1977

Сравнивая выражения для внутренних усилий (10.20), (10.21), (10.22) с выражениями для напряжений (10.14), найдём выражения напряжений через внутренние усилия:

Формулы (10.23) и (10.25) соответствуют формулам сопротивления материалов для определения нормальных и касательных напряжений в поперечныхсеченияхприизгибебалкиспрямоугольнымсечениемвысотой h и шириной, равной единице.

Принимая во внимание формулы (10.9), запишем формулы для напряжений (10.14) и внутренних усилий (10.20), (10.21) и (10.22) через модуль упругости E и коэффициент Пуассона .

Для напряжений получим:

171

Выражения для внутренних усилий получают вид:

Совокупное действие в поперечных сечениях пластинки поперечных сил Qx и Qy и крутящего момента H приводит к появлению приведённых

поперечных сил Vx и Vy , причём

Простое объяснение появления дополнительных поперечных сил Qx иQy было дано Максвеллом. В качестве пояснения рассмотрим поперечное

сечение пластинки, перпендикулярное к оси OY (рис. 52). Выделим на этом поперечном сечении две соседние элементарные площадки шириной dx каждая и высотой, равной толщине пластинки h . На эти площадки

темой горизонтальных касательных усилий, обусловленных действием касательных напряжений yx (рис. 54а). Заменим эти крутящие моменты па-

рами вертикальных сил H и H Hx с плечом dx, имеющими тот же момент (рис. 54б), то есть как бы повернём пары горизонтальных сил на 900.

Рис. 54

172

Такая статически эквивалентная замена пар горизонтальных сил парами вертикальных сил в рамках данной теории изгиба пластин вполне допустима. Действительно, элементы, к которым они приложены, связаны с недеформируемой (прямой) нормалью mn и поворачиваются в плоскости действия этих моментов вместе с нею на некоторый угол как твёрдые тела. А в твёрдом теле, как известно из теоретической механики, такая замена возможна, так как это не нарушает условий равновесия.

Силы H и H Hx действуют вдоль линии mn в противоположные стороны. Приравняв их разность нагрузке Qy dx , собранной с длины dx

(рис. 54в), получим Hx dx Qy dx . Следовательно, Qy Hx исуммарная

приведённая поперечная сила (10.282) будет представлена вторым из двух равенств

Первое приведённое поперечное усилие относится к поперечному сечению пластинки, перпендикулярному оси OX и записано по аналогии.

Сучетомформулдлявнутреннихусилийвпластинке(10.27) выражения для приведённых поперечных сил (10.29) будут иметь вид:

Если рассматриваемые поперечные сечения совпадают с контуром пластинки (рис. 55), то действие крутящего момента на стыке двух взаимно перпендикулярных поперечных сечений приво- дит к появлению в угловой точке прямоугольной пластинки сосредоточенной силы. Действительно, на конце кромки контура, например

перпендикулярного оси OY , сила H повёрнутой пары уже не уравновешивается такой же силой последующего элемента dx, так как кромка контура обрывается. С учётом аналогичной силы на кромке контура, перпендикулярного оси OX , получаем в угловой точке прямоугольной пластинки сосредоточенную суммарную силу

173

Из всего вышесказанного следует, что приведённые поперечные силы Vx и Vy представляют собой распределённые опорные реакции по контуру

тонкой пластины, а сосредоточенные силы R сосредоточенные реакции в угловых точках контура прямоугольной пластинки. На рис. 56 показаны положительные направления сосредоточенных реакций в угловых точках и приведённых поперечных сил Vx и Vy .

Рассмотрим усилия в косых сечениях, перпендикулярных срединной поверхности, тонкой пластинки. Пусть вертикальное сечение пластинки (косое сече-

ние) имеет нормаль n , составляющую с осью OX угол (рис. 57). В этом сечении в общем случае действуют нормальные и касательные напряжения в плос-

кости, параллельной срединной поверхности: , , и в плоскости, перпендикулярной срединной поверхности пластинки z .

Рис. 57

Нормальное напряжение действует в направлении нормали n к косой площадке; касательное напряжение действует в плоскости косого

сечения параллельно срединной поверхности пластинки; касательное напряжение z – в плоскости косого сечения в направлении оси OZ . Связь

между напряжениями, действующими на косой площадке, и напряжениями, действующими на площадках, перпендикулярных координатным осям OX

174

и OY , выражается известными формулами двумерной задачи теории упругости (7.44) и (7.45):

Полагая ширину косого сечения равной единице, то есть ds 1 , подсчитаем внутренние усилия, действующие по косой площадке, используя формулы (10.15)–(10.19) и соотношения (а).

В формулах (б) величина A h 1 и элемент площади dA dz .

Для определения поперечной силы Q , действующей в косой площадке,

запишем уравнение равновесия всех сил, действующих на рассматриваемый, треугольный в плане, элемент пластинки (рис. 57), в проекциях на ось OZ :

Z 0 : Q ds Qxdy Qy dx 0.

Отсюда найдём:

175

Итак, в косых сечениях тонкой пластинки, перпендикулярных срединной поверхности, возникают следующие внутренние усилия:

Приведённаяпоперечнаясилавкосыхсеченияхтонкойпластинкибудет вычисляться по формуле

Если тонкая призматическая пластинка имеет форму в плане, отличную от прямоугольной, то есть нормали к боковым сторонам, сходящимся в угловой точке, составляют с осью OX углы, отличные от нуля и девяноста градусов, то сосредоточенная сила в угловой точке будет определяться по формуле

Здесь x и y углы между направлениями нормалей к боковым сторонам пластинки и осью OX (рис. 58).

Рис. 58

176

§10.4. Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки

Вырежем из пластинки, находящейся под воздействием произвольной поперечной распределённой нагрузки q x, y , бесконечно малый элемент

размерами dx и dy и покажем приложенные к нему усилия (рис. 59).

Рис. 59

Рассматриваемый элемент пластинки находится в равновесии, то есть удовлетворяются шесть уравнений равновесия: суммы проекций сил, действующих на выделенный элемент, на оси декартовой системы координат X , Y , Z должны быть равны нулю; суммы моментов сил, действующих на

выделенный элемент, относительно осей декартовой системы координат X , Y , Z также должны быть равны нулю. При записи уравнений равновесия

все внутренние усилия следует умножать на длину грани, по которой они действуют. Отметим, что некоторые из этих уравнений равновесия удовлетворяются тождественно.

177

Отсюда, после упрощений, получаем:

Отсюда, приведяподобныеслагаемыеиотбросивчленыболеевысокого порядка малости, получаем:

Принимаявовниманиевыражениядляизгибающихикрутящегомоментов, записанные через прогибы срединной поверхности (10.27), формулу (г) запишем в виде:

178

Уравнение (10.35) можно записать короче, используя понятие гармонического оператора Лапаса:

Впервые уравнение изгиба тонких пластин, но содержащее ошибку, было получено Софи Жермен на основе вариационного принципа Лагранжа в работе, представленной на конкурс, объявленный французской академией наук в 1811 г. На ошибку указал член жюри Лагранж, и эта ошибка была позднее исправлена. В литературе уравнение (10.35) или, что то же самое, (10.36), или (10.37) носит название уравнение Софи Жермен Лагранжа.

Оно играет фундаментальную роль в теории изгиба пластин.

После того как уравнение (10.35) будет проинтегрировано и найдена функция прогибов w x, y , напряжения, деформации, перемещения и

внутренние усилия в пластинке могут быть вычислены по полученным ранее формулам.

§10.5. Условия на контуре пластинки

В зависимости от характера закрепления краёв на контуре пластинки могут быть заданы прогибы и углы поворота срединной плоскости, изгибающиеи крутящие моменты, поперечные силы. Условия, при которых на контуре заданы перемещения, называются геометрическими. Условия, при которых на контуре заданы усилия, то есть изгибающие и крутящие моменты и поперечные силы, называются статическими. Если на контуре пластинки заданы одновременно и перемещения, и усилия, то условия называются смешанными.

Расчёт тонких пластин на действие поперечной нагрузки сводится к интегрированию дифференциального уравнения изогнутой срединной поверхности пластинки (10.35) совместно с граничными условиями, определяемымиспособомзакрепленияпластины. Накаждомкраепластины следует задать два граничных условия.

179

Рассмотрим граничные условия для различных случаев закрепления краёв прямоугольной пластины (рис. 60): жёсткое защемление – сторона

ние – сторона пластинки, для которой x a , свободный край – стороны пластинки,

для которых y 0 и y b.

I. Жёсткая заделка по контуру пластинки.

Если сторона пластинки имеет жёсткое опирание, то прогиб на этой стороне равен нулю и угол поворота в направлении, перпендикулярном к рассматриваемой стороне, тоже равен нулю:

II.Шарнирное опирание по контуру пластинки.

Если сторона пластинки имеет шарнирное опирание, то на этой стороне

ипрогиб, и изгибающий момент равны нулю:

Стороны, где x 0 или x a . Имеем

Так как стороны пластинки, где x 0 или x a , при деформации не

искривляются, то есть на этих сторонах 2 w 0 , а цилиндрическая жёст-

y2

кость D 0 , то равенство нулю изгибающего момента M x сводится к усло-

180