

 

E

;

G .

(11.9)

 

 

2

1

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Произвольная нагрузка вызывает в оболочках две группы усилий:

1) нормальные N ,

N

и

сдвигающие N , N силы, постоянные по

толщине

оболочки

 

(рис.

74,

а); 2)

изгибающие

M ,

M и

крутящие

H , H

моменты,

а также поперечные силы

Q , Q

(рис. 742, б). В

отличие от пластинок, в оболочках в основном возникают деформации растяжения и сжатия, доля изгибных деформаций в работе оболочки существенно меньше. Это обстоятельство обусловливает большую экономичность оболочки по сравнению с пластинкой.

Рис. 74

Следует отметить, что, принимая допущение о прямолинейности нормального элемента (первая гипотеза Кирхгофа – Лява), мы тем самым пренебрегаем сдвигами в плоскостях z и z , то есть мы должны бы

пренебречь и касательными напряжениями z и z , а, следовательно, и поперечными силами Qz и Qz . Однако пренебрегать поперечными силами Qz и Qz не следует, так как они играют существенную роль в уравнениях

равновесия. Иначе говоря, первое допущение Кирхгофа – Лява следует трактовать таким образом, что при определении деформаций волокон в оболочках, так же, как и в пластинках, пренебрегаем сдвигами, вызванными действием касательных напряжений z и z , но не самими напряжениями.

Кстати, как и в гибких пластинках, величину поперечных сил Qz и Qz удобнеенаходитьнечерезнапряжения z и z , аизуравненийравновесия.

205

Величина интенсивности всех остальных внутренних усилий находится по формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

dz;

N

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

dz;

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

dz;

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

dz;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.10)

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

dz;

M

 

 

 

 

 

z

1

 

 

 

 

dz;

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

1

 

 

 

 

 

 

dz;

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

 

 

dz.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Слагаемые

 

 

z

и

 

 

z

 

 

появилисьвсоотношениях(11.10) вследствиетого,

 

R

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что длины дуг A1B1 и B1C1 не равны длинам АВ и ВС (см. рис. 73). В

результате при неравенстве главных радиусов срединной поверхности оболочки, то есть когда R R , оказываются различными и сдвигающие

силы N N , и крутящие моменты H H , несмотря на то что

касательные напряжения, в силу закона парности касательных напряжений, равны между собой: .

Для тонких оболочек

 

 

z

1,

 

 

z

1, то есть

1

 

 

z

1,

1

 

z

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда формулы (11.10) приобретают вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h2

 

 

 

 

 

 

 

 

h2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h2

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

dz;

N

 

 

 

 

 

dz;

N

 

N

 

S

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

dz;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.11)

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

zdz;

M

 

 

 

 

 

zdz;

H

 

H

 

H

 

 

 

 

z 1

 

 

 

dz.

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя физические соотношения (11.9) в уравнения (11.11) и

учитывая,

 

что

нормальные

N ,

N

 

и

сдвигающие

 

 

N ,

N

 

силы

206

постоянны по толщине оболочки, то есть связаны лишь с деформациями

срединной поверхности 0 , 0 ,

0 , получаем:

 

 

 

 

 

 

 

Eh

 

0

 

0

 

 

 

Eh

 

0

0

 

 

Eh

0

N

 

 

 

 

 

;

N

 

 

;

S

 

 

;

1

 

2

1

2

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.12)

M D ;

M D ;

H D 1 .

Здесь

D

Eh3

 

 

 

цилиндрическая жёсткость оболочки.

 

 

2

 

 

 

 

 

 

12 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчёт оболочек и с физической, и с математической точек зрения является чрезвычайно сложной задачей. Ввиду этого при расчёте оболочек вводятся всевозможные упрощения.

Так, если напряжения, вызываемые изгибом оболочки, малы по сравнению с напряжениями, обусловленными деформацией срединной поверхности, то изгибающими и крутящими моментами, а также поперечными силами пренебрегают и определяют только усилия в срединной поверхности. Такая теория называется безмоментной теорией оболочек и используется для расчёта весьма тонких оболочек положительной и отрицательной гауссовой кривизны.

При расчёте оболочек нулевой гауссовой кривизны – цилиндрических оболочек, вытянутых в одном направлении, – применяется полубезмоментная теория в основе которой лежит допущение о малости изгибающего и крутящего моментов, а также поперечной силы, действующих в направлении образующей срединной поверхности оболочки.

Если напряжения, вызываемые изгибом оболочки, и напряжения, обусловленные деформацией срединной поверхности, одного порядка, то расчёт таких оболочек выполняется по моментной (общей) теории.

§11.2. Пологие оболочки

Пологими называются оболочки, имеющие небольшой подъём над плоскостью, на которую они опираются. Для пологих оболочек,

прямоугольных в плане, выполняется неравенство af 15 , где f стрела

подъёма оболочки; а её наименьший размер в плане.

Ввиду небольшого подъёмагеометрию срединной поверхности пологой оболочки можно отождествить с геометрией плоскости, на которую она проецируется (опирается). В этом случае криволинейные координаты , ,

откладываемые вдоль линий главных кривизн, можно считать совпадающими с декартовыми координатами x, y на плоскости (рис. 75), то

207

есть принимать, как и для плоскости, ds2 dx2 dy 2 . Следовательно, у

пологих оболочек можно считать коэффициенты первой квадратичной формы А и В равными единице: A B 1.

Если уравнение срединной поверхности пологой оболочки имеет вид z f x, y ,

то главные кривизны могут быть найдены по формулам:

k kx

2 z

;

x2

 

2 z

(11.13)

k ky

 

y2 .

Гауссову кривизну для по- Рис. 75 логих оболочек приближённо

принимают равной нулю. Изменения главных кривизн и кручения срединной поверхности поло-

гой оболочки в результате её деформации определяют по формулам:

x

2w

; y

2w

;

 

2w

.

(11.14)

x2

y2

x y

 

 

 

 

 

 

Линейные и угловые деформации срединной поверхности представляется в виде:

0x

u

kxw;

0y

v

ky w;

0xy

u

 

v .

(11.15)

 

x

 

 

y

 

 

y

 

x

 

Здесь u, v, w перемещения точек срединной поверхности в направлении координатных осей X , Y , Z .

Происхождение дополнительных слагаемых в выражениях для относительныхлинейных деформацийвформулах (11.15) можнообъяснить на основании следующих рассуждений. Рассмотрим, например, положение элементарного участка координатной линии в недеформированном и деформированном состояниях (рис.

76). В исходном (недеформируемом) состоянии радиус кривизны линейного элемента d равен

Rx

1

. В состоянии после деформации его

 

 

kx

радиус кривизны изменится и станет равным

Рис. 76

208

Rx' Rx w . Следовательно, относительная линейная деформация линейного элемента d , обусловленная только его смещением в направлении радиуса кривизны Rx , будет равна:

Rx w d Rxd w kxw . Rxd Rx

Аналогично можно показать, что относительная линейная деформация линейного элемента d , обусловленная только его смещением в

направлении радиуса кривизны Ry , будет равна:

Ry w d Ryd w kyw. Ryd Ry

Деформации 0x ; 0y ; 0xy должны удовлетворять уравнению неразрыв-

ности деформаций для плоского напряжённого состояния (7.29). Подставив формулы (11.11) в уравнение (7.29), получим:

2 0

2 0y

 

2

0xy

 

2w

 

2w

 

 

x

 

 

 

 

k

x y2

k

y x2

.

(11.16)

x2

x y

y2

 

 

 

 

 

Здесь предполагается, что главные кривизны kx kx x и ky ky y .

Рассмотрим пологую оболочку, находящуюся под действием поперечной нагрузки, приложенной перпендикулярно к её срединной поверхности, то есть будем полагать, что составляющие внешней нагрузки в направлении осей OX и OY будут равны нулю. Вырежем из оболочки прямоугольный в плане элемент d d толщиной h . В силу принятых выше

оговорок, элемент d d можно считать совпадающим с элементом dxdy .

По боковым граням этого элемента действуют внутренние усилия – нормальныеи сдвигающиеусилияв срединнойповерхности, показанныена рис. 77; изгибающие и крутящие моменты: поперечные силы, показанные на рис. 78.

Элемент пологой оболочки d d находится в равновесии. Следовательно (см. рис. 77):

X 0 :

 

N

 

 

 

 

Sy

 

 

 

Nxdy Nx

 

x dx dy Sydx Sy

 

 

 

 

dy dx 0 ;

(а)

 

 

y

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

Y 0 :

 

Ny

 

 

S

x

 

 

 

Nydx Ny

 

 

dy dx Sxdy Sx

 

 

dx dy 0 ;

(б)

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

209

Рис. 77

Рис. 78

На основании рис. 78 получаем:

M x 0 :

 

 

 

M y

 

 

 

 

 

H

 

 

 

M ydx M y

 

dy dx Hdy H

 

dx dy

 

y

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(в)

 

 

Qy

 

 

 

Q

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qy

 

dy dxdy

x dxdy

 

dy

qdxdy

 

dy 0;

 

 

y

2

2

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

210

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]