1977

Так как стороны пластинки, где y 0 или y b, при деформации не

жёсткость D 0 , то равенство нулю изгибающего момента M y сводится к

III. Свободное опирание по контуру пластинки.

Если край пластинки свободен, то на этом краю все усилия – изгибающие и крутящие моменты, поперечные силы – равны нулю. В таком виде условия для свободного края пытался формулировать Пуассон. Однако позже, в 1850 году, Кирхгоф показал, что для данной приближённой теории изгиба пластин, основанной на использовании гипотезы прямых нормалей, в общем случае нельзя одновременно удовлетворить и условию равенства нулю поперечной силы, и условию равенства нулю крутящего момента. Как и в предыдущих случаях опирания, для свободного края пластинки можно удовлетворить не трём, а только двум силовым условиям. Одно из этих условий выражает равенство нулю изгибающего момента, другое – равенство нулю приведённой поперечной силы:

 Стороны, где x 0 или x a . Имеем

Поскольку цилиндрическая жёсткость не равна нулю, то записанные выше условия на свободном краю пластины сводятся к соотношению

 Стороны, где y 0 или y b. Имеем

181

Или, после элементарных преобразований, получаем:

Если стороны пластинки имеют различное опирание, то условия на её контуре получаются путём комбинации ранее полученных условий (10.38)– (10.43).

Если решается какая-либо задача об упругом взаимодействии пластины на её контуре, то в качестве усилий взаимодействия должны быть учтены в общем случае какраспределённыеопорныереакции Vx и Vy (а при наличии

необходимых связей и изгибающие моменты M x и M y ), так и сосредоточенные силы R в углах пластины.

§10.6. Оценка прочности пластинки

Целью расчёта тонкой пластинки является, вообще говоря, либо подбор её толщины, либо проверка её прочности. При этом внешняя нагрузка, размеры пластинки в плане, условия её закрепления, механические характеристики материала пластинки считаются известными. И для решения первой, и для решения второй задачи следует опираться на критерии прочности (см. гл. 4).

В гл. 4 критерии прочности записаны в терминах главных напряжений. Поэтому после решения дифференциального уравнения изогнутой срединной поверхности пластинки (10.35) и определения напряжений по формулам (10.26) следует вычислить главные напряжения. Для их определения можно воспользоваться результатами, изложенными в гл 1, §1.7.

Следует иметь в виду, что нормальное напряжение z , принимаемое

равным нулю в соответствии со второй гипотезой Кирхгофа, на самом деле отлично от нуля и вычисляется по формуле (10.266). Принимая во внимание уравнение (10.35), формулу (10.266) можно записать в следующем виде:

182

Таким образом, нормальное напряжение z , действующее на горизон-

тальных площадках, изменяется по толщине пластинки по закону кубической параболы, причём на нижней поверхности пластинки оно равно нулю, а на верхней – действующей на пластинку внешней распределённой нагрузке q .

Следовательно, вычисляя эквивалентные напряжения, следует учитывать нормальное напряжение z в тех точках пластинки, которые распо-

ложены в зоне приложения внешних распределённых нагрузок. В точках пластинки, расположенных вне зоны действия распределённых нагрузок, нормальное напряжение z , видимо, равно нулю и его можно не учитывать.

§10.7. Потенциальная энергия при изгибе пластинки

Полная энергия изогнутой пластины Э складывается из потенциальной

Удельная энергия деформации (3.26) для тонкой пластинки, с учётом принятых гипотез (10.1), (10.2) и (10.3), запишется в следующем виде:

Приняв во внимание выражения для напряжений (10.26) и деформаций (10.7), записанные через перемещения срединной поверхности, для удельной потенциальной деформации (10.46) получим:

183

Итак, энергия деформации всей пластины находится как интеграл по её площади. Выражению (10.47) можно придать несколько другой вид, если в

прямых скобках прибавить и вычесть 2 2w 2w . Тогда получим:

x2 y2

Если цилиндрическая жёсткость пластинки постоянна, то величину D можно вынести за знак интеграла. Кроме того, для пластин, жёстко или шарнирно опёртых по всему контуру, выражение в прямых скобках (10.48) оказываетсяравнымнулю. Тогдавыражениедляэнергиивсейпластиныдля указанных пластин упрощается:

Здесь 2 w 2 w 2 w гармонический оператор Лапласа.

x2 y2

Для пластин, загруженных только поперечной нагрузкой q x, y q x, y ,

величина потенциала внешних сил П составляется как работа элементарных сил qdxdy на перемещениях w при переводе изогнутой пластины в

недеформированное состояние:

Необходимость составления выражений для полной энергии деформированной пластины возникает при использовании различных энергетических методов при построении расчётных алгоритмов.

§10.8. Пластинка на упругом основании

Кроме рассмотренного ранее контурного опирания, пластина может опираться всей своей плоскостью на какое-либо сплошное деформируемое основание, например грунт (рис. 61). В этом случае при записи дифференциального уравнения изгиба пластины (10.35) необходимо учесть распределённую по площади пластины реакцию (отпор) основания r x, y .

В этом случае уравнение (10.36) получит вид:

184

Здесь q x, y интенсивность внешней распределённой нагрузки.

Рис. 61

В зависимости от свойств деформируемого основания связь между отпором r x, y и прогибами пластинки w x, y может быть различной.

Модели сплошных оснований пластин

Различают упругие, упругопластичные и пластичные основания. Условие контактности пластинки и сплошного основания обычно записывают только по равенству вертикальных перемещений срединной плоскости w x, y и основания, прилегающего к подошве пластины w0 x, y :

При этом полагают, что сдвиг и отрыв подошвы пластины от поверхности основания отсутствуют.

Сплошное реальное основание, как правило, заменяют гипотетическим основанием, наделённым главными свойствами заменяемого реального основания. Такое гипотетическое основание называют моделью основания.

1. Модель упругого основания Фусса – Винклера. Данная модель построена на следующих допущениях:

a.Основание считается упругим и двусторонним, в котором могут возникать вертикальные реакции и вверх и вниз.

b.Реакции основания на подошву пластины пропорциональны вертикальным перемещениям поверхности основания:

Здесь k кHсм2 коэффициент сопротивления упругого основания (коэффициент постели).

185

Модель упругого основания Фуса – Винклера механически может быть представлена бесконечно большим количеством вертикальных упругих пружин, не связанных между собой (рис. 62).

Характерной особенностью такого основания является то, что оно деформируется только в пределах площади пластины. Однако это противоречит опыту, так как реальное основание деформируется и за пределами подошвы пластины. Данная модель

упругого основания не учитывает распре-

делительную способность грунта. Модель

упругого основания Фусса – Винклера идеально подходит для пластинки, плава-

коэффициентами постели). Данная модель была предложена в работах М.М. Филоненко-Бородича, В.З. Власова, П.Л. Пастернака.

Согласно данной модели реакция основания определяется по формуле

рой коэффициент постели.

Следуя работе [16], рассмотрим построение аналитического выражения дляэтихкоэффициентов. Пустьоснованиепредставляетсобойупругийслой толщиной B , лежащий, в свою

очередь, на абсолютно жёстком подстилающем слое (рис. 63).

Вырежем из этого упругого слоя элементарный столбик высотой B

с размерами в плане dx и dy. По

боковым граням элементарного столбика действуют нормальныеx , y и касательные zx , zy на-

пряжения (рис. 64).

Будем полагать, что вертикаль-

ные перемещения слоёв столбика с ростом координаты z убывают, обращаясь при z B в нуль. В качестве такой функции, обеспечивающей убывание вертикальных перемещений слоёв столбика, примем функцию

186

Здесь f B z всякая убывающая функция, обращающаяся при z B в

нуль; параметр, определяющий быстроту затухания перемещений слоёв элементарного столбика.

Рис. 64

Далеебудемсчитать, чтовертикальныегранистолбикапридеформации остаются вертикальными, то есть столбик как бы находится в жёсткой обойме. Но тогда перемещения в направлении осей OX и OY будут равны нулю:

Элементарный столбик будет находиться в условиях одномерной деформации (гл. 6). В соответствии с (6.6)

187

Зная продольную силу, найдём соответствующее напряжение:

Учитывая соотношения (д), получим:

188

Укорочение бесконечно малого слоя столбика будет равно:

Полное укорочение столбика будет вычисляться путём суммирования:

Это укорочение должно быть равно перемещению (прогибу) срединной плоскости пластинки:

Из соотношений (к) и (л) получаем давление пластинки на основание или соответственно вертикальную (нормальную) реакцию от основания на подошву пластинки:

На основе (а) получаем:

Уравнение (м) теперь получает вид:

или окончательно получаем соотношение (10.54): r x, y k1w k2 2w.

Здесь

Если в качестве убывающей функции принять f B z B z , то

189

Если в качестве убывающей функции принять f B z B z 2 , то

В соответствии с законом парности касательных напряжений, по подошве пластинки будут приложены касательные напряжения zx и zy ,

учёт которых в расчётах наделяет модель упругого основания с двумя коэффициентами постели распределительными свойствами, то есть основание будет деформироваться и за пределами площади пластинки. Величина этих касательных напряжений определяется по формулам:

Поскольку при установлении связей между коэффициентами постели и механическими характеристиками основания принимаются некоторые допущения, то получаемые числовые значения коэффициентов постели должны контролироваться данными экспериментов.

3. Модель упругого полупространства. Эта модель была предложена Проктором Г.Э., Герсевановым Н.М., Жемочкиным Б.Н., ГорбуновымПосадовым М.И. и другими отечественными учёными в области механики грунтов и теории упругости.

Согласно этой модели прогибы поверхности полупространства могут быть определены от распределённой по подошве пластинки нагрузки или, что то же самое, от неизвестной реакции основания r x, y , с помощью

решения Буссинеска о действии сосредоточенной силы на поверхности полупространства. Так, в некоторой точке M полупространства с координатами xi , yi погиб wi будет определяться по формуле

подошве пластинки, входит под знак интеграла, аналитическое решение весьма затруднительно. В большинстве случаев задача расчёта плит, лежащих на упругом полупространстве, решается численно.

Следует отметить, что при расчёте пластинок на упругом основании нужно учитывать возможное неблагоприятное воздействие подстилающего слоя основания на материал пластинки, приводящее к снижению её прочности, а следовательно, и долговечности. Это неблагоприятное

190